Eindexamen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1: vragen en antwoorden
Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Een familie van gebroken functies, Het klimmen van een vliegtuig, Stralen en koorden, Paraboloïde, Park-A-Kid, In drieën, Evenwijdig.
Het centraal examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1 telt 16 vragen. De meeste vragen gaan over bewijzen (5), functies en grafieken (4) en integreren (2). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.
Onderwerpen in dit examen
| Onderwerp | Vragen | Aantal |
|---|---|---|
| Bewijzen | 7-11 | 5 |
| Functies en grafieken | 1, 4-6 | 4 |
| Integreren | 2, 13 | 2 |
| Differentiëren | 3, 12 | 2 |
| Meetkunde met coördinaten | 15-16 | 2 |
| Vergelijkingen en ongelijkheden | 14 | 1 |
Opgaven en correctievoorschrift
De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.
Oefenen als leerling
Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.
Nakijken als docent
Start gratis vanaf deze pagina
Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.
Laat de klas het examen maken
Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.
Geef de resultaten vrij
Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.
ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.
Vragen en antwoorden
Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.
Een familie van gebroken functies
Voor elke positieve waarde van a is de functie f a met domein 0,→ gegeven door x 2a f a ( x) = + −3 a x De grafieken van f 1 en f 3 zijn in onderstaande figuur getekend.
figuur y
1
f1 f3
O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
De grafieken van f 1 en f 3 snijden elkaar in één punt.
Vraag 1 3 punten
Bereken exact de x -coördinaat van dit punt.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- + −3 = + −3 (1)
- Een herleiding tot = (1)
- Een herleiding tot x 2 = 6 , dus x = 6 ( x = − 6 voldoet niet op het gegeven domein) (1)
De grafiek van f 1 snijdt de x-as in de punten (1, 0) en (2, 0) . De grafiek van f 1 en de x-as sluiten een vlakdeel in.
Vraag 2 5 punten
Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- De oppervlakte is − ∫ x + − 3 dx (1)
- Een primitieve van x + − 3 (voor x > 0 ) is 12 x 2 + 2 ln( x) − 3 x (2)
- De uitkomst van de integraal is 2 ln(2) − 1 12 (1)
- De oppervlakte is 1 12 − 2 ln(2) (1)
Voor elke waarde van a, met a > 0 , heeft de grafiek van f a één top.
Vraag 3 4 punten
Bewijs dat al deze toppen dezelfde y-coördinaat hebben.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Dit geeft a = (of een vergelijkbare uitdrukking) ( a =
- voldoet
2 (2) niet op het gegeven domein) (1) x 2⋅ x
- De grafiek van f a ontstaat dus uit die van f 1 door een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor a (1p)
- Bij zo’n vermenigvuldiging verandert de y-coördinaat van een punt niet (dus alle toppen hebben dezelfde y-coördinaat) (1p)
Opmerking Als op exacte wijze de y-coördinaat van de top van de grafiek van f a voor slechts één of enkele waarden van a wordt berekend en daaruit wordt geconcludeerd dat alle toppen dezelfde y-coördinaat hebben, voor deze vraag hoogstens 1 scorepunt toekennen.
Het klimmen van een vliegtuig
Een vliegtuig komt los van de grond en ‘klimt’ zo snel mogelijk. Naarmate het toestel hoger komt, wordt de lucht ijler. Hierdoor wordt het steeds moeilijker om hoger te komen. Op zekere hoogte is het niet meer mogelijk om verder te klimmen. Deze maximale hoogte wordt het absolute plafond genoemd.
In deze opgave gebruiken we het volgende model van de hoogte van een eenmotorig vliegtuig op een bepaald moment: −t h(t ) = A 1
- e k
Hierin is:
- t de tijd in minuten vanaf het moment dat het vliegtuig los van de grond komt;
- h(t ) de hoogte in ft1) na t minuten;
- A het absolute plafond in ft;
- k een positieve constante. De waarden van A en k zijn afhankelijk van het type vliegtuig.
In de figuur is een globale grafiek van h weergegeven.
figuur hoogte absolute plafond A
h
O tijd
Een vliegtuig voert een testvlucht uit. Om het absolute plafond te bepalen wordt tijdens het klimmen op verschillende tijdstippen de hoogte bepaald. Na 10 minuten klimmen is de hoogte 10 760 ft. Na 20 minuten klimmen is de hoogte 16 650 ft. Met deze gegevens kan het absolute plafond van dit vliegtuig worden berekend.
