Eindexamen wiskunde A vwo 2022, tijdvak 3: vragen en antwoorden

In Nederland drukken we temperaturen meestal uit in graden Celsius (°C), maar er bestaan veel meer temperatuurschalen. In deze opgave bekijken we een aantal van deze temperatuurschalen.

In de Verenigde Staten wordt de temperatuur uitgedrukt in graden Fahrenheit (°F). De Fahrenheitschaal is in 1724 ontwikkeld door de Duitser Gabriel Fahrenheit. Hij gebruikte bij het bedenken van deze schaal de volgende drie referentiepunten:

1 Hij maakte een mengsel van ijs, water en een bepaald soort zout. Dat was in die tijd de manier om een zo laag mogelijke temperatuur te verkrijgen. Die temperatuur noemde hij 0 °F.

2 Het vriespunt van water. Dat noemde hij 32 °F.

3 De lichaamstemperatuur van een gezond mens. Die noemde hij 96 °F.

In graden Celsius is de lichaamstemperatuur van een gezond mens gelijk aan 37 °C en is het vriespunt van water 0 °C. Zowel de Celsiusschaal als de Fahrenheitschaal is lineair. En ook het verband tussen de temperatuur in graden Celsius en die in graden Fahrenheit is lineair.

De metingen van Fahrenheit waren vrij onnauwkeurig en daarmee was zijn temperatuurschaal dat ook. Inmiddels is de Fahrenheitschaal nauwkeuriger vastgesteld en geldt tussen graden Celsius (C) en graden 5 Fahrenheit (F) het volgende verband: C = ( F

• 32) . 9

In de wetenschap werkt men meestal met de Kelvinschaal. Deze schaal is afgeleid van de Celsiusschaal, maar heeft een ander nulpunt, namelijk het zogenoemde absolute nulpunt. Dat is de laagst mogelijke temperatuur. In graden Celsius is dat −273,15 °C.

Er geldt: K = C + 273,15 met K in Kelvin. Door de twee bovenstaande formules te gebruiken, kun je een formule opstellen die de temperatuur in Kelvin uitdrukt in graden Fahrenheit. Deze formule heeft de vorm K = aF + b .

In de figuur zijn de grafieken getekend van verschillende temperatuurschalen: Celsius, Fahrenheit en Kelvin. Beide assen hebben een lineaire schaalverdeling. Op de horizontale as is echter geen schaalverdeling weergegeven: daar staan enkele natuurkundige verschijnselen die bij de betreffende temperaturen plaatsvinden. In de figuur is ook de grafiek getekend van de schaal van Rankine. Deze schaal is in de negentiende eeuw afgeleid van die van Fahrenheit, maar heeft, net als de Kelvinschaal, het absolute nulpunt als nulpunt. De grafieken die horen bij Fahrenheit en Rankine zijn evenwijdig.

figuur 800 Rankine 700

600

500 Kelvin 400 Fahrenheit 300

200 Celsius 100

0

-100

-200 temperatuur lichaams- ijsmengsel temperatuur -300 Fahrenheit -400 smeltpunt kookpunt -500 van water van water

Met behulp van deze grafieken en/of de voorgaande formules is het mogelijk om een verband op te stellen tussen de temperatuur in °C en die in graden Rankine (°Ra).

Dat verband heeft de vorm: C = pR + q met C de temperatuur in °C en R de temperatuur in °Ra.

Op de verpakking van een zonnebrandcrème staat de volgende tabel:

tabel maximale tijd in de zon in uren en minuten (bij zonkracht 8) huidtype zonder crème met crème factor 20

1 zeer lichte huid 7,5 minuten 2 uur 30 minuten

2 lichte huid 12,5 minuten 4 uur 10 minuten

3 licht getinte huid 25 minuten 8 uur 20 minuten

4 getinte huid 37,5 minuten 12 uur 30 minuten

De beschermingsfactor van een zonnebrandcrème geeft aan met welke factor je de maximale tijd in de zon zonder crème moet vermenigvuldigen om de maximale tijd in de zon met crème te krijgen. Zo kun je in de tabel aflezen dat met huidtype 1 de maximale tijd in de zon zonder crème 7,5 minuten is. Met crème factor 20 is deze maximale tijd 20 maal zo lang.

Bovengenoemde tabel geldt voor zonkracht 8. De zonkracht is een maat voor de intensiteit van de zonnestraling. Zonkracht 8 is de maximale zonkracht die in Nederland voorkomt. Hoe lang iemand in de zon kan blijven, hangt niet alleen af van zijn huidtype en de zonnebrandcrème, maar ook van de zonkracht. Voor T, de maximale tijd in de zon zonder crème, wordt wel de volgende formule gebruikt: huidwaarde T= zonkracht Hierbij is T in minuten en heeft huidtype 1 huidwaarde 60, huidtype 2 huidwaarde 100, huidtype 3 huidwaarde 200 en huidtype 4 huidwaarde 300.

