Eindexamen wiskunde A vwo 2021, tijdvak 3: vragen en antwoorden

Bij jongleren gaat het om het in de lucht gooien, in de lucht houden en opvangen van voorwerpen. Deze voorwerpen blijven tijdens het jongleren van hand naar hand en in de lucht rondgaan. Zie de foto.

foto figuur

Op de foto zie je de Amerikaanse jongleur James Reid jongleren met drie verschillende, nogal vreemde voorwerpen: een bowlingbal, een mes en een speelgoedkip. Meestal wordt er echter met ballen, kegels en ringen gejongleerd. In de figuur zie je een typisch pakket voor jongleurs, bestaande uit drie identieke ringen, drie identieke ballen en drie identieke kegels.

Een jongleur kiest uit het pakket drie voorwerpen om mee te jongleren. Hij zou bijvoorbeeld een bal (B), een kegel (K) en een ring (R) kunnen kiezen. Dit noteren we met BKR.

De rest van deze opgave gaat over jongleren met minimaal drie ballen, door één jongleur, waarbij de jongleur altijd twee handen gebruikt. Hiervoor bestaat een verband tussen een aantal variabelen, gegeven door de formule van Shannon:

2 · (V + H ) = B · ( L + H )

Hierin is:

• V de vluchttijd, dat is de tijd die een bal in de lucht is tussen het gegooid en weer opgevangen worden (in seconden);
• H de handtijd, dat is de tijd die een bal in één van de handen is tussen het vangen en het gooien van de bal (in seconden);
• L de leegtijd, dat is de tijd dat een hand leeg is tussen het gooien van een bal en het vangen van de volgende bal (in seconden);
• B het aantal ballen dat je gebruikt.

De formule van Shannon geldt alleen als alle ballen op dezelfde manier van de ene naar de andere hand worden gegooid, dus even snel en even hoog.

2V

• BL De formule van Shannon kan worden herleid tot: H = B−2

Als je met steeds meer ballen wilt jongleren, waarbij je die ballen telkens even lang in de lucht wilt houden en je handen steeds even lang leeg wilt houden, moet je de ballen steeds sneller door je handen laten gaan. De handtijd moet dan dus steeds korter worden. Dit kun je aantonen met de afgeleide van H. dH 2 L

• 2V De afgeleide is: = dB ( B
• 2) 2

Volgens de formule van Shannon geldt dat bij drie of meer ballen L altijd kleiner is dan V. dH

In de periode 1977

• 2002 is de jaarlijkse plasticproductie bij benadering exponentieel toegenomen. De jaarlijkse productie is in deze periode van

25 jaar vier keer zo groot geworden.

De toenemende plasticproductie zorgt voor een toenemende hoeveelheid plastic afval. In 2015 kwam er 250 miljoen ton plastic afval vrij en men gaat ervan uit dat de hoeveelheid plastic afval die jaarlijks vrijkomt met 4,1% per jaar zal toenemen. Tegelijkertijd wordt er een steeds groter percentage plastic afval gerecycled. In 1990 werd 2% van de vrijgekomen hoeveelheid plastic gerecycled. De jaren erna nam dit percentage lineair toe met 0,7% per jaar tot 11,8% in 2004.

Wanneer deze trend in recycling ook na 2004 doorzet, zal in 2050 een substantieel deel van het plastic afval dat in dat jaar vrijkomt gerecycled worden.

Voor de voorspelling voor de jaren na 2015 van de totale hoeveelheid vrijgekomen plastic afval had men de volgende uitgangspunten:

• Tot en met 2014 was er in totaal 6050 miljoen ton plastic afval vrijgekomen.
• In 2015 kwam daar 250 miljoen ton bij.
• Na 2015 nam de hoeveelheid jaarlijks vrijgekomen plastic afval met 4,1% per jaar toe.

Op basis hiervan voorspelde men dat er tot en met 2018 in totaal (op honderden miljoenen ton afgerond) 7100 miljoen ton plastic afval vrij zou komen.

Met behulp van de genoemde uitgangspunten is het mogelijk om een formule op te stellen voor de totale hoeveelheid vrijgekomen plastic afval tot en met een bepaald jaar. Bij het opstellen van deze formule wordt onder andere gebruikgemaakt van de somformule voor meetkundige rijen. Deze luidt:

1

• r t +1 S (t ) = u0 · 1− r Hierin is:
• S (t ) de hoeveelheid plastic afval in miljoenen tonnen die sinds 2015 vrijgekomen is;
• t de tijd in jaren met t = 0 in 2015;
• u0 de hoeveelheid vrijgekomen plastic afval in miljoenen tonnen in 2015;
• r de groeifactor waarmee de hoeveelheid vrijgekomen plastic afval jaarlijks toeneemt.