Vraag 4 4 punten
Bereken het absolute plafond van dit vliegtuig in ft. Rond je antwoord af op honderden ft.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- −10 − 20 • = A 1 − e 10 760 k en 16 650 = A 1 − e k (1) 10 760 16 650 • Opgelost moet worden de vergelijking (10) = 20 (of een − − 1− e k 1− e k gelijkwaardige uitdrukking) (1) • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1) • Het antwoord: 23 800 (ft) (1) (4)
Van een ander vliegtuig is bekend dat k =13,6.
Vraag 5 4 punten
Bereken hoelang na het opstarten dit vliegtuig zich op de helft van zijn absolute plafond bevindt. Rond je eindantwoord af op hele seconden.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- ( A 1 − e = 2 1 (1)
- Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
- t = 9, 426... (minuten) (1)
- Het antwoord: 9 minuten en 26 seconden (of: 566 seconden) (1)
noot 1 1 ft is één Engelse voet; 1 ft = 30,48 cm Het zou veel vermogen van de motor vragen wanneer een vliegtuig op of vlak onder het absolute plafond zou vliegen. Er blijft dan te weinig vermogen over om zijwaarts te kunnen manoeuvreren. Daarom is de hoogte waarop een vliegtuig in de praktijk vluchten maakt, lager dan het absolute plafond.
Een vliegtuig vliegt meestal op een hoogte die wordt aangeduid als het praktische plafond P. Deze hoogte wordt gedefinieerd als de vlieghoogte waarop de klimsnelheid h' (t ) gelijk is aan 100 ft per minuut.
Iemand beweert dat P uitgerekend kan worden, uitgaande van de waarden van A en k, met de volgende formule: P = A
- 100k
Vraag 6 5 punten
Onderzoek of deze bewering juist is.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Herleiding tot P= A
- 100k , dus de bewering klopt (1)
Opmerking Als de formule alleen gecontroleerd wordt met behulp van een of meer getallenvoorbeelden, voor deze vraag geen scorepunten toekennen.
Stralen en koorden
Gegeven zijn een cirkel met middelpunt M en een koorde AB , met AB < AM . Op BM bevindt zich een punt C zo dat AC = AB . ∠BAC noemen we α . Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
[figuur 1: zie het originele examen]
A α
M C B
Er geldt: ∠AMB = α .
Vraag 7 4 punten
Bewijs dit.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- ∆ABM ∼ ∆BCA ; hh (1p)
- Dus ∠AMB = ∠BAC = α (1p)
In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid. D is het snijpunt van het verlengde van lijnstuk AC met de cirkel. Ook lijnstuk MD is getekend. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
[figuur 2: zie het originele examen]
A α
M C B
D
Vraag 8 4 punten
Bewijs dat ∠AMD = 3α .
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- ∠= BAM (180ο
- α) ; hoekensom driehoek ; gelijkbenige driehoek (1) 2 3
- ∠DAM = ∠BAM
- α = 90ο
- α (1) 2
- AM = DM (; straal), dus ∠ADM = ∠DAM ; gelijkbenige driehoek (1) 3
- ∠AMD = 180ο
- 2 ⋅ ∠DAM= 180ο
- 2 ⋅ (90ο
- α=) 3α ; hoekensom 2 driehoek (1)
Paraboloïde
De functie f is gegeven door figuur 1 f ( x) = 1
- x 2 . y De grafiek van f is een parabool met top T (0, 1) . Verder is gegeven lijn k met S vergelijking y = p , met p < 1 . Deze lijn l snijdt de y-as in punt R en de parabool T in twee punten. Lijn l is de raaklijn aan f de parabool in het linker snijpunt. Deze lijn snijdt de y-as in punt S. R k Zie figuur 1. x
Vraag 9 6 punten
Bewijs dat T het midden is van O lijnstuk RS.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- • De x-coördinaat van het linker snijpunt van de parabool en lijn k is − 1 − p (1) • f ′ ( x) = −2 x (1) • De richtingscoëfficiënt van lijn l is f ′ (− 1 − p= ) 2 1− p (1) • Een vergelijking van lijn l is y − p= 2 1 − p ⋅ ( x + 1 − p ) (of een vergelijkbare uitdrukking) (1) • yS = 2 − p (1) yS + y R 2 − p + p • ST = 2 − p − 1 = 1 − p = RT (of = = 1 ) (en R, S en T 2 (2) liggen alle op de y-as) (dus T is het midden van lijnstuk RS ) (1) (6)
Het gebied, begrensd door lijn k, figuur 2 raaklijn l en de y-as, wordt gewenteld om de y-as. Zo ontstaat een kegel. De inhoud van deze kegel is 23 π( p
- 1) 2 . Het gedeelte van de parabool dat zich boven de lijn k bevindt, wordt ook om de y-as gewenteld. Zo ontstaat een zogenaamde paraboloïde. Zie figuur 2.
