Eindexamen wiskunde A vwo 2019, tijdvak 1: vragen en antwoorden

Een goudplevier (zie foto) is een vogel die niet in foto Nederland broedt, maar tijdens zijn trektochten wel in Nederland te vinden is. Er zijn grote verschillen in aantallen goudplevieren tussen de verschillende jaren. In figuur 1 zijn de aantallen goudplevieren in Nederland in de jaren 1975 tot en met 2012 weergegeven als zwarte stippen.

[figuur 1: zie het originele examen] Goudplevier

50 000 aantal

40 000

30 000

20 000

10 000

0 ’75 ’80 ’85 ’90 ’95 ’00 ’05 ’10 jaar

In figuur 1 is ook een kromme getekend die de trend aangeeft. We nemen aan dat vanaf 2003 deze trend een rechte lijn is en dat dit ook na 2012 zo blijft.

Tijdens hun verblijf in Nederland bouwen de goudplevieren een reserve op voor de komende trektochten. Hierdoor nemen ze toe in gewicht.

In figuur 2 zie je het resultaat van een onderzoek naar deze gewichtstoename: van een aantal op verschillende tijdstippen gevangen goudplevieren is het gewicht en/of de hoeveelheid vet bepaald. De open stippen horen bij waarnemingen in het najaar en de dichte stippen bij waarnemingen in het voorjaar. Ook zijn de trendlijnen getekend.

[figuur 2: zie het originele examen] 260 lichaamsgewicht (g) trend voorjaar 240 dag

220 0,6 g/ trend najaar 200

180

80 hoeveelheid vet (g) 70

60 trend najaar 50 /dag

40 0,6 g 30

20 trend voorjaar 10 0

0 10 20 30 40 50 60 dagen na het begin van gewichtstoename

Op grond van specifieke biologische kenmerken kunnen de onderzoekers bepalen wanneer de gewichtstoename van een goudplevier begint. Aan de hand van de trendlijnen in figuur 2 kun je onderzoeken of de volgende stellingen waar zijn. I In het voorjaar is de gemiddelde gewichtstoename per dag van een goudplevier ongeveer 2 keer zo groot als in het najaar. II De gewichtstoename in het voorjaar bestaat niet uit vet.

Het vetpercentage van een vogel is de hoeveelheid lichaamsvet als percentage van het totale gewicht van de vogel. Met behulp van de trendlijnen in het voorjaar van zowel lichaamsgewicht als vethoeveelheid leiden de onderzoekers het volgende verband af: 1600 Pvoorjaar = 2,3 · t + 198 Hierbij is Pvoorjaar het vetpercentage van de vogel in het voorjaar en t de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename.

Voor het vetpercentage in het najaar gaan we uit van de volgende formule:

2300 + 60t Pnajaar =

207 + 0,6t Hierin is Pnajaar het vetpercentage van de vogel in het najaar en t de tijd in dagen na het begin van de gewichtstoename.

Met behulp van de afgeleide van Pnajaar kan men onderzoeken of het vetpercentage Pnajaar afnemend stijgend is.

Tussen mei 2008 en februari 2013 werd foto voor personenauto’s de kentekenserie gebruikt die door de Rijksdienst voor het Wegverkeer sidecode 7 genoemd wordt. Op de foto staat een van de eerste kentekens uit deze serie.

De kentekens bestaan uit twee cijfers, gevolgd door drie letters en tenslotte nog één cijfer. Als we ervan uitgaan dat er geen beperkingen zijn aan de te gebruiken cijfers en letters, dan zijn er bijna 18 miljoen verschillende kentekens te maken met sidecode 7.

In deze opgave gaan we echter van de volgende beperkingen uit:

• Een kenteken mag niet met 00 beginnen
• De eerste letter is G, H, J, K, L, N, P, R, S, T, X of Z
• Klinkers (A, E, I, O, U, Y) worden niet gebruikt
• De letters C en Q worden niet gebruikt
• Bepaalde drielettercombinaties (zoals NSB) kunnen als aanstootgevend worden gezien en als gevolg daarvan zijn 82 drielettercombinaties uitgesloten.