De totale hoeveelheid plastic afval T in miljoenen tonnen die sinds het bestaan van plastic is vrijgekomen wordt gegeven door de formule: T = 6348 ·1,041t

• 48 Hierin is t de tijd in jaren met t = 0 in 2015. De gehele getallen in de formule zijn afgeronde waarden.

In onderstaande figuur wordt voor de periode 1950

• 2050 weergegeven hoeveel plastic afval er is vrijgekomen sinds plastic bestaat. Verder is weergegeven hoeveel plastic afval er sindsdien in het milieu terecht is gekomen. Hierin zijn de delen van de grafieken na 2015 voorspellingen. figuur

De grafiek voor de hoeveelheid plastic afval in het milieu kan beschreven worden met de formule:

13 825 W=

1 + 1,82 · e −0,071t Hierin is W de hoeveelheid plastic afval in het milieu en t is weer de tijd in jaren met t = 0 het jaar 2015.

In de figuur valt te zien dat men ervan uitgaat dat de toename van de hoeveelheid plastic afval in het milieu af zal nemen. Met behulp van de formule van W kan worden aangetoond dat de hoeveelheid plastic afval die jaarlijks in het milieu terechtkomt eerst nog zal blijven toenemen, maar uiteindelijk ook weer gaat afnemen.

De waarde van individuele aandelen op de Amsterdamse beurs is aan fluctuaties onderhevig. Hierdoor kan ook de totale beurswaarde, dat is de totale waarde van alle aandelen die op de Amsterdamse beurs genoteerd staan, flinke schommelingen vertonen. Dit zie je bijvoorbeeld bij de ontwikkeling van de totale beurswaarde in de eerste drie kwartalen van 2008. In figuur 1 zijn zowel de absolute als de relatieve maandelijkse toenamen van de totale beurswaarde voor de eerste drie kwartalen van

2008 weergegeven.

[figuur 1: zie het originele examen]

In figuur 1 valt bijvoorbeeld af te lezen dat de totale beurswaarde in januari 2008 maar liefst 73 miljard euro lager was dan in december 2007, wat overeenkwam met een daling van 14%.

De totale beurswaarde daalde in het eerste kwartaal van 2008 met

90 miljard euro. Ondanks een licht herstel in april en mei was de totale beurswaarde na het tweede kwartaal nog verder gedaald ten opzichte van de totale beurswaarde in december 2007.

In het derde kwartaal van 2008 daalde de totale beurswaarde nog verder.

In het algemeen spreekt men bij het beleggen in aandelen op de beurs over het werkelijke rendement van de waarde van een aandeel. Hieronder verstaat men de waardeverandering in een periode in procenten. In de praktijk worden aandelen continu verhandeld en kunnen rendementen voortdurend variëren. Daarom gebruikt men in de economie ook wel het zogeheten continue rendement als benadering voor het werkelijke rendement. Het continue rendement is gedefinieerd als:

C = 100 · ln(1 + 0,01R) (met R > −100 ) Hierin is R het werkelijke rendement in een periode en C het bijbehorende continue rendement in dezelfde periode, beide in procenten.

De waarde van een aandeel stijgt in een dag van € 25,- naar € 26,-.

In de formule C = 100 · ln(1 + 0,01R) is C uitgedrukt in R. Maar als er met continue rendementen gerekend wordt, wil men ook terug kunnen rekenen naar het werkelijke rendement. Daarvoor is een formule waarin R wordt uitgedrukt in C handiger.

Behalve voor R = 0 valt het continue rendement altijd lager uit dan het werkelijke rendement. In figuur 2 wordt dit grafisch zichtbaar gemaakt door de lijn met vergelijking C = R en de grafiek van C = 100 · ln(1 + 0,01R) in één figuur weer te geven.

[figuur 2: zie het originele examen]

In figuur 2 valt te zien dat C en R voor waarden dicht bij 0 nagenoeg gelijk zijn, maar voor waarden die steeds verder van 0 liggen steeds meer verschillen.

Er zijn aandelen waarvan de waarde sterk stijgt of daalt. Dat kan bijvoorbeeld het geval zijn als een aandeel voor het eerst op de beurs verhandeld wordt of als een bedrijf failliet dreigt te gaan. Voor deze aandelen is het mogelijk dat het verschil tussen het werkelijke en het continue rendement bijvoorbeeld meer dan 1% is. Zo kun je in figuur 2 aflezen dat R en C voor R = 40 ongeveer 6% verschillen (namelijk

40

• 33, 6... ).

