Eindexamen natuurkunde vwo 2018, tijdvak 1: vragen en antwoorden

Een auto (m = 1520 kg) rijdt met een snelheid van 33,3 m s−1 (= 120 km h−1) over een vlakke weg bij windstil weer. Op t = 0 s trapt de bestuurder het koppelingspedaal in, zodat de motor niet meer met de wielen verbonden is. Nu ‘rijdt de auto uit’ en komt de auto een tijdje later tot stilstand. Het (v,t)-diagram van het uitrijden staat in figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen] v 40 (m s−1) 30

20

10

0

0 40 80 120 160 200 t (s)

De uitrij-afstand is de afstand die de auto aflegt vanaf het moment dat het uitrijden begint tot het moment dat hij stilstaat. Figuur 1 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

Om inzicht te krijgen in de beweging van de auto, is een computermodel gemaakt. Het model is weergegeven in figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen] model startwaarden (in SI-eenheden) Frol

Flucht = k · v2 t=0 Fres = Flucht + Frol m dt = 0,01 Fres a =

• Fres / m v = 33,3 dv = a · dt m = 1520 v v = v + dv k = 1,62 a Flucht t = t + dt Frol = 76 k

De resultaten van dit model zijn weergegeven in figuur 3. In figuur 3 staat ook de grafiek van figuur 1.

[figuur 3: zie het originele examen] v 40 (m s−1) 35

30

25

20

15

10

5

0 −20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t (s) Legenda: = gemeten = modelbereking

De waarden van de parameters k en Frol zijn nog niet goed gekozen, zodat de grafiek met de resultaten van het model niet goed overeenkomt met de gemeten grafiek van figuur 1.

Het model van figuur 2 kan worden uitgebreid om ook de uitrij-afstand te berekenen, waarbij het model stopt als de uitrij-afstand bereikt is.

Met de nieuwe, aangepaste startwaarden voor k en Frol past de uitkomst van het model wel bij de metingen. Figuur 4 laat een deel van de (v,t)-grafiek zien die het aangepaste model geeft. Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 4: zie het originele examen] 29 v (m s−1) 28

27

26

25

24

23

22

0

0 11 13 15 17 19 21 23 25 t (s)

Uit deze figuur is het vermogen te bepalen dat de auto moet leveren om met een bepaalde constante snelheid te rijden.

Een komeet met een massa van 12 ·103 kg beweegt op een hoogte van

100 km boven het aardoppervlak met een snelheid van 50 km s−1 richting de aarde. Bij aankomst op de aarde is de massa van de komeet afgenomen tot 6, 0 ·103 kg. Het totaal van de kinetische energie en de gravitatie-energie is dan nog slechts 0,20% van de oorspronkelijke totale energie. (Het verschil in gravitatie-energie ten opzichte van de zon is bij deze overgang verwaarloosbaar.)

Een komeet zendt IR-straling uit. Het spectrum daarvan bestaat uit een deel met lijnen en een continu deel. Uit het spectrum kan men meer te weten komen over de temperatuur en de chemische samenstelling van de komeet. Op de uitwerkbijlage staat een tabel.

Uit spectroscopische analyses van een aantal kometen en planetoïden blijkt dat deze water bevatten met dezelfde isotopenverhouding van waterstof ( 11 H ) en deuterium ( 21 D = 21 H ) als op aarde. Men neemt aan dat water gevormd is in ‘interstellaire wolken’ bij een temperatuur van 10 K . Eén van de reacties voor watervorming is:

(1) OH + H 2 → H 2O + H

Deze reactie vindt plaats aan figuur 1 het oppervlak van E microscopische stofdeeltjes (eV) waarbij ijsmantels om de stofdeeltjes worden gevormd. Ea = 0,18 eV Zoals bij veel reacties moet ook bij deze reactie een OH + H2 activeringsenergie Ea 0 a = 0,10 nm overwonnen worden. Zie figuur 1.

H 2O + H Over deze reactie zijn twee theorieën opgesteld.

• theorie 1 De activeringsenergie Ea wordt geleverd door de thermische energie van de betrokken deeltjes. Bij 2100 K hebben de deeltjes een gemiddelde thermische energie van 0,18 eV.
• theorie 2 De energiebarrière wordt doorbroken door het quantum-tunneleffect.

over theorie 1 De waarschijnlijkheid W dat de reactie optreedt volgens theorie 1 is alleen afhankelijk van de temperatuur T. In figuur 2 is deze waarschijnlijkheid W 1 weergegeven als functie van T

[figuur 2: zie het originele examen]

1 (K−1) T

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 1

10-20

10-40

10-60

10-80 W 10-100

over theorie 2 Als een H2-deeltje en een OH-deeltje zich voldoende dicht bij elkaar aan het oppervlak van een vast stofdeeltje bevinden, kan er een reactie door het quantum-tunneleffect plaatsvinden. In deze reactie ‘verhuist’ een H-atoom van het H2-deeltje naar het OH-deeltje, over een afstand a = 10−10 m.