Er zijn zonnebrandcrèmes met beschermingsfactor 10, 15, 20, 30 en 50 beschikbaar.

Op een licht bewolkte dag in juni is de zonkracht 5. Iemand met huidtype 2 wil 4 uur in de zon kunnen blijven.

In werkelijkheid is de zonkracht gedurende een dag nooit constant, maar varieert afhankelijk van de bewolking en het moment van de dag. In de figuur zie je de gemeten zonkracht op 5 september 2015 in Bilthoven. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 4 zonkracht

3

2

1

0

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 tijd (in uren)

De met lijntjes verbonden punten geven de metingen aan. In de figuur is ook een grafiek getekend die de maximaal mogelijke zonkracht geeft, dat wil zeggen de zonkracht bij onbewolkte hemel. Onderzoekers benaderen deze grafiek met een formule van de vorm: Z = a + b sin(c(t

• d )) Hierin is Z de maximaal mogelijke zonkracht en t de tijd in uren.

Op een bepaalde dag in augustus moet Marieke een lange tijd in de zon werken. Marieke heeft huidtype 1 en ze smeert zich altijd in met zonnebrandcrème factor 15. Je kunt nu berekenen dat Marieke maximaal

225 minuten in de zon kan blijven als de zonkracht constant 4 zou zijn.

Voor die dag in augustus is door een onderzoeker voor de maximaal mogelijke zonkracht Z de volgende formule opgesteld: Z = 2,65 + 2,65sin(0,50(t

• 10,7)) Hierin is t de tijd in uren met 7,6 ≤ t ≤ 20,1. Neem aan dat de zon op deze dag de hele dag schijnt met de maximaal mogelijke kracht, dus volgens de formule.

Op veel schoolpleinen van basisscholen zie je groepen kinderen touwtjespringen. Twee kinderen draaien een lang touw rond, terwijl andere kinderen één voor één al springend het draaiende touw binnengaan en weer uitgaan.

In de figuur is een model van het springtouw in een assenstelsel getekend. De doorgetrokken lijn is het springtouw in de laagste stand en de stippellijn is het springtouw in de hoogste stand. Het springtouw wordt door de draaiers vastgehouden in de punten A en B. Het springtouw raakt de grond precies midden tussen de draaiers in. We gaan er in dit model van uit dat het springtouw symmetrisch om de as AB heen draait.

figuur H 2

1

A B

O x -3 -2 -1 1 2 3

-1

De formule die hoort bij de doorgetrokken lijn in de figuur is:

H ( x) = e −0,31x + e0,31x

• 2

Hierin is H ( x ) de hoogte (in meters) van het springtouw en x de ‘afstand’1) (in meters) gemeten vanaf het punt waar het springtouw de grond raakt. In dit model verwaarlozen we de dikte van het springtouw. Het model is symmetrisch ten opzichte van de H-as en de maximale hoogte van de stippellijn in de figuur is 1,54 meter.

Uit de gegevens volgt dat de draaiers ongeveer 5,5 meter van elkaar staan.

noot 1 Als x negatief is, betekent dit dat het bijbehorende punt op de doorgetrokken lijn ergens tussen A en het laagste punt van de doorgetrokken lijn ligt. Zie de figuur.

Bij een bepaald onderdeel van het spel moeten de kinderen rechtop onder het springtouw door rennen, zonder daarbij het touw te raken. Dat moeten ze zo dicht mogelijk bij een van de draaiers doen. Het is natuurlijk het handigst om het zo te doen dat je onder het touw door rent als het in de hoogste stand is.

Milan is 1,39 meter lang.

Bij het touwtjespringen kunnen verschillende spelletjes gespeeld worden. Een groep van tien kinderen speelt zo’n spel. Bij dit spel wordt deze groep als volgt verdeeld:

• twee kinderen draaien met het touw, de zogenaamde draaiers;
• de overige acht kinderen worden in twee gelijke teams verdeeld.

Bij dit spel gaan de kinderen van een team één voor één het springtouw binnen. Het eerste kind maakt dan één sprong. Zodra het eerste kind één sprong gemaakt heeft, komt het tweede kind het springtouw binnen en samen maken ze twee sprongen. Na deze twee sprongen komt het derde kind het springtouw binnen en met z’n drieën maken ze vier sprongen. Tot slot komt het vierde kind binnen en met z’n vieren springen ze dan zes keer. Direct na deze laatste sprongen verlaat het eerste kind het springtouw weer en kind 2, 3 en 4 volgen hem steeds met tussenpozen van drie sprongen. In totaal wordt er zo dus 22 keer gesprongen.

Op de uitwerkbijlage zie je een gedeeltelijk ingevuld schema bij dit spel.