Dat C en R voor steeds groter wordende positieve waarden van R steeds meer verschillen, volgt onder andere uit het feit dat de helling van de lijn met vergelijking C = R gelijk is aan 1, terwijl de helling van de grafiek van

C voor alle positieve waarden van R kleiner dan 1 is. dC

Tegenwoordig kun je op veel plaatsen de verwachte temperatuur vinden. Zo ook op de website van het KNMI. Het KNMI kan aan de hand van weerkaarten de temperatuur voor een aantal dagen voorspellen.

Op 21 januari 2018 heeft het KNMI een grafiek gemaakt van de verwachte temperatuur van 22 januari tot en met 5 februari van dat jaar. In figuur 1 zie je een stukje van deze grafiek. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 1: zie het originele examen]

Ook zie je in deze figuur twee stippellijnen. Deze lijnen geven het gemiddelde van de minimumtemperatuur en het gemiddelde van de maximumtemperatuur voor de periode 1981

• 2010 weer. Als de temperatuur tussen deze twee stippellijnen in zit, noemen we de temperatuur normaal voor de tijd van het jaar.

In figuur 1 is te zien dat het volgens de verwachting in de week van

22 januari 2018 behoorlijk warm zou worden voor de tijd van het jaar.

In figuur 1 is de gemiddelde minimumtemperatuur 0,4 °C en de gemiddelde maximumtemperatuur 6,0 °C. Als de temperatuur normaal is voor de tijd van het jaar, dan zal deze dus schommelen tussen die twee waarden. Je krijgt dan een grafiek zoals in figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Deze grafiek geeft het verwachte temperatuurverloop aan in de week van

22 januari als de temperatuur normaal is voor de tijd van het jaar. We noemen dit de modelgrafiek voor 22 tot 29 januari.

Je kunt deze grafiek modelleren met een sinusoïde van de volgende vorm: TJ = d + a sin(b(t

• c )) In deze formule is TJ de temperatuur in °C in de week van 22 januari en t de tijd in dagen met t = 0 op 22 januari om 00:00 uur.

In het model nemen we aan dat de laagste temperatuur zich steeds voordoet om 03:00 uur en de hoogste temperatuur steeds om 15:00 uur.

De gemiddelde minimum- en maximumtemperaturen zijn echter niet altijd constant. In het voorjaar bijvoorbeeld, zullen deze temperaturen stijgen. Zie de tabel.

tabel

1 april 1 mei gemiddeld minimum 5,3 9,2 gemiddeld maximum 14,2 18,1

Als we aannemen dat de gemiddelde minimum- en maximumtemperatuur tussen 1 april en 1 mei lineair toenemen, dan is het met behulp van deze tabel nu ook mogelijk een modelgrafiek te maken voor de gehele maand april. We gaan er hierbij van uit dat de minimumtemperatuur steeds bereikt wordt om 03:00 uur en de maximumtemperatuur steeds om 15:00 uur.

De formule van deze modelgrafiek is: TA = 0,13t + 9,75 + 4, 45sin(2π(t

• 0,375)) met TA de verwachte temperatuur in °C in april en t de tijd in dagen met t = 0 op 1 april om 00:00 uur.

Volgens het model is de temperatuur om 21:00 ’s avonds precies gelijk aan de gemiddelde temperatuur op die dag. Dat wordt de theoretische dagtemperatuur genoemd. Het KNMI meet ook gedurende de dag steeds de temperatuur en berekent met behulp van deze meetwaarden de werkelijke (gemiddelde) dagtemperatuur. Het verschil tussen de werkelijke dagtemperatuur en de theoretische dagtemperatuur wordt de temperatuuranomalie1) genoemd.

Bijvoorbeeld: Volgens de formule van TA is de theoretische dagtemperatuur op 5 april 2018 gelijk aan 10,4 °C. Op 5 april 2018 was de werkelijke dagtemperatuur 5,9 °C. De temperatuuranomalie is dan 5,9

• 10, 4 =
• 4,5 °C.

noot 1 In werkelijkheid is de bepaling van de temperatuuranomalie complexer, maar in deze opgave gaan we uit van een sterk vereenvoudigd model.

In figuur 3 staat de grafiek van de temperatuuranomalie voor de eerste

28 dagen van april 2018. Deze grafiek staat vergroot op de uitwerkbijlage.

[figuur 3: zie het originele examen]

Op 29 april 2018 was de werkelijke dagtemperatuur 9,2 °C. Op 30 april

2018 was dit 9,5 °C.