Eindexamen wiskunde A vwo 2025, tijdvak 2: vragen en antwoorden

In deze opgave kijken we naar het verloop van de concentratie CO2 in de atmosfeer. Onderzoekers hebben geconstateerd dat de natuurlijke concentratie CO 2 eeuwenlang stabiel is gebleven rond de 280 ppm (parts per million). De toename van de concentratie CO2 sinds de industriële revolutie wordt met name veroorzaakt door massaproductie van goederen en voedsel. In de figuur zie je het verloop van de concentratie CO2 in de periode 1800–2009.

figuur

De toename verloopt exponentieel. Het verloop van de concentratie CO2 kan worden benaderd met het model:

C = 280 + g t Hierbij is C de concentratie CO2 in ppm en t de tijd in jaren met t = 0 op

1 januari 1800. De waarde 280 staat in dit model voor de constante natuurlijke concentratie CO 2.

Op 1 januari 2002 was de concentratie CO 2 370 ppm. Met dit gegeven en met behulp van bovenstaande gegevens is te berekenen dat de waarde van g, afgerond op vier decimalen, gelijk is aan 1,0225.

Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De t formule C = 280 + 1,0225 benadert deze stijging.

Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie CO2 met (ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter totdat de volgende 10% stijging van de concentratie CO 2 werd gemeten.

Een rij dominostenen wordt achter elkaar gezet. Vervolgens wordt de eerste dominosteen omgeduwd, waarna de rest van de rij (als het goed is) ook omvalt. Dit wordt het domino-effect genoemd, waarbij kleine dominostenen ook grotere kunnen omduwen. Deze opgave gaat over dit domino-effect, waarbij we dominostenen bekijken die telkens 1,5 keer zo hoog zijn als de voorgaande steen. Een Amerikaan beweert dat wanneer de 13e dominosteen 1 meter hoog is, de 29e dominosteen hoger is dan het Empire State Building. Het Empire State Building is een wolkenkrabber in New York, met een hoogte van 381 meter.

In figuur 1 zie je een zijaanzicht van drie figuur 1 dominostenen. We nemen in het vervolg van deze opgave het volgende aan:

• De hoogte van de eerste dominosteen is 48 mm.
• De dikte van de eerste dominosteen is 7,5 mm.
• Iedere volgende dominosteen is 1,5 keer zo hoog en 1,5 keer zo dik als de voorgaande.
• Iedere dominosteen valt tegen het midden van de volgende dominosteen.
• Als de dominostenen op een rij worden gezet, dan krijgt de kleinste steen nummer 1, de volgende steen nummer 2, enzovoorts.

Doordat de eerste dominosteen tegen het midden figuur 2 van de tweede steen moet vallen, ligt de afstand L1 vast. Zie figuur 2. Voor de dominostenen 1 en 2 is deze afstand te berekenen met de formule L1 = h12

• (0,5 · h 2 ) 2 . Hierbij is L1 de afstand tussen dominostenen 1 en 2, h1 de hoogte van dominosteen 1 en h 2 de hoogte van dominosteen 2, alle in mm.

Voor de hoogte van dominosteen 2 geldt h 2 = 1,5 · h1 .

Door dit in te vullen in de formule L1 = h12

• (0,5 · h 2 ) 2 is de afstand L1 ook te schrijven als L1 = a · h1 . De waarde van a is afgerond op twee decimalen 0,66.

[figuur 3: zie het originele examen]

In figuur 3 zie je de algemene situatie. Er geldt (voor n ≥ 2 ):

• hn = 48 ·1,5n−1 , met hn de hoogte in mm
• dn = 7,5 ·1,5n−1 , met d n de dikte in mm
• Ln = 0, 66 · hn , met Ln de afstand in mm tussen dominosteen n en de dominosteen links daarvan
• An = Ln−1 + d n

Uit bovenstaande gegevens volgt (voor n ≥ 2 ):

An = 19,08 ·1,5n

In het televisieprogramma MythBusters foto werd een experiment bedacht waarbij na het omduwen van de eerste dominosteen uiteindelijk dominosteen nummer 12 op een auto valt. Om het experiment uit te voeren werd een 15 meter lange parkeerplaats gebruikt.

