Eindexamen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2: vragen en antwoorden
Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Twee functies, Temperatuur in de aardbodem, Koorde evenwijdig aan raaklijn, Wortelfunctie met cosinus, Twee lijnen die raken aan parabolen, Koordenvierhoek en gelijke hoeken, Fontein.
Het centraal examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2 telt 14 vragen. De meeste vragen gaan over meetkunde met coördinaten (4), vergelijkingen en ongelijkheden (2) en goniometrische functies (2). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.
Onderwerpen in dit examen
| Onderwerp | Vragen | Aantal |
|---|---|---|
| Meetkunde met coördinaten | 5-6, 11-12 | 4 |
| Vergelijkingen en ongelijkheden | 1-2 | 2 |
| Goniometrische functies | 3-4 | 2 |
| Differentiëren | 7, 14 | 2 |
| Integreren | 8-9 | 2 |
| Functies en grafieken | 10, 13 | 2 |
Opgaven en correctievoorschrift
De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.
Oefenen als leerling
Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.
Nakijken als docent
Start gratis vanaf deze pagina
Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.
Laat de klas het examen maken
Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.
Geef de resultaten vrij
Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.
ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.
Vragen en antwoorden
Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.
Twee functies
De functies f en g zijn gegeven door: figuur 1 1 f ( x) = e
- x en g ( x) = , met x > −1 x +1 In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend. Beide grafieken gaan door het punt (0, 1) en 1 de twee grafieken hebben in (0, 1) dezelfde helling. g Behalve x = 0 is er nog een tweede waarde f van x waarvoor de grafieken van f en g dezelfde helling hebben. O x
Vraag 1 4 punten
Bereken deze waarde van x in twee decimalen nauwkeurig.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- f ' ( x ) = −e − x (1)
- g' ( x) = − (1)
- Beschrijven hoe de vergelijking −e − x = − kan worden opgelost (1)
- Het antwoord 2,51 (1)
Het vlakdeel ingesloten door de grafiek van g, de y-as, de x-as en de lijn x = a , met a > 0 , noemen we W. Zie figuur 2.
[figuur 2: zie het originele examen]
y
x=a 1
g
W
O x
Als de waarde van a onbegrensd toeneemt, neemt de oppervlakte van W ook onbegrensd toe. Er is bijvoorbeeld een waarde van a waarvoor geldt: de oppervlakte van W is 2011.
Vraag 2 4 punten
Bereken exact deze waarde van a.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- Een primitieve van g ( x) is (omdat x > −1 ) ln( x + 1) (1)
- De oppervlakte van W is ∫ g ( x) dx = ln(a + 1) (1)
- Opgelost moet worden: ln(a + 1) = 2011 (1)
- Dit geeft a + 1 = e , dus a = e −1 (1)
Temperatuur in de aardbodem
Per 24 uur schommelt de temperatuur aan het aardoppervlak en daardoor ook de temperatuur in de aarde. Naarmate je op een bepaalde plek dieper de aardbodem ingaat, zijn de temperatuurschommelingen minder groot. Bovendien lopen ze achter in de tijd ten opzichte van de temperatuurschommeling aan het aardoppervlak.
In figuur 1 zie je voor een bepaalde plaats in Nederland het dagelijkse temperatuurverloop op verschillende dieptes als functie van de tijd t, met t in uren. Hierbij geldt t = 0 om middernacht in het begin van een week met zacht zomerweer. Voor elk van deze geringe dieptes is de evenwichtsstand van het temperatuurverloop (bij benadering) 20,0 °C. Bij elke grafiek is met een dubbele pijl de amplitude aangegeven.
[figuur 1: zie het originele examen] 35 T in C 30
25
20
15
10
5
0
0 6 12 18 24 30 36 42 48 t in uren Legenda: aardoppervlak (0 cm diepte)
5 cm diepte
15 cm diepte
De amplitude van het temperatuurverloop blijkt exponentieel af te hangen van de diepte in de aardbodem. 1 De diepte waarop de amplitude is afgenomen tot -de deel van de e amplitude aan het aardoppervlak wordt de dempingsdiepte genoemd. Er geldt: z
1 D A( z ) = A(0) · e Hierin is z de diepte in de aardbodem in centimeter, A( z ) de amplitude van het temperatuurverloop in graden Celsius op diepte z cm en D de dempingsdiepte in centimeter.
In figuur 1 zijn onder andere de amplitudes A(0) = 10,0 en A(15) = 2,9 aangegeven.