De verhouding van de inhoud van de paraboloïde en de inhoud van de kegel is onafhankelijk van p.
Vraag 10 6 punten
Bewijs dit.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- De inhoud van de paraboloïde is π ∫ x 2 dy (1)
- π ∫ x 2 dy = π ∫ (1 − y ) dy (1)
- Een primitieve van 1 − y is y − 12 y 2 (1)
- De inhoud van de paraboloïde is π( 12 p 2 − p + 12 ) (1)
- Dat is 12 π( p − 1) 2 (1)
- De verhouding van de inhouden is 3:4 (of 12 π : 32 π ) en is dus onafhankelijk van p (1)
Park-A-Kid
Een Park-A-Kid is een hekwerk dat dient ter foto bescherming van baby’s en peuters. Het kan op verschillende plekken in huis worden neergezet. Zie de foto. Het hekwerk ontstaat door meerdere hekjes aan elkaar te bevestigen. Elk hekje is 60 cm breed.
Een standaard Park-A-Kid bestaat uit zes hekjes. Door de hekjes aan elkaar te bevestigen en ten slotte het einde van het laatste hekje te bevestigen aan het begin van het eerste hekje, ontstaat een box waar een peuter niet zelfstandig uit kan. Zie figuur 1 figuur 1. Als elke twee aan elkaar bevestigde hekjes niet in elkaars verlengde staan, heeft het bovenaanzicht de vorm van een zeshoek.
We bekijken opstellingen waarbij deze zeshoek kan worden verdeeld in een rechthoek en twee gelijkbenige driehoeken die tegen twee overstaande zijden van de rechthoek aan liggen. De driehoeken hebben tophoek x (in radialen) met 0 < x < π . In figuur 2 zijn twee mogelijkheden getekend.
[figuur 2: zie het originele examen] 60
60
x x x x
Voor de oppervlakte A (in cm2) van dergelijke zeshoeken geldt: A( x) = 7200sin( 12 x) + 3600sin( x)
Vraag 11 5 punten
Bewijs dat deze formule juist is.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- De oppervlakte van elke driehoek is 12 ⋅ 602 ⋅ sin( x) (1p)
- De oppervlakte van de zeshoek is 60 ⋅120sin( 12 x) + 2 ⋅ 12 ⋅ 602 ⋅ sin( x) (1p)
- Dit is gelijk aan 7200sin( 12 x) + 3600sin( x) (1p)
De oppervlakte van zo’n zeshoek als hiervoor is maximaal voor een zekere waarde van x.
Vraag 12 5 punten
Bereken exact voor welke waarde van x de oppervlakte maximaal is.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Opmerking Als zonder berekening of bewijs geantwoord wordt dat dit het geval is bij een regelmatige zeshoek, dus als x= 23 π , voor deze vraag hoogstens
3 scorepunten toekennen.
In de rest van deze opgave bekijken we opstellingen waarbij de zes hekjes van een standaard Park-A-Kid worden gebruikt om een afzetting te maken in een rechte hoek van een kamer. Door ook de muren van de kamer te benutten, kan een groot grondvlak worden verkregen. Er zijn meerdere opstellingen mogelijk. In figuur 3 zijn twee mogelijkheden in bovenaanzicht weergegeven.
[figuur 3: zie het originele examen]
I II
Bij opstelling I is het grondvlak een vierkant. Bij opstelling II is het grondvlak te verdelen in zes gelijkbenige congruente driehoeken, zoals in figuur 4 is weergegeven.
