Eindexamen wiskunde A vwo 2019, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) doet sinds 1990 jaarlijks onderzoek naar het vakantiegedrag van Nederlanders. Dit onderzoek wordt het Continu Vakantie Onderzoek (CVO) genoemd. Bij dit onderzoek gaat het CBS niet uit van alle Nederlanders. Mensen die niet op vakantie kunnen doordat ze bijvoorbeeld in een instelling zitten, doen niet mee in het onderzoek. De onderzochte populatie wordt de CVO- populatie genoemd. Deze is dus kleiner dan de hele Nederlandse populatie.

Uit het CVO blijkt dat 80,7% van de CVO-populatie in 2016 ten minste één keer op vakantie is geweest. Deze 80,7% ging maar liefst 35,5 miljoen keer op vakantie: een gemiddelde van 2,78 vakanties per persoon. Met behulp van deze gegevens is de omvang van de CVO-populatie in 2016 te berekenen.

In het vervolg van deze opgave zullen we de CVO-populatie gewoon ‘Nederlanders’ noemen. Uit het CVO blijkt dat het aantal vakanties naar het buitenland in de loop van de jaren behoorlijk veranderd is. In figuur 1 is het verloop van het aantal buitenlandse vakanties weergegeven.

figuur 1 aantal buitenlandse vakanties

19 000 aantal (x1000)

18 000

17 000

16 000

15 000

14 000

13 000

12 000

11 000

10 000 0 92

94

96

98

00

02

04

06

08

10

12

14 90 19

19

19

19

20

20

20

20

20

20

20

20 19

jaar

In figuur 1 is bovendien de trendlijn voor het verloop van het aantal buitenlandse vakanties met een stippellijn in de periode tot en met 2001 weergegeven.

Hoewel het CVO pas sinds 1990 plaatsvindt, is er, gebruikmakend van de trendlijn tot en met 2001, toch een uitspraak te doen over het aantal buitenlandse vakanties in de periode voorafgaand aan 1990.

In figuur 1 is te zien dat de lineaire trend die er tot en met 2001 was, eindigt. In 2002 is er een forse toename. Die is te verklaren doordat het CBS sinds 2002 één of meer overnachtingen bij familie in het buitenland ook als een vakantie telt, terwijl dat in de jaren ervoor niet het geval was.

In figuur 2 is nogmaals het aantal buitenlandse vakanties weergegeven. Verder is ook het verloop van het totaal aantal vakanties (in binnen- en buitenland samen) weergegeven. Bovendien is voor beide een model opgesteld en weergegeven. Die modellen komen pas na de volgende vraag aan de orde.

figuur 2 aantal vakanties in binnen- en buitenland

40 000 aantal (x1000)

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

0 92

94

96

98

00

02

04

06

08

10

12

14 90 19

19

19

19

20

20

20

20

20

20

20

20 19

jaar Legenda: totaal aantal vakanties model totaal aantal vakanties aantal vakanties buitenland model aantal vakanties buitenland

Bij de modellen in figuur 2 horen de volgende formules:

B = −10,1t ² + 587t + 10 200 en T = −20,3t ² + 951t + 24 800 In dit model is B het aantal buitenlandse vakanties per jaar, T het totaal aantal vakanties per jaar en t de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1990.

B en T zijn beide in duizenden.

Volgens bovenstaand model had het aantal binnenlandse vakanties ook een maximum.

Het CBS onderzoekt ook hoe lang mensen op vakantie gaan. Hoewel Nederlanders steeds vaker op vakantie gaan, worden deze vakanties steeds korter.

Een model dat het aantal vakanties per jaar en de lengte van deze vakanties beschrijft, is:

A = 0,0136t + 2, 43 en L = −0,024t + 9,3 In dit model is A het gemiddelde aantal vakanties per jaar per Nederlander, L de gemiddelde lengte van een vakantie in dagen, en t is weer de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1990.

Volgens dit laatste model blijft het aantal dagen per jaar dat een Nederlander gemiddeld op vakantie gaat, de rest van deze eeuw stijgen.

In deze opgave bekijken we de (gemiddelde) lengte van Nederlandse jongens tot 21 jaar. Met ‘lengte’ wordt in de hele opgave de gemiddelde lengte bedoeld. We gebruiken in deze opgave een veelgebruikt model uit de kindergeneeskunde, het zogenaamde KKP-model. In dit model bestaat de lengte uit drie componenten L1, L2 en L3. Bij elkaar opgeteld geven deze drie componenten de lengte van Nederlandse jongens. In figuur 1 staan de drie componenten L1, L2 en L3 en is ook de som van de drie getekend.