Bij helder weer geldt: naarmate je hoger staat, kun je verder kijken. Maar is het ook zo dat je tweemaal zo ver kunt kijken als je tweemaal zo hoog staat? Dat onderzoeken we in deze opgave.

Daarvoor maken we een model: we beschouwen de aarde als een gladde bol. Zie de figuur.

figuur A x H

M

De ogen van een waarnemer staan in punt A en de waarnemer kan tot punt H kijken: zó ver reikt zijn horizon. Punt M is het middelpunt van de aarde. Lijnstuk MH is een straal van de aarde; MH = 6371 km. De lengte van lijnstuk MA is 6371 km plus de hoogte van A boven de grond. De hoogte van A boven de grond noemen we x (in kilometers). Driehoek AHM is rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras AH 2 + HM 2 = AM 2 kunnen we nu de afstand AH (in kilometers) uitdrukken in x:

AH = 12742 x + x 2

Wie de Domtoren in Utrecht beklimt, kan op 75 meter ooghoogte en op

90 meter ooghoogte naar buiten kijken.

Dat je verder kunt kijken als je hoger staat, betekent dat AH toeneemt als x toeneemt. Uit de formule blijkt dat dit het geval is.

Ook door te differentiëren kun je aantonen dat AH toeneemt als x toeneemt. dAH

Henk beweert dat, als je tweemaal zo hoog staat, je ook altijd tweemaal zo ver kunt kijken.

In 2015 koopt Casper een nieuwe woning. Om die te kunnen betalen, sluit hij bij een bank een hypotheek af. Hij spreekt met de bank een periode af waarin hij de lening terugbetaalt, de looptijd van de hypotheek. Hierbij is het maandelijks te betalen bedrag gedurende de looptijd iedere maand hetzelfde. Dit bedrag bestaat voor een deel uit rente en voor een deel uit aflossing; deze aflossing is een terugbetaling van een gedeelte van het geleende bedrag.

De hoogte van de maandelijkse betaling wordt zó gekozen dat aan het eind van de looptijd de hypotheek precies is afgelost en alle rente is betaald.

De hypotheek van Casper is € 250 000. Bij zijn hypotheek is de rente gedurende de gehele looptijd van 30 jaar hetzelfde, namelijk 4,3% rente per jaar over het nog terug te betalen deel van het geleende bedrag. Voor de restschuld van Casper kan de volgende recursieve formule worden opgesteld: Rn = 1,0035 · Rn−1

• B met R0 = 250000 In deze formule is Rn de restschuld (in euro’s) na n maanden en B het bedrag (in euro’s) dat hij per maand betaalt.

De maandelijkse groeifactor is in deze formule afgerond op 4 decimalen tot 1,0035.

Voor de hypotheek van Casper geldt B = 1225,10 . Volgens zijn hypotheekadviseur is het zo dat hij na 10 jaar meer dan 20% van zijn hypotheek heeft afgelost.

Het bedrag dat Casper per maand betaalt, bestaat voor een deel uit rente (I) en voor een deel uit aflossing (F). Er geldt dus: B = I + F .

Aan het begin van de looptijd bestaat dit bedrag voor het grootste deel uit rente en slechts voor een klein deel uit aflossing, maar naarmate er meer afgelost wordt, neemt het rentedeel af en de aflossing toe. Voor de hypotheek van Casper is met B =1225,10 het verloop van I en F weergegeven in de figuur.

Voor Casper kan de figuur aflossing van zijn € 1.400,00 bedrag hypotheek benaderd (in €) worden met de € 1.200,00 formule € 1.000,00

F = 345, 24e0,0035n met n in maanden. € 800,00

€ 0,00

1 51 101 151 201 251 301 351 In het algemeen geldt looptijd (in maanden) voor het berekenen van het maandelijks te Legenda: rente (I) betalen bedrag B de aflossing (F) volgende formule: 0,01r

B = L·

1

• (1 + 0,01r )
• n In deze formule is L de hoogte van de lening, r het rentepercentage per maand en n de (resterende) looptijd van de lening in maanden.

Na 10 jaar bedraagt de restschuld van Casper nog € 198 396.1) Hij heeft op dat moment de mogelijkheid € 50 000 van zijn hypotheek af te lossen. Het nadeel is wel dat hij dan voor de resterende looptijd van 20 jaar een nieuwe lening moet afsluiten met 0,375% rente per maand.

Casper heeft nu twee mogelijkheden: I Hij verandert niets aan zijn hypotheek en blijft € 1225,10 per maand betalen. De € 50 000 zet hij op een lange-termijnspaarrekening waar hij 2,95% rente per jaar krijgt. II Hij lost met de € 50 000 zijn hypotheek voor een deel af en betaalt nog maar € 938,83 per maand. Het geld dat hij per maand minder uitgeeft, zet hij op de bank maar hij ontvangt hier geen rente over.