Een verslaggever van een autotijdschrift schrijft in een artikel dat door al deze beperkingen minder dan 20% van alle mogelijke kentekens uiteindelijk op een personenauto terecht zal komen.

Vanaf 1 maart 2013 werd voor kentekens de serie sidecode 8 gebruikt. Sidecode 8 bevat eerst een cijfer, dan drie letters en tenslotte twee cijfers. Sidecode 8 lijkt dus erg op sidecode 7 maar omdat er andere beperkingen gelden, zijn in totaal 1,46 miljoen kentekens beschikbaar voor personenauto’s.

In oktober 2013 vraagt de verslaggever zich af tot wanneer deze serie (ongeveer) mee zal gaan. Hij maakt zelf een grafiek met daarin de verkoop van nieuwe personenauto’s vanaf 2011. Ook maakt hij als bijpassend model een trendlijn met een afname van de verkoop van

375 nieuwe auto’s per maand.

figuur Autoverkoop januari 2011 - september 2013 70.000

60.000

50.000

40.000

30.000

20.000

10.000

0 11

11

1

1 11

11

12

12

2

2 12

12

13

13

3

3 13 -1

-1

-1 l-1

l-1

l-1 rt -

rt-

rt - n-

n- p-

p-

n-

p- v-

v- ei

ei

ei ju

ju

ju ja

ja

ja se

no

se

no

se m

m

m m

m

m Legenda: autoverkoop trend

De formule die bij dit model hoort, is: An = −375n + 37 250

Hierbij is An het aantal verkochte nieuwe auto’s in maand n met n = 0 voor maart 2013, de eerste maand waarin sidecode 8 gebruikt wordt.

Het model geeft voor mei 2013 een hoger aantal verkochte nieuwe auto’s dan er volgens de grafiek werden verkocht.

Er is ook een recursieve formule op te stellen bij dit model.

Om een verpakking in de vorm van een balk te maken, wordt een karton van 30x40 cm gebruikt. In de afbeeldingen hieronder zie je links een verpakking en rechts hoe de uitslag daarvan uit het karton geknipt wordt. Hierbij is h de hoogte, b de breedte en l de lengte van de verpakking in cm. De uitslag eindigt precies bij de randen van het karton. Zie de figuur.

figuur

30 cm

40 cm

h grondvlak l grondvlak l b h b

Van een bepaalde verpakking is de hoogte gelijk aan 3 cm.

De formule voor de inhoud V in cm3 van de verpakking uitgedrukt in de hoogte h in cm is: V = 2h3

• 70h2 + 600h

Met behulp van deze formule is vast te stellen voor welke hoogte h (met h ≤ 15 ) de inhoud maximaal is.

Efficiëntie van een verpakking Bedrijven willen zo efficiënt mogelijk omgaan met verpakkingsmateriaal. Meestal is er een vaststaande inhoud en wil men dat de oppervlakte van de verpakking zo klein mogelijk wordt, maar je kunt het ook andersom bekijken: bij een bepaalde oppervlakte wil je een verpakking met zo groot mogelijke inhoud. De maximale inhoud krijg je als je een bol neemt, maar een bol als verpakkingsmateriaal is vaak niet handig.

Om de efficiëntie E van een verpakking met een inhoud V en een oppervlakte A te weten te komen, vergelijk je de inhoud V van die verpakking met de inhoud van een bol met diezelfde oppervlakte A.

Er geldt: inhoud V van verpakking met oppervlakte A formule 1: E= inhoud van bol met oppervlakte A

Voor een bol geldt het volgende: formule 2: Oppervlakte bol = 12,57 r 2 formule 3: Inhoud bol = 4,19r 3

In deze formules is r de straal van de bol.