[figuur 1: zie het originele examen]

200 lengte (in cm) L1 + L2 + L3 180

160

140

120

100 L2

80 L1

60

40

20 L3

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 leeftijd (in jaren)

In het eerste half jaar is de bijdrage van de componenten L2 en L3 voor de lengte verwaarloosbaar en is L1 alleen een goede benadering voor de lengte. De formule voor L1 is:

L1 = 76, 4

• 19, 4 · 0,9704w met L1 in cm en w de leeftijd in weken

De formule die hoort bij L1 heeft een grenswaarde.

Na het eerste halfjaar is de bijdrage van de component L2 niet meer te verwaarlozen. De formule voor L2 is:

L2 = −0, 235t 2 + 9,5t

• 4,7 met L2 in cm en t de leeftijd in jaren Deze formule speelt verderop in deze opgave nog een rol.

De component L3 is de extra lengte als gevolg van de groeispurt die jongens in de pubertijd ondergaan. De formule voor L3 is: 16,1 L3 = met L3 in cm en t de leeftijd in jaren

1 + e16,4−1,2t Voor de afgeleide van L3 geldt: 19,32 · e16,4−1,2t L3′ = (1 + e ) 2 16,4−1,2t

Met behulp van de afgeleide van L3 kun je op elk moment in de pubertijd berekenen hoe groot de extra groeisnelheid als gevolg van die groeispurt is.

De som van L1, L2 en L3 levert de lengte L van een jongen. L kan met de volgende formule beschreven worden: 16,1 L = −19, 4 · 0, 2096t −0, 235t 2 + 9,5t + 71,7 +

1 + e16,4−1,2t Hierbij is L in cm en t de leeftijd in jaren.

215,00 205,00 0,3 195,00 185,00 0,2 175,00 165,00 0,1 155,00 145,00 0 135,00 125,00 −0,1 115,00 105,00 −0,2 95,00 85,00 −0,3 75,00 65,00 −0,4 0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 lengte (in jaren) Legenda: werkelijkheid model afwijking

In figuur 2 is af te lezen bij welke leeftijd de absolute afwijking van de berekende gemiddelde lengte met de KKP-formule ten opzichte van de echte groeigegevens het grootst is. De figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.

Ruim 50 jaar geleden maakte de kunstenaar figuur 1 Peter Struycken het werk ‘Wetmatige beweging’. Dit kunstwerk is opgebouwd uit 625 zwarte vormen: vierkanten en andere rechthoeken, die met een bepaalde regelmaat verdeeld zijn over een wit vlak. Zie figuur 1.

Elk van de 625 zwarte vormen is gemaakt op basis van een 3×3-rooster van 9 vierkanten. Hierbij gelden de volgende voorwaarden:

• het middelste vierkant in zo’n 3×3-rooster is altijd zwart;
• een vorm bestaat uit 1, 2, 3, 4, 6 of 9 zwarte vierkanten;
• een vorm is een rechthoek (en kan dus ook een vierkant zijn). Zie figuur 2 voor vier voorbeelden.

[figuur 2: zie het originele examen]

De twee vierkante vormen in figuur 2 worden als verschillende vormen opgevat, omdat ze op verschillende plaatsen in het 3×3-rooster staan.

In deze opgave gaan we ervan uit dat de hokjes in het 3×3-rooster allemaal 1 cm bij 1 cm zijn.

Om de totale oppervlakte te berekenen van de 625 gebruikte zwarte vormen, verdelen we het werk in 9 delen. Zie de uitwerkbijlage. In elk deel komt slechts één type vorm voor.

• Het middelste deel bestaat uit één vorm met oppervlakte 4 cm2.
• Er zijn 4 delen die elk uit 12 dezelfde vormen bestaan.
• Er zijn 4 driehoekige delen met elk evenveel vormen.

In het midden van het kunstwerk staat dus één vorm met oppervlakte

4 cm2. Dat is tevens de enige vorm met oppervlakte 4 cm2 die in het kunstwerk voorkomt. Je kunt het kunstwerk opgebouwd zien vanuit het midden door vanuit dat midden naar de rand van het kunstwerk te ‘lopen’. Je komt dan steeds een volgende zogeheten schil tegen, een rechthoekige rand van vormen. Zie ook figuur 3. Vanuit het midden is het werk opgebouwd uit 12 schillen.