[figuur 4: zie het originele examen]
Bij opstelling II is de oppervlakte van het grondvlak groter dan bij opstelling I.
Vraag 13 6 punten
Bereken het verschil van de twee oppervlaktes. Rond je eindantwoord af op een geheel aantal cm2.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- De oppervlakte van het vierkante grondvlak is 32 400 (cm2 ) (1)
- 1 π (of 15º) De tophoek van een driehoek bij opstelling II is 16 ⋅ 12 π =12 (1)
- 1 π) = De basishoek in een driehoek is 12 (π − 12 11 π (of 82,5º) (1)
- De hoogte vanuit de tophoek van een driehoek is 12 ⋅ 60 ⋅ tan 11 24 π ( ) (1)
- De oppervlakte van het grondvlak bij opstelling II is ( ) 6 ⋅ 12 ⋅ 60 ⋅ 12 ⋅ 60 ⋅ tan 11 24 = ( ) π 5400 ⋅ tan 11 24 = π 41 017,... (cm2 ) (1)
- Het antwoord: 8617 (cm2 ) (1)
In drieën
Voor 0 ≤ x ≤ π is de functie f gegeven door f ( x ) = sin( x ) . De lijnen met vergelijking x = 12 π
- a en x = 12 π + a , met 0 < a < 12 π , snijden de grafiek van f in de punten P en Q. Zie de figuur. Het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f wordt door de twee lijnen in drie delen verdeeld. In de figuur zijn deze drie delen aangegeven met U, V en W.
figuur y P Q
U V W
O 1 _ 1 _ x 2
- a 2 + a
Vanwege de lijnsymmetrie van de sinusgrafiek hebben U en W gelijke oppervlakte voor elke waarde van a.
Er is een waarde van a waarvoor U, W én V gelijke oppervlakte hebben.
Vraag 14 7 punten
Bereken in dat geval de y-coördinaat van P en Q. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Omdat cos( 12 π + a ) =
- cos( 12 π
- a ) , geldt 1
- cos( 12 = π
- a ) 2 cos( 12 π
- a ) (1)
Evenwijdig
Gegeven is een driehoek ABC, waarin figuur 1 ∠B groter is dan ∠C . Hierop passen we de volgende constructie toe:
- we tekenen de omgeschreven cirkel van driehoek ABC;
- we tekenen de raaklijn in A aan de C omgeschreven cirkel van driehoek ABC; A
- het snijpunt van deze raaklijn met het B verlengde van BC noemen we R; m
- we tekenen de omgeschreven cirkel van driehoek ABR; R
- we tekenen de raaklijn m in R aan deze omgeschreven cirkel.
Het eindresultaat van deze constructie staat in figuur 1. Deze figuur staat vergroot ook op de uitwerkbijlage. Er geldt dat lijn m evenwijdig is aan lijn AC.
Vraag 15 4 punten
Bewijs dat lijn m inderdaad evenwijdig is aan lijn AC.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- ∠BAC = ∠ABR
- ∠ACB ; buitenhoek driehoek (1)
- ∠CAR = ∠BAC + ∠BAR = ∠ABR en ∠ABR = ∠( AR, m) ; hoek tussen koorde en raaklijn (1p)
In figuur 2 is voor een driehoek ABC de hierboven beschreven constructie toegepast. Van de driehoek is alleen zijde AC gegeven. Bovendien is het resultaat van de constructie gegeven: de lijn m met daarop punt R. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
[figuur 2: zie het originele examen] C
m
R A
Vraag 16 3 punten
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage punt B. Licht je werkwijze toe.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Het tekenen van de middelloodlijn van AC en de loodlijn op AR door A (1p)
- Het tekenen van de cirkel met als middelpunt het snijpunt van bovengenoemde lijnen die door A (of C) gaat (1p)
Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo Wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-1/vw-1025-h-18-1-o
Andere examens wiskunde B vwo (bezemexamen)
Veelgestelde vragen
Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1?
Het centraal examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1 telt 16 vragen. De meeste vragen gaan over bewijzen (5), functies en grafieken (4) en integreren (2).
Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1?
Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.
Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1?
Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-1/vw-1025-h-18-1-c). Bij dit examen hoort ook een aanvulling op het correctievoorschrift.
Hoe oefen ik met het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 1 en krijg ik feedback?
Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.