Golven op het water kunnen op verschillende manieren ontstaan, bijvoorbeeld door wind of door schepen. In deze opgave bekijken we golven die ontstaan door een varend schip. De golflengte is de afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Golven verplaatsen zich over het water. De snelheid waarmee een golf zich over het water verplaatst, is afhankelijk van de golflengte. Het verband tussen de golflengte en de snelheid waarmee een golf zich verplaatst, wordt gegeven door de volgende formule: V = 1, 25 · L (formule 1) Hierbij is L de golflengte in meters en V de snelheid waarmee de golf zich verplaatst in meter per seconde. Als L toeneemt, dan neemt ook V toe. De grafiek van V is dus stijgend.

Als de golflengte twee keer zo groot wordt, dan neemt de snelheid van de golf met een vaste factor toe.

Een schip en de golf die door dat varende schip ontstaat, verplaatsen zich met gelijke snelheid (samen) door het water. Als een schip langzaam vaart, dan ontstaat er langs het schip een golf zoals in figuur 2. Er zijn dan meerdere toppen van de golf zichtbaar langs de zijkant van het schip. In figuur 2 is tevens een assenstelsel toegevoegd.

[figuur 2: zie het originele examen]

De voorkant van het schip valt samen met een top van de golf. Omdat het schip en de golf samen dezelfde kant op bewegen, blijft die top tijdens het varen samenvallen met de voorkant van het schip.

Een schip van 30 meter lang vaart met een snelheid van 3 meter per seconde. De golf die door het varen ontstaat heeft een amplitude van

15 centimeter. De golf is te beschrijven met de formule: h = 15 · sin(a( x

• b)) (formule 2) Hierbij is h de hoogte ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters, met 0 ≤ x ≤ 30 . De waarden van a en b in formule 2 zijn te berekenen door gebruik te maken van formule 1.

Om de hoogte van de golven van een schip te verkleinen, is de bulbsteven uitgevonden. De bulbsteven is een uitstekende bult aan de voorkant van een schip. Zie de foto.

foto

Normaal gesproken bevindt de bulbsteven zich (grotendeels) onder water. Omdat het schip op de foto geen lading vervoert, is de bulbsteven boven water zichtbaar.

Zowel het schip als de bulbsteven veroorzaken een golf. De golf van de bulbsteven dempt de golf van het schip gedeeltelijk. Een schip met een lengte van 100 meter veroorzaakt bij een bepaalde vaarsnelheid een golf met de formule: hschip ( x) = 50 · sin(15π ( x + 7,5))

en de bulbsteven van het schip veroorzaakt een golf met de formule: hbulb ( x) = 30 · sin(15 π ( x

• 6))

Hierbij zijn hschip en hbulb de hoogtes ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en is x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters met 0 ≤ x ≤ 100 .

De formule die hoort bij de gecombineerde golf van het schip en de bulbsteven wordt verkregen door hschip en hbulb op te tellen. Zie figuur 3.

[figuur 3: zie het originele examen]

De amplitude van de gecombineerde golf is kleiner dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven.

In het dagelijks leven worden er veel batterijen gebruikt om apparaten te laten werken. Een batterij werkt door het verschil in spanning tussen de pluspool en de minpool. Dit spanningsverschil noemen we de totale spanning van de batterij. Deze totale spanning wordt lager als je de batterij enige tijd hebt gebruikt. Hierdoor gaat bijvoorbeeld een fietslamp met een batterij op een gegeven moment minder fel branden.

Een van de eerste batterijen werd in 1836 uitgevonden door de Britse scheikundige Daniell. Bij deze batterij werd bij de pluspool koper en bij de minpool zink gebruikt. Deze opgave gaat over zo’n batterij.

De spanningen van de polen van deze batterij zijn te berekenen met de volgende formules:

V plus = 0,34 + 0,0296 · log(k )

V min =

• 0, 76 + 0, 0296 · log( z )

Hierin zijn V plus en Vmin de spanningen van de polen in volt en k en z de concentraties van koper en zink in molair1).

