Eindexamen natuurkunde vwo 2023, tijdvak 1: vragen en antwoorden

Langlaufen is een wintersport waarbij een figuur 1 langlaufer vooruitkomt op ski’s door zich af te zetten tegen een besneeuwde ondergrond. Bij de klassieke stijl moet de langlaufer gedurende de hele beweging zijn beide ski’s evenwijdig aan elkaar houden, zodat ze in de twee gleuven in de sneeuw, de loipe, blijven. Zie figuur 1. Binnen de klassieke stijl zijn twee verschillende technieken mogelijk: de dubbelstoktechniek (figuur 1) en de diagonaalpastechniek (figuur 2).

Dubbelstoktechniek Bij de dubbelstoktechniek is het figuur 2 mogelijk om in korte tijd een hoge snelheid te ontwikkelen. De langlaufer gebruikt dan alleen de twee skistokken om zichzelf vooruit te duwen, terwijl beide ski’s naast elkaar blijven.

In figuur 3 is één bewegingscyclus van de dubbelstoktechniek schematisch weergegeven in vier plaatjes.

[figuur 3: zie het originele examen]

3a 3b 3c 3d Begin afzet einde afzet glijfase Begin afzet

Met behulp van videometen is de beweging van een langlaufer met de dubbelstoktechniek vastgelegd. In figuur 4 staat een klein gedeelte van deze beweging afgebeeld. De figuur toont iets meer dan één volledige bewegingscyclus.

[figuur 4: zie het originele examen]

Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.

Diagonaalpastechniek De tweede klassieke techniek is de diagonaalpastechniek. Bij deze techniek steunt de langlaufer afwisselend met zijn gewicht op een van beide ski’s. Op dat moment raakt de ski over zijn volle lengte de ondergrond en kan de langlaufer zich met één ski afzetten. In figuur 5 is de diagonaalpastechniek schematisch weergegeven in vijf plaatjes.

[figuur 5: zie het originele examen]

5a 5b 5c 5d 5e na afzet rechts glijfase na afzet links glijfase na afzet rechts

Een klassieke langlaufski is licht gebogen. Daardoor raakt het midden van de ski de grond pas als de ski voldoende belast wordt. Zo’n ski heet een camberski. De maximale hoogte boven de grond wordt de camberhoogte genoemd. Zie figuur 6.

[figuur 6: zie het originele examen]

Het middengedeelte van de onderkant van de ski is ruw gemaakt. Hiermee kan de langlaufer zich afzetten als het middengedeelte de sneeuw raakt. In de glijfase verdeelt de langlaufer zijn gewicht over beide ski’s en is hij in staat om te glijden. Om te kunnen glijden mag het middengedeelte van de ski’s de sneeuw niet raken als de langlaufer op twee ski’s staat. Als de langlaufer op één ski staat, moet het middengedeelte van de ski de sneeuw wel raken om te kunnen afzetten. Het is daarom essentieel dat de langlaufer ski’s gebruikt waarvan de flexibiliteit en de camberhoogte passen bij zijn massa. Een ski is daarbij in eerste benadering vergelijkbaar met een veer.

Een langlaufer met een massa van 80 kg wil langlaufski’s gebruiken met een camberhoogte van 3,0 mm en een veerconstante van 100 kN m−1. Aan de voorwaarde dat het middengedeelte van de ski de sneeuw raakt als de langlaufer op één ski staat, is in dit geval voldaan.

Wanneer de flexibiliteit van een langlaufski in detail bekeken wordt, blijkt dat de benadering van de veer niet precies klopt. Het verband tussen de verticale kracht F en de hoogte h van het midden van de ski blijkt namelijk niet lineair te zijn. In figuur 7 is het verband tussen kracht en hoogte weergegeven voor twee typen ski’s: een ski voor amateurs en een ski voor professionals.

[figuur 7: zie het originele examen]

In een ( F , s ) -diagram staat bij de horizontale as de indrukking s van de ski, gemeten vanaf de camberhoogte, en bij de verticale as de verticale kracht F . In figuur 8 staan vier ( F , s ) -diagrammen.

figuur 8 a b

c d

Voor de wrijvingskracht tussen een ski in beweging en de sneeuw geldt:

Fw = f d Fn (1)

Hierin is:

• Fw de wrijvingskracht in N
• f d de dynamische wrijvingscoëfficiënt
• Fn de normaalkracht op de ski in N

De dynamische wrijvingscoëfficiënt is bij langlaufen afhankelijk van de snelheid. In Innsbruck bevindt zich een proefopstelling waarmee f d bepaald kan worden. Met deze proefopstelling meet men bij verschillende snelheden de normaalkracht en de wrijvingskracht op de ski terwijl die horizontaal over de sneeuw beweegt met snelheid v .

