Eindexamen wiskunde A vwo 2023, tijdvak 2: vragen en antwoorden

De herbouwkosten zijn de kosten waarvoor een woning na afbraak opnieuw gebouwd kan worden. De herbouwkosten zijn voornamelijk afhankelijk van het vloeroppervlak, dat is het totale oppervlak van alle verdiepingen met een stahoogte van ten minste 1,5 meter.

De gemeente Amsterdam gebruikt voor verschillende woningtypen verschillende rekenmodellen om de herbouwkosten te berekenen1).

twee-onder-een-kapwoningen Voor twee-onder-een-kapwoningen hanteert Amsterdam het volgende lineaire model:

H twee = −5,63V + 2366,67 met 30 ≤ V ≤ 250 Hierin zijn H twee de herbouwkosten voor een twee-onder-een-kapwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning in m2.

portiekflats Voor portiekflats met 30 ≤ V ≤ 180 wordt ook een lineair model voor de herbouwkosten per m2 vloeroppervlak ( H portiek ) gehanteerd. Dit model is gebaseerd op de volgende gegevens:

V (in m2) 50 90

H portiek (in euro’s per m2) 2429 2080

noot 1 In deze opgave wordt uitgegaan van de regels die in 2017 in Amsterdam golden.

hoekwoningen Voor hoekwoningen bestaan de herbouwkosten per m2 vloeroppervlak uit een vast bedrag van 1375 euro, met daarbovenop een variabel bedrag dat exponentieel afneemt naarmate het vloeroppervlak groter wordt. Zie de figuur.

figuur

De formule die wordt gebruikt is van de vorm H hoek = b · g V + 1375 met

30 ≤ V ≤ 250 .

Op de grafiek in de figuur liggen de punten (30, 3480) en (250, 1387).

In de regelgeving hanteert men ook de volgende (nauwkeuriger) formule voor hoekwoningen:

H hoek = e−0,02359V +8,36 + 1375 met 30 ≤ V ≤ 250 Hierin zijn H hoek de herbouwkosten voor een hoekwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning in m2.

De herbouwkosten van een hoekwoning zijn soms lager dan die van een twee-onder-een-kapwoning met hetzelfde vloeroppervlak.

De formule H hoek = e −0,02359V +8,36 + 1375 is te herleiden tot de vorm

H hoek = b · g V + 1375 .

tussenwoningen De formule die men voor tussenwoningen gebruikt, is:

H tussen = e−0,02398V +8,144 + 1144 met 30 ≤ V ≤ 250 Hierin zijn H tussen de herbouwkosten voor een tussenwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V weer het vloeroppervlak van de woning in m2.

In elk model gaat men ervan uit dat de herbouwkosten per m2 afnemen naarmate het vloeroppervlak groter is. De mate waarin de herbouwkosten per m2 afnemen, verschilt per model.

In de 18e eeuw werd algemeen aangenomen dat de toename van een populatie dieren kan worden beschreven met behulp van een meetkundige rij. Een model uit die tijd is:

Pn = r · Pn−1 model 1 P0 = c

In dit model geldt:

• Pn is de populatiefractie na n jaar. Dat is de grootte van de populatie als deel van de maximale populatie. Pn is dus een getal tussen 0 en 1.
• c is de startpopulatiefractie. Ook dit getal wordt uitgedrukt als een deel van de maximale populatie (en dus geldt 0 < c < 1 ).
• r is de reproductiefactor: een getal dat aangeeft hoe snel een populatie zich per jaar uitbreidt.

Neem aan dat in een bepaald bosrijk gebied een populatie van

165 vossen leeft. De reproductiefactor van de vossen in dit gebied is 1,28 en in het gebied is plaats voor maximaal 500 vossen.

In model 1 wordt ervan uitgegaan dat een populatie altijd even snel groeit. Dit komt echter niet overeen met de werkelijkheid: als de populatie groeit wordt de ruimte per dier namelijk steeds kleiner, waardoor het moeilijker wordt om voedsel te vinden. Hierdoor zal een populatie steeds minder snel gaan groeien naarmate deze toeneemt.

Een verbeterde versie van model 1 is het logistische model:

Pn = r · Pn−1 · (1

• Pn−1 ) model 2 P0 = c

De variabelen in dit model hebben dezelfde betekenis als in model 1.

De Oostvaardersplassen is een natuurgebied in de buurt van Lelystad. In

2020 leefden er in dit gebied een groot aantal edelherten. Door dit grote aantal konden andere diersoorten, voornamelijk vogels, zich niet meer goed ontwikkelen. Mede daarom wordt sinds 2021 de populatie door het afschieten van de dieren stabiel gehouden op 500 edelherten.

Neem aan dat er maximaal 2000 edelherten in de Oostvaardersplassen kunnen leven. Er geldt vanaf 2021 dat r = 1,58 en c = 0, 25 .

In de rest van deze opgave gaan we bekijken hoe model 2 zich gedraagt bij verschillende waarden van r.

Als je voor r een getal tussen de 0 en 1 invult, dan nadert Pn voor iedere startwaarde c (met 0 < c < 1 ) naar 0. Je kunt dat beredeneren met de formule voor Pn .