In het vervolg van deze opgave bekijken we delen van dit kunstwerk, waarbij het aantal schillen variabel is. Het aantal schillen noemen we n. Voor het originele kunstwerk geldt dus n = 12 .

Met bijvoorbeeld n = 2 krijgen we het deel van het figuur 3 kunstwerk zoals in figuur 3. In figuur 3 zie je ook de 2 verschillende schillen plus de middenvorm met oppervlakte 4 cm2.

In figuur 3 zijn in totaal 24 vormen rondom de vorm met oppervlakte 4 cm2 in het midden gerangschikt. Deze 24 vormen zijn als volgt onderverdeeld:

− vier keer , vier keer , vier keer en vier keer ;

• twee keer , twee keer , twee keer en twee keer .

Stel je voor dat je deze 24 vormen weghaalt van hun huidige posities en ze daarna willekeurig over de zo vrijgekomen posities gaat herverdelen zonder de vormen te draaien. De middenvorm met oppervlakte 4 cm2 blijft daarbij dus op zijn plaats.

De totale oppervlakte in cm2 van de gebruikte vormen bij n schillen noemen we O(n) . Voor O (n) is een formule opgesteld:

(1) O (n) = 1 · 4 + n · (2 + 2 + 6 + 6) + 12 n · (1 + 2n

• 1) · (1 + 3 + 3 + 9) Deze formule is te herschrijven als: (2) O ( n) = (4n + 2) 2

Formule (2) is een directe formule. We kunnen deze formule ook gebruiken om een recursieve formule op te stellen voor O(n) . Zo’n formule heeft de vorm: O (n + 1) = O( n) + an + b met O (0) = 4

Binnen de economie spelen rentepercentages en de bijbehorende verdubbelingstijden een grote rol. De verdubbelingstijd is de tijd die nodig is om een bedrag te verdubbelen.

In de praktijk wordt er binnen de economie vaak gebruikgemaakt van vuistregels om bij een gegeven rentepercentage de verdubbelingstijd te schatten.

Twee voorbeelden van zo’n vuistregel zijn de zogeheten 72-regel en de zogeheten bankenformule: 72

• volgens de 72-regel geldt: T = ; p 70
• volgens de bankenformule geldt: T = . p In beide vuistregels is p het rentepercentage per jaar en is T de verdubbelingstijd in jaren.

Een bank biedt een spaarrekening met een rente van 1,00% per jaar aan. Met behulp van de bankenformule kan geschat worden welke verdubbelingstijd hierbij geldt. Om met de 72-regel tot dezelfde verdubbelingstijd te komen, zou er een iets hoger rentepercentage moeten gelden.

De schatting van de verdubbelingstijd volgens de 72-regel valt altijd hoger uit dan de schatting volgens de bankenformule. Hoe hoger het rentepercentage echter is, hoe kleiner het verschil in verdubbelingstijd wordt tussen beide vuistregels.

Het werkelijke verband tussen p en T is (1 + 0,01 p )T = 2 .

Van de twee genoemde vuistregels wijkt de schatting volgens de bankenformule bij lage rentepercentages het minst af van de werkelijke verdubbelingstijd.

Bij een rentepercentage van 1,10% per jaar is het verschil tussen de schatting van de verdubbelingstijd volgens de bankenformule en de werkelijke verdubbelingstijd slechts enkele maanden.

De schatting volgens de 72-regel en de schatting volgens de bankenformule worden beide gegeven door een formule van de vorm p · T = c met c = 72 bij de 72-regel en c = 70 bij de bankenformule. Deze waarden voor c zijn onder andere zo gekozen om het rekenwerk te vergemakkelijken. Door in de formule p · T = c met een andere waarde van c te rekenen, kan er een nauwkeurigere schatting van de verdubbelingstijd gegeven worden.

Hiervoor bekijken we nogmaals het werkelijke verband tussen p en T. Dit verband kan ook geschreven worden als:

( ) ln (1 + 0,01 p )T = ln(2)

Bij economen is bovendien bekend dat

• voor de gangbare waarden van p die in de economie gelden
• de volgende benadering gebruikt mag worden: ln(1 + 0,01 p ) ≈ 0,01 p

( ) Met behulp van het verband ln (1 + 0,01 p )T = ln(2) en de aanname ln(1 + 0,01 p ) = 0,01 p kan nu een nauwkeurigere waarde van c berekend worden.