In figuur 9 zijn resultaten van dergelijke metingen weergegeven.

[figuur 9: zie het originele examen]

Cappuccino bestaat uit espressokoffie en figuur 1 met stoom opgeschuimde melk. Met een espressoapparaat kan je koffiezetten en stoom maken om de melk op te schuimen.

Het espressoapparaat dat is afgebeeld in figuur 1 gebruikt voor beide handelingen één verwarmingselement. Dit verwarmingselement bevindt zich in de boiler. Dit is de ketel waarin water (onder druk) wordt opgewarmd. Op het voorpaneel van het apparaat zitten twee knoppen:

• de aan-uitknop: alleen als deze knop aanstaat, werkt het apparaat. Het verwarmingselement verwarmt dan het water tot een temperatuur van net onder 100 °C;
• de stoomknop: als deze knop ook aanstaat, verwarmt het verwarmingselement water onder druk tot een temperatuur van

120 °C.

Als de aan-uitknop aangezet wordt, gaat het lampje branden. Het lampje brandt totdat het water de juiste temperatuur heeft. In figuur 2 op de volgende bladzijde is een gedeelte van het schakelschema met het verwarmingselement weergegeven. Het apparaat is aangesloten op de netspanning (230 V). De temperatuurregeling gebeurt met behulp van thermostaten die in de boiler zijn aangebracht. Een thermostaat kan gezien worden als een schakelaar die onder een bepaalde temperatuur gesloten is en boven die temperatuur open is.

Het espressoapparaat bevat drie thermostaten:

• een warmwaterthermostaat: deze is afgesteld op een temperatuur van iets onder 100 °C;
• een stoomthermostaat: deze is afgesteld op een temperatuur van

120 °C;

• een veiligheidsthermostaat (niet afgebeeld in figuur 2): deze schakelt het verwarmingselement uit wanneer de temperatuur toch te hoog wordt doordat een van de andere thermostaten niet goed werkt. Deze thermostaat is afgesteld op een temperatuur van rond 150 °C.

[figuur 2: zie het originele examen]

In de schakeling in figuur 2 is de stoomknop nog niet aangesloten. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

In figuur 2 is de veiligheidsthermostaat nog niet opgenomen. Als de veiligheidsthermostaat het verwarmingselement uitschakelt, blijft het lampje branden.

Het verwarmingselement levert een nuttig vermogen van 0,80 kW bij een rendement van 95%. Hieruit volgt dat de weerstand van het element gelijk is aan 63 Ω.

Lees de onderstaande tekst.

In de gebieden bij de Noordpool en de Zuidpool kun je vaak ’s nachts gekleurd licht zien. Dit poollicht wordt respectievelijk noorderlicht of zuiderlicht genoemd (zie figuur 1).

figuur 1 figuur 2

Het poollicht wordt veroorzaakt door een zogenaamd plasma van positief geladen en negatief geladen deeltjes. Dit plasma verlaat de zon bij een zonne-uitbarsting (zie figuur 2) en bereikt 17 uur later onze dampkring. Als de deeltjes botsen met moleculen in de lucht geeft dit de spectaculaire lichtverschijnselen van het poollicht.

Het plasma moet een bepaalde minimale snelheid hebben om aan het gravitatieveld van de zon te kunnen ontsnappen.

De afstand die het plasma aflegt van de zon naar de aarde is 1,5∙1011 m.

In figuur 3 is de aarde met haar magneetveld te zien. De aarde is op te vatten als een staafmagneet.

[figuur 3: zie het originele examen]

Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

Als het plasma het aardmagnetisch figuur 4 veld binnenkomt, gaan geladen deeltjes van het plasma een schroefvormige beweging maken om de magnetische veldlijnen. In figuur 4 is de baan van één geladen deeltje weergegeven.