Uitgaande van de formules 1, 2 en 3 geldt voor de efficiëntie van een verpakking de volgende formule: V E= ( 0,08 A ) 3 4,19

In de provincie Groningen vinden, als gevolg van gasproductie, regelmatig aardbevingen plaats. In 2013 is daar grootschalig onderzoek naar gedaan. Zo werd er gekeken naar het verband tussen de gasproductie en aardbevingen. Enkele resultaten daarvan staan in figuur 1. Deze figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage. Hier zie je bijvoorbeeld dat er in

1993 zeven aardbevingen zijn geweest en er in datzelfde jaar 42 miljard kubieke meter gas is geproduceerd.

[figuur 1: zie het originele examen]

60 60 gasproductie jaarlijks aantal aardbevingen in miljarden m3

50 50 per jaar

40 40

30 30

20 20

10 10

0 0 ’89 ’91 ’93 ’95 ’97 ’99 ’01 ’03 ’05 ’07 ’09 ’11 jaar Legenda: jaarlijks aantal aardbevingen jaarlijkse gasproductie

We bekijken de volgende drie beweringen:

1 De gasproductie en het aantal aardbevingen zijn over de gehele periode 2000-2011 procentueel evenveel gestegen.

2 Als na 2000 de gasproductie daalt, dan heeft dat altijd een jaar later ook een daling van het aantal aardbevingen tot gevolg.

3 In de periode 2005-2011 is de gemiddelde stijging per jaar van het aantal aardbevingen groter dan in de periode 1998-2004.

magnitude ≥ 1,5 100 ≥ 2,0

≥ 2,5

10 ≥ 3,0

≥ 3,5 1 tijd in maanden

t=0 t = 117 t = 220 (april 1994) (januari 2004) (augustus 2012)

t = 51 t = 183 (juli 1998) (juli 2009)

In het onderzoek werden alleen aardbevingen bekeken die schade zouden kunnen veroorzaken. Omdat aardbevingen met een magnitude van minder dan 1,5 geen schade aanrichten, zijn deze niet in figuur 2 opgenomen.

Het feit dat de grafieken in figuur 2 evenwijdige rechte lijnen zijn, betekent dat het aantal aardbevingen van elke klasse exponentieel toeneemt met dezelfde groeifactor. Het totaal aantal aardbevingen A voor magnitudes > 1,5 is te beschrijven met de volgende formule:

A = 12 · e0,013t met t = 0 voor april 1994 en t in maanden.

De formules van de overige lijnen in figuur 2 kunnen worden afgeleid van die voor de magnitudes > 1,5. Bekijk de grafiek voor de magnitudes > 2,0. Deze grafiek is 85 maanden later op dezelfde hoogte als de grafiek voor magnitudes > 1,5.

Hieronder staan vier formules. Een van de vier is juist voor de magnitudes > 2,0:

A A2,0 = 12 · e0,013(t +85) met t = 0 voor april 1994

B A2,0 = 12 · e0,013(t −85) met t = 0 voor april 1994

C A2,0 = 12 · e0,013t +85 met t = 0 voor april 1994

D A2,0 = 12 · e0,013t −85 met t = 0 voor april 1994

In een rapport van het Staatstoezicht op de Mijnen wordt geconstateerd dat er een duidelijk verband is tussen de magnitude en het percentage aardbevingen boven die magnitude. In figuur 3 is dat verband weergegeven.

[figuur 3: zie het originele examen] 100 percentage 90 aardbevingen 80 boven bepaalde magnitude (N) 70 60 50 40 30 20 10 0

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 magnitude aardbeving op de schaal van Richter (M)

Zo is bijvoorbeeld af te lezen dat 10% van de aardbevingen een magnitude boven de 1,0 heeft. Bij deze grafiek hoort de volgende formule: N = 10a− M Hierbij is M de magnitude en N het percentage van de aardbevingen boven magnitude M.

Omgekeerd kun je je ook afvragen welke magnitude de (bijvoorbeeld) 20% zwaarste aardbevingen minstens hadden. Om vragen als deze te beantwoorden, is het handig de formule te herschrijven. De formule N = 102− M is te herleiden tot M = p + q · log(N ) .