Vraag 3 3 punten
Bereken uitgaande van de genoemde amplitudes de waarde van D in één decimaal nauwkeurig.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- De groeifactor per cm is , dus er moet gelden 10, 0 D 1 2,9 15 =1 1 10, 0 e
Opmerking Als de waarde van D is berekend met behulp van de formule A( z ) = 10, 0 · 0,92 z die na vraag 3 gegeven is (dus zonder gebruik te maken van A(15) = 2,9 ), voor deze vraag geen scorepunten toekennen.
Gebruikmakend van de waarden van A(0) en D kan de formule voor de amplitude worden herschreven tot A( z ) = 10,0 · 0,92 z . Met deze formule werken we in het vervolg van deze opgave. De grafieken in figuur 1 zijn sinusoïden met een evenwichtsstand van 20,0 °C en een periode van 24 uur. De grafiek die hoort bij z = 0 gaat bij t = 7,9 stijgend door de evenwichtsstand. Bij elke centimeter dieper in de aardbodem gaat de bijbehorende grafiek ongeveer 0,28 uur later door de evenwichtsstand. Voor de situatie van figuur 1 komen we uit op de volgende formule voor de temperatuur in de aardbodem: π T = 20,0 + 10,0 · 0,92 z · sin (t
- 7,9
- 0, 28 · z ) 12 Hierin is z de diepte in de aardbodem in centimeter, T de temperatuur op deze diepte in graden Celsius en t de tijd in uren met t = 0 om middernacht. Deze formule geldt voor 0 ≤ z ≤ 30 en 0 ≤ t ≤ 48 .
De temperatuur op 15 cm diepte in de aardbodem bereikt op een bepaald tijdstip van de dag zijn maximale waarde.
Vraag 4 6 punten
Bereken dit tijdstip op algebraïsche wijze.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Een toelichting waaruit blijkt dat de oplossing van deze vergelijking inderdaad een maximum van T oplevert (1) π π
Koorde evenwijdig aan raaklijn
Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en een punt P op c. Op het verlengde van de straal MP ligt het punt A zo dat MP = PA . Een raaklijn door A aan c raakt de cirkel in het punt B. Het punt Q ligt op c zo dat de koorde PQ evenwijdig is aan de raaklijn AB. Zie figuur 1. In deze figuur is ook de straal MQ getekend. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
[figuur 1: zie het originele examen]
Q B
c
M A P
Er geldt: ∠MQP = ∠BAM
Vraag 5 3 punten
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- PQ / / AB , dus ∠QPM = ∠BAM ; F-hoeken (1)
- MQ = MP (; cirkel), dus ∠MQP = ∠QPM ; gelijkbenige driehoek (1)
- Dus ∠MQP = ∠BAM (1)
Het verlengde van QM snijdt de cirkel c in het punt S. Zie figuur 2. In deze figuur zijn ook de straal MB en de koorde PS getekend. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
[figuur 2: zie het originele examen]
Q B
c
M A P
S
Vraag 6 5 punten
Bewijs dat PS = MB . Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Verder geldt AM = 2 · PM = 2 · BM (; cirkel), dus ∠BAM = 30ο ; halve gelijkzijdige driehoek (1p)
- Verder geldt ∠PQS = ∠MQP = ∠BAM = 30° , dus PS = 12 QS ; halve gelijkzijdige driehoek (1p)
Wortelfunctie met cosinus
In figuur 1 is een sinusoïde getekend die de grafiek is van een functie f met domein [0, 2π] .
[figuur 1: zie het originele examen]
y
f
O 2 x
Het bijbehorende functievoorschrift kan op dit domein geschreven worden als f ( x) = 1
- cos x .
Vraag 7 5 punten
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt op de grafiek waarvan de y-coördinaat 12 6 is en de x-coördinaat groter dan π is.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Op [ 0, 2π ] is f ( x) = 1
- (1
- 2sin 2 ( 12 x )) = 2 · sin ( 12 x ) (1)
In figuur 2 zijn de grafiek van f en de lijnen y = 12 2 · x en y = 2 getekend. Deze lijnen raken de grafiek van f in respectievelijk (0, 0) en (π, 2) . Het vlakdeel V wordt begrensd door de grafiek van f en de twee genoemde lijnen. Dit vlakdeel is in figuur 2 grijs gemaakt.
[figuur 2: zie het originele examen] y = 2 2. x 1 y
y= 2
f
O 2 x
Het omwentelingslichaam L ontstaat bij wenteling van V om de x-as.