Voor deeltjes met een massa m geldt voor de debroglie-golflengte λ in een omgeving met temperatuur T:

h λ= 2πmkBT

Hierin is:

• kB de constante van Boltzmann;
• h de constante van Planck.

Wetenschappers onderzoeken deze reactie in een laboratorium. Ze vervangen daarbij alle waterstofkernen ( 11 H ) door deuteriumkernen ( 21 D = 21 H ). Dit levert de volgende reactie:

(2) OD + D 2 → D 2O + D

Voor reactie (2) zijn de hoogte en de breedte van de energiebarrière gelijk aan die van reactie (1), zoals weergegeven in figuur 1. Maar reactie (2) heeft een andere kans op het quantum-tunneleffect dan reactie (1).

Tim heeft moeite met theorie 2. Hij zegt: “In figuur 1 blijven de hoogte en breedte van de energiebarrière constant, dus je kunt net zo makkelijk ‘terug-tunnelen’ en dan wordt het water weer even snel afgebroken.”

Water maakt leven op een planeet mogelijk. In tabel 32H van BiNaS en in tabel 3.1a van ScienceData wordt het verband gegeven tussen de temperatuur van het heelal en de tijd sinds de oerknal. Ewine stelt dat het heelal oud genoeg moet zijn voor het vormen van water volgens theorie 2.

Figuur 1 is een foto van een elektrische tandenborstel. figuur 1 Hierin is een trilmechanisme verwerkt. Ludo wil de frequentie waarmee dit trilmechanisme trilt bepalen. Hij bouwt hiertoe de opstelling zoals weergegeven in figuur 2. De tandenborstel is hier in een statief geklemd en het borsteltje is verwijderd. Aan het trillende deel van het apparaat is een koord bevestigd, dat over een katrol is gelegd en strak wordt gehouden door het gewicht van een aantal blokjes met een totale massa m. Als Ludo de tandenborstel aanzet, kan er een staande golf ontstaan in het koord.

[figuur 2: zie het originele examen]

Ludo bepaalt voor een aantal waarden van m steeds de lengte L en het aantal buiken n. L is de afstand van de tandenborstel tot de katrol. Zijn meetresultaten staan in de tabel hieronder.

m (kg) L (m) n 0,100 1,26 9 0,200 1,50 6 0,300 1,44 5 0,400 1,62 5 0,500 1,43 4

Van de meetresultaten maakt Ludo de grafiek van figuur 3, waarin hij de golflengte λ uitzet tegen de spankracht F in het koord.

0 Voor de voortplantingssnelheid van een 0 1 2 3 4 5 transversale golf in een koord geldt: F (N) [figuur 4: zie het originele examen]

F 0,6 v= λ2 ρλ (m2) 0,5

Hierin is: 0,4

• v de voortplantingssnelheid (in m s−1);
• F de spankracht (in N); 0,3
• ρλ de lineaire massadichtheid van het koord (in kg m−1). 0,2

0,1 Voor de verdere verwerking van zijn meetresultaten maakt Ludo een grafiek 0 waarbij hij λ 2 uitzet tegen de spankracht 0 1 2 3 4 5

F (N) F. Daarna trekt hij een rechte lijn, die zo goed mogelijk door de punten gaat. Het resultaat is in figuur 4 weergegeven. Met behulp van de rechte lijn bepaalt hij de frequentie van het trilmechanisme van de elektrische tandenborstel.

−4 −1 Het koord heeft een lineaire massadichtheid van 1,24 · 10 kg m .

Ludo wil bij dezelfde frequentie minder knopen en buiken laten ontstaan in dit koord.

Een MRI-scanner kan 3D-beelden van het inwendige van een patiënt maken. Daarbij wordt gebruikgemaakt van een sterk magnetisch veld B en van radiogolven. Zie figuur 1 voor een opengewerkte afbeelding van een MRI-scanner.

[figuur 1: zie het originele examen]

De waterstofkernen (protonen) in het lichaam van een patiënt gedragen zich als kleine magneetjes. Deze richten zich als er een magnetisch veld BMRI wordt aangelegd. De waterstofkernen kunnen dan in dezelfde richting als BMRI staan (parallel) of tegengesteld aan BMRI (antiparallel). De waterstofkernen parallel aan BMRI bevinden zich in een lager energieniveau dan de kernen antiparallel aan BMRI. In het lage energieniveau zitten meer waterstofkernen dan in het hoge energieniveau. Bij een sterker magnetisch veld is er een groter overschot aan waterstofkernen in het lage energieniveau. Dit is schematisch weergegeven in figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen] Legenda: parallel aan BMRI Energie antiparallel aan BMRI

BMRI = 0,0 T

BMRI = 2,5 T BMRI = 5,0 T

Voor het energieverschil tussen de waterstofkernen die parallel aan BMRI en de waterstofkernen die antiparallel aan BMRI staan, geldt:

ΔE = γ hBMRI

Hierin is:

• γ een constante die voor waterstof gelijk is aan: 42,57 MHz T−1;
• h de constante van Planck in J s;
• BMRI de sterkte van het magnetisch veld in T.