De totale spanning van de batterij, Vbatterij , is het verschil tussen de spanningen van beide polen:

Vbatterij = Vplus

• Vmin

Bij de batterij geldt in het begin dat k en z allebei 1 molair zijn. De totale spanning is dan 1,1 volt. Door het gebruik van de batterij neemt k af en neemt z toe. Als deze batterij enige tijd stroom heeft geleverd geldt k = 0,7 en z = 1,3 .

noot 1 molair is een maat voor het aantal deeltjes per liter

Uit Vbatterij = V plus

• Vmin en de gegeven formules voor V plus en Vmin kan de volgende formule worden herleid: k Vbatterij = 1,10 + 0,0296 · log z

Het is mogelijk om voor Vbatterij een formule op te stellen waarin alleen z voorkomt: Vbatterij = 1,10 + 0, 0296 · log(2 z

• 1
• 1) , met 1 ≤ z < 2

Doordat z, de concentratie van het zink, toeneemt tijdens het gebruik van de batterij, daalt de totale spanning van de batterij. Dit kan worden aangetoond door te kijken naar de afgeleide functie van Vbatterij . Er geldt (na afronding): d Vbatterij

• 0,0257 = dz 2z
• z2 d Vbatterij

d Vbatterij

Raad het getal is een spel voor twee personen waarbij iemand één geheel getal bedenkt, dat de ander vervolgens gaat raden. Diegene die het getal bedenkt, noemen we de bedenker en diegene die gaat raden de speler.

Het spel werkt als volgt: De bedenker kiest een getal van maximaal vier cijfers, waarbij het eerste cijfer geen 0 mag zijn. Het getal kan dus bijvoorbeeld 7 zijn, of 60, of 544, of 9328.

Vaak kiest de bedenker een viercijferig getal dat makkelijk te onthouden is. Dat is een getal dat

• bestaat uit vier dezelfde cijfers, of
• bestaat uit vier opeenvolgende cijfers, die in oplopende of aflopende volgorde staan (bijvoorbeeld 2345 of 4321).

Het getal dat de bedenker bedenkt, noemen we het bedachte getal. De getallen die de speler noemt, noemen we genoemde getallen. Omdat het lang kan duren voordat de speler het bedachte getal noemt, geeft de bedenker feedback. Deze feedback bestaat uit een van de volgende drie mogelijkheden:

• ‘Goed geraden’ (bedachte getal = genoemde getal).
• ‘Hoger’ (bedachte getal > genoemde getal).
• ‘Lager’ (bedachte getal < genoemde getal).

Het noemen van een getal en het geven van feedback herhaalt zich totdat de bedenker de feedback ‘Goed geraden’ geeft en het spel stopt. Het aantal keer dat de speler een getal noemt en vervolgens feedback krijgt, noemen we het aantal beurten. We bekijken eerst een vereenvoudigde versie van het spel, waarbij de speler aan het begin van het spel weet dat het bedachte getal minimaal 1 is en maximaal 9. De speler kan in elke beurt het aantal nog mogelijke getallen in ieder geval halveren door de volgende strategie toe te passen:

• Is het aantal nog mogelijke getallen oneven, noem dan het middelste nog mogelijke getal.
• Is het aantal mogelijke getallen even, noem dan een van de twee middelste nog mogelijke getallen. De bedenker kiest het getal 8. De speler volgt bovenstaande strategie. Het aantal beurten waarin de speler het bedachte getal raadt, ligt dan nog niet vast.

In het vervolg van deze opgave bekijken we een versie van het spel, waarbij we de eis dat het bedachte getal uit maximaal vier cijfers moet bestaan, loslaten. We kijken naar getallen tussen 0 en n, waarbij n een geheel getal groter dan 1 is. Hierdoor kan het bedachte getal elk getal vanaf 1 tot en met n

• 1 zijn.

Het aantal beurten dat nodig is om het bedachte getal te raden, hangt mede af van de gevolgde strategie. Als de eerder beschreven strategie toegepast wordt, dan geldt: n

• 1 < 2m−1 Hierbij is m het maximaal aantal beurten dat nodig is om het bedachte getal te noemen.

Twee personen spelen het spel met n = 26 . Volgens de formule is de kleinst mogelijke waarde van m dan gelijk aan 6.

De waarde 6 die de formule geeft voor n = 26 gaat uit van het ‘slechtste’ geval: dat steeds precies de helft van het aantal mogelijke getallen overblijft. Het blijkt echter dat voor n = 26 de speler het bedachte getal altijd in maximaal 5 beurten kan noemen.