Vraag 8 8 punten
Bereken exact de inhoud van L. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- De inhoud van L is inhoud kegel + inhoud cilinder
- π · ∫ (1
- cos x) dx (2) 0
- De inhoud van de kegel is 13 π · ( 2) 2 · 2 (1p)
Twee lijnen die raken aan parabolen
De functie f is gegeven door f ( x) = 3 x 2 + 12
1 . De lijn met vergelijking y = x
raakt aan de grafiek van f. Vanwege symmetrie in de y-as raakt ook de lijn y =
- x aan de grafiek van f. Het vlakdeel V wordt begrensd door de grafiek van f en de twee raaklijnen. Zie figuur 1.
[figuur 1: zie het originele examen] y f
y= x y=x
V
x O
Vraag 9 6 punten
Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel V.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- • Voor het rechter raakpunt geldt: 3x 2 + 12 1 =x (1) 2 1 ± (−1) 2 − 4 · 3 · 12 1 • Uit 3x − x + 12 1 = 0 volgt (3 x − 1 )( x − 1 ) = 0 (of: 2 (6) x= ) (1) 2·3 • Dit geeft x = 16 (1) 1 6 • De gevraagde oppervlakte is 2 · ∫ ( f ( x) − x) dx (1) 0 • Een primitieve van 3x 2 + 12 1 − x is x 3 + 1 x − 1 x 2 12 (2) 1 • (1) De gevraagde oppervlakte is 108 (1) of • Voor het rechter raakpunt geldt: f ' ( x) = 1 (1) • f ' ( x) = 6 x , dus 6 x = 1 (1) • Dit geeft x = 16 (1) 1 6 • De gevraagde oppervlakte is 2 · ∫ ( f ( x) − x) dx (1) 0 • Een primitieve van 3x 2 + 12 1 − x is x 3 + 1 x − 1 x 2 12 (2) 1 • (1) De gevraagde oppervlakte is 108 (1) (6)
Voor elk tweetal positieve waarden van a en b is de functie g a ,b gegeven door g a ,b ( x) = ax 2 + b . We bekijken de functies g a ,b die de lijn y = 12 x (en dus ook de lijn y =
- 12 x ) als raaklijn aan hun grafiek hebben. In figuur 2 zijn de grafieken van drie van zulke functies en de lijnen y = 12 x en y =
- 12 x getekend.
[figuur 2: zie het originele examen] y
y = 12 x y = 12 x
O x
Voor alle functies g a ,b die de lijn y = 12 x (en dus ook de lijn y =
- 12 x ) als raaklijn aan hun grafiek hebben, kunnen we b uitdrukken in a.
Vraag 10 6 punten
Druk voor deze functies b uit in a. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- • Voor het rechter raakpunt geldt: g a ,b ( x) = 12 x en g a ,b ' ( x) = 12 (1) • g a ,b ' ( x) = 2ax (1) • g a ,b ' ( x) = 12 geeft 2ax = 12 dus (omdat a > 0 ) x = 41a (1) g a ,b ( x) = 12 x geeft a · ( 41a ) + b = 12 · 41a 2 • (1) • Hieruit volgt b = 81a − 16aa 2 (1) • Dit geeft b = 16a 1 (1) of • g a ,b ( x) = 12 x heeft precies één oplossing (1) • Dit geeft: ax 2 + b = 12 x heeft precies één oplossing (1) • Dus ax 2 − 12 x + b = 0 heeft precies één oplossing (1) • Dit geeft D = 0 ofwel (− 12 ) 2 − 4 · a · b = 0 (1) • Dus 4 · a · b = 14 (1) • Dit geeft (omdat a > 0 ) b = 16a 1 (1) (6)
Koordenvierhoek en gelijke hoeken
Gegeven is koordenvierhoek ABCD figuur 1 met de twee diagonalen AC en BD, C die elkaar in punt S snijden. D Op lijnstuk CS ligt punt F en op lijnstuk
E F DS ligt punt E zó dat de lijnstukken AB en EF evenwijdig zijn. S Zie figuur 1. De cirkel door de hoekpunten van de koordenvierhoek is in deze figuur gestippeld. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. A B
Vierhoek CDEF is een koordenvierhoek.