Er wordt nu een RF-puls (Radio Frequente puls, puls van radiostraling) naar de patiënt gezonden met fotonen die precies de energie ΔE hebben die nodig is om de waterstofkernen in het hoge energieniveau te brengen.

Het magnetisch veld BMRI bestaat uit een constant magnetisch veld B0 en het zogenaamde gradiëntveld Bg. Bg heeft dezelfde richting als B0 of is tegengesteld aan B0 en is niet op elke plaats even sterk. Er geldt: BMRI = B0 + Bg . Het gradiëntveld Bg wordt opgewekt door stroom te sturen door twee spoelen. Zie figuur 3 voor een schematische weergave. Figuur 3 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 3: zie het originele examen] gradiëntspoelen

B0

Q S P R

Op een bepaald moment stelt men het gradiëntveld in figuur 3 zodanig in dat het totale magnetisch veld BMRI bij het hoofd van de patiënt minder sterk is dan B0 en bij de voeten sterker is dan B0.

In figuur 4 staat het verloop op een bepaald moment van het totale magnetisch veld BMRI schematisch weergegeven. De patiënt blijft op dezelfde plaats liggen. Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 4: zie het originele examen]

B (T) BMRI

B0 ∆B

x (m) ∆x

De RF-puls heeft een vaste frequentie zoals in vraag 18 berekend en een vaste bandbreedte. Door deze vaste bandbreedte worden waterstofkernen in een gebiedje ΔB naar het hoge energieniveau gebracht. Hierdoor worden fotonen geabsorbeerd en even later geëmitteerd door waterstofkernen uit een plakje Δx. De plaats in het lichaam en de dikte van het plakje Δx zijn in te stellen door het gradiëntveld Bg te variëren. Het veld B0 blijft daarbij constant.

Men verandert het gradiëntveld Bg zodat het plakje Δx dunner wordt en bij het hoofd van de patiënt komt te liggen.

Na het uitschakelen van de RF-puls figuur 5 zenden de waterstofkernen gedurende een aantal milliseconden een signaal uit. Weefsels met veel waterstofkernen geven een signaal met een hoge intensiteit en zijn het witst op een MRI-beeld. Zie figuur 5. Hersenweefsel heeft ongeveer 80% van de waterstofkernendichtheid van water. Andere weefsels hebben een kleinere waterstofkernendichtheid.

Een afgelegen weerstation is gedurende het hele jaar vierentwintig uur per dag in bedrijf. De installatie wordt van energie voorzien door een 12-volts-accu.

Het elektrisch vermogen van de installatie varieert sterk en bedraagt gemiddeld 2,3 W. Een volledig opgeladen accu heeft een capaciteit van 75 Ah. (Dit houdt in dat de volledig opgeladen accu gedurende 1,0 uur een stroom van 75 A kan leveren, of gedurende 3,0 uur een stroom van 25 A, enzovoorts.) Deze accu voldoet niet om de installatie één jaar te laten werken.

Overwogen wordt om naast de accu een zonnepaneel in de schakeling op te nemen. Hiertoe wordt een proefopstelling gebouwd. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

A B C

A 0,71 A A 0,25 A

R1 2,6 Ω R2 1,8 Ω R3

zonnepaneel Uzp accu 12,0 V

F E D

De installatie van het weerstation is weergegeven door een gewone weerstand, aangegeven met R3. Het zonnepaneel staat in de schakeling parallel aan de accu. Bij een bepaalde lichtsterkte op het zonnepaneel leveren beide spanningsbronnen stroom aan de weerstand R3 en worden de in figuur 1 weergegeven stroomsterktes gemeten.

De spanning van het zonnepaneel hangt af van de hoeveelheid (zon)licht. Als de hoeveelheid licht toeneemt, neemt Uzp toe. Als Uzp verandert, blijken zowel de stroom die het zonnepaneel levert als de stroom die de accu levert te veranderen. Dit is weergegeven in figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen] 1,4 I (A) 1,2 zonnepaneel 1,0

0,8 accu

0,6

0,4

0,2

0

0 10 11 12 13 14 15 16 17 Uzp (V) –0,2

–0,4

Het is ongewenst dat de accu stroom levert aan het zonnepaneel. Dit kan men verhinderen door een diode in de schakeling op te nemen. Op de uitwerkbijlage staat de schakeling van figuur 1 weergegeven.