Eindexamen wiskunde A vwo 2022, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Als je op een zomerse dag een glas limonade op tafel zet, dan kan het glas binnen de kortste keren aan de buitenkant nat zijn. Dat komt doordat waterdamp uit de lucht neerslaat op het glas. We noemen dat condens. Condens ontstaat als de temperatuur van het glas lager is dan het zogenaamde dauwpunt: de temperatuur waarbij waterdamp uit de lucht condenseert. Het dauwpunt Td in °C is afhankelijk van de luchttemperatuur en de luchtvochtigheid en kan worden berekend met formule 1: 237,7 · G 17, 27 · L R Td = , met G = + ln (formule 1) 17, 27

• G 237,7 + L 100 Hierin is L de luchttemperatuur in °C en R de (relatieve) luchtvochtigheid in % (met 0 < R ≤ 100 ).

Hoewel de eerste condens al eerder ontstaat, is de condens pas goed zichtbaar als de temperatuur van het glas minimaal 3 °C onder het dauwpunt ligt.

Op een dag is de luchttemperatuur 23 °C en de luchtvochtigheid 65%. Op tafel staat een glas limonade. Het glas heeft een temperatuur van 12 °C.

Er wordt vaak gezegd dat een hoge luchtvochtigheid oncomfortabel is. Amerikaans onderzoek toonde echter aan dat comfortgevoel niet alleen bepaald wordt door de luchtvochtigheid, maar ook door het dauwpunt. In de tabel wordt het verband tussen het dauwpunt en het comfortgevoel aangegeven. tabel dauwpunt (°C) comfortgevoel ≥ 26 ernstig onaangenaam

24 - < 26 zeer onaangenaam

21 - < 24 behoorlijk onaangenaam

18 - < 21 enigszins onaangenaam

16 - < 18 voor de meeste mensen acceptabel

13 - < 16 comfortabel

10 - < 13 zeer comfortabel < 10 aan de droge kant

De zomer van 2018 was in heel Europa erg warm. Bij een hoge luchttemperatuur is het dauwpunt ook hoog en dan wordt de luchttemperatuur dus als onaangenaam ervaren. In Nederland liep de temperatuur op tot 33 °C en in het zuiden van Spanje zelfs tot 46 °C.

In Nederland werd de maximumtemperatuur als zeer onaangenaam ervaren, terwijl in Spanje de veel hogere maximumtemperatuur dankzij een lage luchtvochtigheid als enigszins onaangenaam werd ervaren.

In de winter zetten de meeste mensen hun verwarming op 20 °C. Bij een vaste luchttemperatuur van 20 °C kan formule 1 herleid worden tot: 237,7 · (ln( R)

• 3, 265) Td = (formule 2) 20,535
• ln( R )

In de winter is de luchtvochtigheid in huis vaak aan de lage kant. Als de luchtvochtigheid lager is dan 30%, is dit schadelijk voor de gezondheid.

In een huiskamer met een luchttemperatuur van 20 °C blijkt het dauwpunt

3 °C te zijn.

Elk jaar vindt in Friesland het skûtsjesilen plaats. Dit zijn zeilwedstrijden met oude vrachtschepen, skûtsjes genaamd. Er zijn twee organisaties die deze wedstrijden organiseren: de SKS1) en de IFKS2).

tabel Voor het jaarlijkse SKS-kampioenschap worden 11 wedstrijden gezeild, waaraan uitslag punten

14 skûtsjes meedoen. winnaar 0,9 Voor elke wedstrijd krijgen de skûtsjes punten 2e plaats 2 in volgorde van aankomst. De winnaar krijgt 3e plaats 3 0,9 punt. Nummer twee krijgt 2 punten, nummer drie krijgt 3 punten, enzovoort. … … Zie de tabel. 14e plaats 14

Na afloop van de 11 wedstrijden wordt voor elk skûtsje het slechtste resultaat geschrapt. De punten van de overige 10 wedstrijden worden per skûtsje bij elkaar opgeteld. Het skûtsje dat dan de minste punten heeft, is kampioen.

noot 1 SKS = Sintrale Kommisie Skûtsjesilen noot 2 IFKS = Iepen Fryske Kampioenskippen Skûtsjesilen

De afmetingen van de deelnemende skûtsjes zijn niet identiek. Om er toch een eerlijke wedstrijd van te maken, wordt voor elk skûtsje het maximaal toegestane zeiloppervlak berekend.