Vraag 11 5 punten
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- ∠BDC = ∠BAC ; constante hoek (1)
- ∠BAC = ∠AFE ; Z-hoeken (1)
- Dus ∠CDE = ∠BDC = ∠AFE (1)
- ∠AFE + ∠EFC = 180ο ; gestrekte hoek (1)
- Hieruit volgt ∠CDE + ∠EFC = 180ο , dus vierhoek CDEF is een koordenvierhoek (; koordenvierhoek) (1)
In figuur 2 is, behalve de situatie van figuur 2 figuur 1, ook de cirkel door de punten C, D, E en F getekend. Ook deze figuur staat op de uitwerkbijlage.
Vraag 12 3 punten
Bewijs dat ∠ADF = ∠BCE . Je kunt C hierbij gebruik maken van de figuur op de uitwerkbijlage. D
E F
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- ∠ADB = ∠ACB ; constante hoek (1)
- ∠EDF = ∠ECF ; constante hoek (1)
- Dus ∠ADF = ∠ADB + ∠EDF = ∠ACB + ∠ECF = ∠BCE (1)
Fontein
Op de foto is de Crown Fountain in Chicago te foto zien.
In figuur 1 is een cilindervormige vijverfontein getekend die volgens hetzelfde principe werkt. In de verticale, holle cilinderbuis wordt water tot een hoogte van 2,50 meter opgepompt. In de buis is op een hoogte h meter boven de grond een klein gat aangebracht. Uit dit gat spuit in horizontale richting water. Omdat de pomp er ondertussen voor zorgt dat het water in de buis 2,50 meter hoog blijft, krijgen we een waterstraal te zien die bij benadering de vorm heeft van een halve parabool. De waterstraal komt op afstand d meter van de cilinderbuis op het wateroppervlak in de vijver. Zie figuur 1 en figuur 2.
figuur 1 figuur 2
y
h
2,50 h
O d x d
De horizontale uitstroomsnelheid v van het water bij het gat hangt af van de hoeveelheid water die zich boven het gat bevindt en dus van de hoogte h van het gat. Er geldt bij benadering:
v = 19,6 · (2,50
- h) , met v in meter per seconde en h in meter.
In een geschikt assenstelsel beweegt een waterdruppel (uit de waterstraal) met coördinaten (x, y) bij benadering volgens de vergelijkingen:
x = v ·t y = h
- 4,9 · t 2
Hierin is t de tijd in seconden en t = 0 op het moment dat de waterdruppel het gat passeert (zodat dan geldt x = 0 en y = h ).
Voor de waarde van t die hoort bij het tijdstip waarop de waterdruppel in de vijver valt, geldt x = d en y = 0 . Zie figuur 1 en figuur 2. Er geldt: d = 2 · h · (2,50
- h)
Vraag 13 5 punten
Leid langs algebraïsche weg deze laatste formule af uit de gegeven formules voor v, x en y.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Substitutie van v = 19, 6 · (2,50
- h) in deze laatste uitdrukking geeft d2 h = 4,9 · (1) 19, 6 · (2,50
- h)
Door de hoogte h van het gat te veranderen, verandert ook de plaats waar de waterstraal in de vijver terechtkomt. Er is een hoogte van het gat waarvoor de afstand van deze plaats tot de buis maximaal is.
Vraag 14 4 punten
Bereken langs algebraïsche weg deze maximale afstand. Rond je eindantwoord af op hele centimeters.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage
Bekijk het antwoord
- d is maximaal als h · (2,50 − h) maximaal is (1)
- Het maximum van h · (2,50 − h) wordt aangenomen midden tussen de nulpunten 0 en 2,50 (of: h · (2,50 − h) = 2,50h − h 2 , dus de afgeleide van h · (2,50 − h) is 2,50 − 2h ) (1)
- Dus h · (2,50 − h) is maximaal voor h = 1, 25 (of: dus h · (2,50 − h) is maximaal als 2,50 − 2h = 0 en dit geeft h = 1, 25 ) (1)
- De maximale waarde van d is 2 · 1, 25 · (2,50 − 1, 25) , dus de gevraagde afstand is 2,50 m (of 250 (cm)) (1)
Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo Wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-2/vw-1025-h-18-2-o
Andere examens wiskunde B vwo (bezemexamen)
Veelgestelde vragen
Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2?
Het centraal examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2 telt 14 vragen. De meeste vragen gaan over meetkunde met coördinaten (4), vergelijkingen en ongelijkheden (2) en goniometrische functies (2).
Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2?
Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.
Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2?
Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-2/vw-1025-h-18-2-c).
Hoe oefen ik met het examen wiskunde B vwo (bezemexamen) 2018, tijdvak 2 en krijg ik feedback?
Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.