Voor waarden van r groter dan 1 wordt het model erg onvoorspelbaar.

figuur

In de figuur is de grafiek getekend voor r = 3,15 en c = 0, 25 . Er is te zien dat de waarde van Pn op den duur heen en weer gaat springen tussen twee vaste waarden.

Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.

In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:

U: het aantal unieke woorden in een stuk tekst; T: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.

We bekijken de eerste twee zinnen van deze opgave:

Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend.

Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

In figuur 1 is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T. Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen

8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen.

De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen U en T voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.

De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database

• de zogeheten RCV1
• beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek. Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 2, waarin log(U ) tegen log(T ) is uitgezet.

[figuur 2: zie het originele examen]

De grafiek in figuur 2 geeft het werkelijke verband tussen U en T in RCV1 en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan- Heap.

Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.

Een formule voor de gestippelde lijn in figuur 2 is log(U ) = 0, 49 log(T ) + 1, 64

De formule log(U ) = 0, 49 log(T ) + 1, 64 kan worden herleid tot de vorm U = c · T n . Na afronding van c op gehelen geldt U = 44 · T 0,49 .

Naarmate je vanaf het begin onafgebroken verder leest in RCV1, komen er steeds minder unieke woorden bij. Vanaf een bepaald totaal aantal woorden komt er (gemiddeld) minder dan één uniek woord per 50 woorden bij.

De London Eye is een reuzenrad in foto Londen. Zie de foto.

Een toerist heeft een kaartje gekocht waarmee hij zelf een dagprogramma kan samenstellen. Zo’n dagprogramma bestaat uit een bezoek aan de London Eye en aan nog twee andere attracties. Die twee andere attracties mag hij kiezen uit vijf bekende attracties in Londen. De toerist mag zelf bepalen in welke volgorde hij de drie attracties bezoekt.

De London Eye heeft 32 gondels, waarin de bezoekers plaatsnemen. Eén rondgang van een gondel duurt precies 30 minuten. De grafiek in de figuur hoort bij de hoogte van een van de gondels.

figuur

Bij deze grafiek hoort de formule h = 75 + 60 · sin(0, 209t ) . Hierbij is h de hoogte van de gondel boven de grond in meters en t de tijd in minuten met t = 0 om 11.00 uur ’s ochtends. Deze grafiek hoort echter niet bij de gondel die zich om 11.00 uur bij het instapplatform in het laagste punt bevindt. De grafiek van de gondel die zich om 11.00 uur in het laagste punt bevindt, heeft een formule van de vorm h = 75 + 60 · sin(0, 209(t

• d )) .

De gondels draaien met een dusdanig lage constante snelheid dat bij het in- en uitstappen het reuzenrad niet hoeft te worden stilgezet. Deze constante snelheid is even groot als de maximale snelheid waarmee h toeneemt of afneemt.

Hoe hoger je in het reuzenrad komt, hoe verder je kunt kijken. Met de formule a = h 2 + 12742000h , waarbij a de maximale kijkafstand in meters is en h de hoogte boven de grond in meters, kun je benaderen hoe ver je kunt kijken vanaf een bepaalde hoogte boven de grond.

Windsor Castle ligt hemelsbreed 40 kilometer van de London Eye vandaan. Op een heldere dag kun je vanuit de London Eye Windsor Castle zien liggen.

Voor reizigers met het openbaar vervoer verkoopt de NS de zogenaamde NS Flex-abonnementen. Je kunt dan voor elke maand opnieuw het abonnement kiezen waarmee je in die maand in totaal de laagste kosten hebt. Drie van deze Flex-abonnementen zijn Dal Voordeel, Altijd Voordeel en Dal Vrij. In de tabel staan voor deze abonnementen de kosten per maand aangegeven en de kortingen die bij deze abonnementen gegeven worden. In deze opgave beperken we ons tot deze drie abonnementen.

tabel Dal Voordeel Altijd Voordeel Dal Vrij € 5,- per maand € 23,- per maand € 105,- per maand 40% korting in het 40% korting in het onbeperkt reizen in het weekend weekend weekend 40% korting buiten de 40% korting buiten de onbeperkt reizen buiten spits spits de spits geen korting in de spits 20% korting in de spits geen korting in de spits

Eefje woont in Enschede en werkt in Deventer. Ze reist altijd met de trein naar haar werk. Het aantal dagen dat ze per maand moet reizen is verschillend. Eefje wil een schema maken waaruit ze voor elk mogelijk aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor haar het voordeligst is.

Voor het maken van dit schema moet rekening gehouden worden met de volgende gegevens:

• Eefjes werkdagen zijn van maandag tot en met donderdag.
• Eefjes heenreis is met de trein van 6.16 uur vanuit Enschede.
• Eefjes terugreis is met de trein van 17.30 uur vanuit Deventer.
• Eefje reist altijd 2e klas en via de goedkoopste route.
• Eefje reist alleen voor haar werk met de trein.
• De spits is op werkdagen van 6.30 tot 9.00 uur en van 16.00 tot 18.30 uur.
• Het tijdstip waarop je incheckt, bepaalt de korting die wordt berekend voor de hele reis.
• Een enkele reis Enschede-Deventer vol tarief 2e klas kost € 12,10.