In eerste instantie rekende de SKS met formule Amels, maar deze formule is in 2000 aangepast en opnieuw aangepast in 2016: S = 1,90 · L · ( B + 2 D ) (formule Amels) S = 2,15 · L · ( B + 2 D) (formule 2000) S = 2,15 · L · ( 23 B + 1, 25 + 2 D ) (formule 2016)

Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m2, L de lengte van het skûtsje, B de breedte en D de diepgang ( L, B en D in meters).

De invoering van formule 2000 had tot gevolg dat elk skûtsje hetzelfde percentage extra zeil mocht hebben.

Een van de skûtsjes is 17,13 m lang en 3,57 m breed en mag volgens formule 2000 een maximaal zeiloppervlak van 160,2 m2 hebben.

Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de volgende formule: S = (3, 2525

• 0,05 L) · L · B (formule IFKS) Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m2, L de lengte van het skûtsje en B de breedte (L en B in meters).

Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van 0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 m 2 groter is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.

Een skûtsje heeft altijd een lengte L tussen de 12 en 20 meter. Bij een vaste breedte van het skûtsje geldt: hoe langer het skûtsje, des te groter het maximaal toegestane zeiloppervlak. Dit is echter niet meteen duidelijk te zien in formule IFKS. Om dit aan te tonen kun je een vaste waarde voor B kiezen en daarna dS laten zien dat de afgeleide van formule IFKS positief is. dL dS

De Waalbrug is een verkeersbrug die Nijmegen en Lent met elkaar verbindt. In figuur 1 is een schematische tekening van de Waalbrug weergegeven. Hierin zijn de rechthoekjes de pijlers van de brug en is de horizontale lijn het wegdek.

[figuur 1: zie het originele examen]

De Waalbrug heeft vijf bogen, waarvan er vier zich geheel onder het wegdek bevinden. De middelste boog, de zogenaamde hoofdboog, heeft een boven- en een onderrand. De onderrand komt tussen de punten A en

B boven het wegdek uit.

In figuur 1 is het wegdek als x-as genomen en gaat de y-as door de top van de hoofdboog. Voor de onderrand van de hoofdboog kan de volgende formule worden opgesteld: π y = −11 + 38,6 · sin ( x + 122 ) (formule 1) 244 Hierin zijn x en y in meters.

De formule van de bovenrand wordt verkregen door formule 1 in verticale richting te herschalen met factor 1,17 en vervolgens met 1,87 omhoog te schuiven. Met behulp van de formules voor de boven- en de onderrand kan de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand van de hoofdboog worden berekend.

De gehele lengte van het wegdek dat hoort bij de hoofdboog

• het stuk tussen de twee middelste pijlers
• bedraagt 244 meter. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Net als de hoofdboog bestaan de andere vier bogen uit een halve periode van een sinusfunctie. Voor de boog direct rechts van de hoofdboog kan een formule worden opgesteld van de vorm y = a + b · sin ( c( x

• d ) ) .

Hiervoor zijn de volgende gegevens van belang, zie figuur 2:

• De pijlers zijn 7 meter breed.
• De boog begint direct naast de pijler op 11 meter onder het wegdek.
• Het hoogste punt van de boog raakt het wegdek.
• Het wegdek dat boven de boog ligt, heeft een lengte van 95 m.

De bonte vliegenvanger is een trekvogel die in de lente en zomer in Nederland broedt en in Afrika overwintert. In Nederland nam het aantal bonte vliegenvangers aan het eind van de twintigste eeuw af. Daarna namen de aantallen weer toe. Zie de figuur. figuur

De aantallen worden gegeven als percentages, waarbij het aantal in 1990 op 100% gesteld is. De relatieve aantallen bonte vliegenvangers per jaar ten opzichte van 1990 zijn in de figuur weergegeven met stippen.

In de figuur is door middel van een stippellijn een kwadratische trendlijn getekend. Deze trendlijn bereikt een minimum van 81% in 1998 en is daarna stijgend. Ook na 2008 heeft deze trend zich doorgezet. De formule voor de trendlijn kan worden geschreven als: V = c · t 2 + 81 Hierin is V het aantal bonte vliegenvangers als percentage van het aantal in 1990, t de tijd in jaren met t = 0 in 1998 en c een constante.

In 2015 was het werkelijke aantal bonte vliegenvangers 50% hoger dan in 1990.

Om de afname en de toename van het aantal bonte vliegenvangers te verklaren, gebruiken onderzoekers een model waarbij ze uitgaan van precies twee typen bonte vliegenvangers, type A en type B. De vogels van type A starten eerder met broeden dan die van type B. In de loop der jaren is er steeds vroeger veel voedsel beschikbaar voor de jonge vogels, waardoor er steeds meer vogels van type A en minder van type B komen.

Voor elk van de typen A en B nemen we het volgende aan:

• Het aantal volwassen vogels in (de lente van) jaar n + 1 is het aantal volwassen vogels uit jaar n dat de winter overleefd heeft plus het aantal jonge vogels dat er in jaar n bij gekomen is en die de winter overleefd hebben.
• Er zijn evenveel volwassen mannetjes als vrouwtjes. Deze vormen allemaal paartjes, elk paartje maakt een nest.
• Jonge vogels worden geboren in een nest. Ze zijn na een jaar volwassen of ze hebben de winter niet overleefd. Van beide typen overleeft 50% van de volwassen vogels de winter. Van type A vliegen gemiddeld 5,9 jongen per nest uit en van deze jongen overleeft 20% de winter. Voor type B is dit ongunstiger: er vliegen gemiddeld 5,0 jongen per nest uit en daarvan overleeft 18% de winter.

Met behulp van deze gegevens kan het volgende model opgesteld worden: An+1 = 1,09 · An met beginwaarde A0 Bn+1 = 0,95 · Bn met beginwaarde B0 Hierin is An het aantal volwassen vogels van type A en Bn het aantal volwassen vogels van type B in jaar n.

In het verleden waren er veel meer volwassen vogels van type B. Neem aan dat in een zeker jaar het aantal volwassen vogels van type B vijf keer zo groot was als het aantal volwassen vogels van type A.

In 1984 waren er 60 000 bonte vliegenvangers. Het totale aantal vogels N in jaar t, met t = 0 in 1984, kan worden benaderd met de volgende continue formule:

( N (t ) = 60 000 · a ·1,09t + b · 0,95t ) Hierin is a het beginaandeel van type A en b het beginaandeel van type B. Dus als er in jaar 0 bijvoorbeeld 20% van type A is en dus 80% van type B, dan is a = 0, 2 en b = 0,8 . In dat geval is er een minimumaantal bonte vliegenvangers in 1990.

We weten dat a en b samen 1 moeten zijn, dus a + b = 1 . Nu kunnen we de afgeleide van N(t), met t = 0 in 1984, als volgt benaderen:

( N' (t ) = 60 000 · a · 0,086 ·1,09t

• (1
• a) · 0,051 · 0,95t )

We willen onderzoeken met welke waarden van a en b dit model zou kunnen passen bij de waargenomen trend van de aantallen bonte vliegenvangers in de figuur. We zien dat dan het totale aantal vogels minimaal moet zijn in 1998.

Een van de landen met de hoogste kindersterfte ter wereld is Mali in West-Afrika. De kindersterfte in een bepaald jaar is gedefinieerd als het percentage kinderen van onder de vijf jaar dat in dat jaar komt te overlijden. In deze opgave wordt met ‘kinderen’ steeds ‘kinderen onder de vijf jaar’ bedoeld.

In 1900 waren er wereldwijd naar schatting 33,1 miljoen kinderen, van wie er zo’n 12 miljoen in dat jaar kwamen te overlijden. In 2007 was het aantal kinderen met 380% gestegen ten opzichte van 1900, terwijl er in dat jaar 2,8 miljoen minder kinderen kwamen te overlijden dan in 1900.

In Mali nam het aantal kinderen in de periode 1960-2015 flink toe. We gebruiken hiervoor het volgende model: K = 240 900 · e0,0203t (formule 1)

Hierin is K het aantal kinderen in Mali en t de tijd in jaren met t = 0 op

31 december 1960. Het aantal kinderen wordt net als de kindersterfte aan het einde van ieder jaar bepaald.

Het aantal kinderen S dat jaarlijks in Mali komt te overlijden kun je berekenen door het totale aantal kinderen in Mali te vermenigvuldigen met het deel van de kinderen dat komt te overlijden. Er geldt dus: S = 0, 01 · P · K (formule 2) Hierin is P het percentage kinderen dat jaarlijks komt te overlijden.

In 1960 was de kindersterfte in Mali 41,2%. In 2015 was dit percentage gedaald tot 11,4%. Neem aan dat de afname van dit percentage P in de periode 1960-2015 lineair is verlopen.

Formule 2 kan met behulp van deze gegevens worden herleid tot: S = (99 251

• 1305t ) · e0,0203t (formule 3)

In deze formule is S het aantal kinderen in Mali dat overlijdt in het jaar t, met t de tijd in jaren en t = 0 op 31 december 1960.

figuur

In de figuur zie je de grafiek van S. In de grafiek is te zien dat het aantal kinderen dat jaarlijks in Mali overlijdt na 1960, dus vanaf t = 0 , eerst toenam en pas later begon af te nemen.