In het rechthoekige kader in figuur 4 is één omloop van het geladen deeltje om een veldlijn van het aardmagnetisch veld te zien. Op de uitwerkbijlage is deze omloop vereenvoudigd weergegeven, zoals je deze ziet als je in de richting van het magnetisch veld kijkt. De richting van de veldlijn en de component van de snelheid loodrecht op de veldlijn zijn ook weergegeven.

De snelheid van het deeltje heeft niet alleen een component loodrecht op de veldlijn, maar ook een component in de richting van de veldlijn. Die laatste component zorgt ervoor dat het deeltje richting de magnetische noordpool of zuidpool beweegt. Deze beweging langs de veldlijn levert in combinatie met de cirkelbeweging om de veldlijn de schroefvormige baan in figuur 4 op.

Het plasma wordt dus door het aardmagnetisch veld afgebogen naar de polen en zorgt daar voor het ontstaan van het poollicht. Het poollicht ontstaat vooral als gevolg van botsingen van de plasmadeeltjes met zuurstofatomen O en stikstofmoleculen N2. De volgende processen komen voor:

• Een aangeslagen N2-molecuul zendt bij terugvallen een combinatie van golflengtes uit, die wij zien als de kleur magenta.
• Een aangeslagen O-atoom zendt bij het terugvallen vooral rood licht uit, tenzij het botst met een N2-molecuul.
• Bij een botsing tussen een aangeslagen O-atoom en een N2-molecuul draagt het N2-molecuul energie over aan het O-atoom, dat vervolgens de dominante kleur in het poollicht uitzendt. De fotonen van dit licht hebben een energie van 2,22 eV.

In figuur 5 is het aantal deeltjes per cm3 uitgezet tegen de hoogte.

[figuur 5: zie het originele examen]

De dominante kleur in het poollicht ontstaat vooral op hoogtes tussen ongeveer 100 km en 200 km.

Jelle heeft een set van acht boomwhackers. Zie figuur 1. Boomwhackers zijn kunststof buizen met twee open uiteinden waarmee je muziek kunt maken. Als je met een boomwhacker ergens tegenaan tikt, ontstaat er een toon doordat er staande golven in de buis ontstaan. De lengte van de buis bepaalt de hoogte van de toon.

[figuur 1: zie het originele examen]

Jelle meet de frequenties van de grondtoon en de boventonen van buis 1. Zijn meetresultaten wijken een klein beetje af van wat hij verwacht op basis van de lengte van de buis. Dit komt doordat de buiken niet exact samenvallen met de uiteinden van de buis. De afstand tussen de buiken aan beide uiteinden van de buis wordt de akoestische lengte genoemd. Deze akoestische lengte bepaalt dus de toonhoogte.

In figuur 2 staat weergegeven welke frequenties vóórkomen in de toon van buis 1. De meting is gedaan bij een temperatuur van 20 °C.

[figuur 2: zie het originele examen]

Jelle gaat op zoek in de literatuur en vindt de volgende formule voor de akoestische lengte:

La = L + 2 ⋅ 0,31 ⋅ d (1)

Hierin is:

• La de akoestische lengte van de buis in m
• L de werkelijke lengte van de buis in m
• 0,31 een experimenteel bepaalde correctiefactor
• d de binnendiameter van de buis in m
• 2 het aantal open uiteinden van de buis

Jelle meet de lengte en de binnendiameter van de buizen op met een meetlint. Voor buis 8 vindt hij een lengte van 30,1 cm. Hij meet voor elke buis een binnendiameter van 4,0 cm.

Jelle bedenkt dat hij de binnendiameter ook kan meten met een schuifmaat. De meetwaarde voor de binnendiameter wordt dan nauwkeuriger en kan daardoor worden opgegeven in één significant cijfer méér dan met het meetlint. Jelle beweert dat de akoestische lengte, en dus de golflengte van de toon, nu weergegeven kan worden met een groter aantal significante cijfers.

Jelle wil nu de geluidssnelheid bepalen. Daarom berekent hij, uit zijn metingen met het meetlint, met behulp van formule (1) de golflengte van de grondtoon van elke buis. Bovendien meet hij van elke buis de frequentie f van de grondtoon. Van zijn resultaten maakt hij de grafiek van figuur 3. Hij geeft hierbij ook de meetonnauwkeurigheid in de frequentie f aan.

[figuur 3: zie het originele examen]

De meetonnauwkeurigheid in de frequentie is vastgesteld op 2 ⋅101 Hz. Dat betekent dat elke frequentie in werkelijkheid 2 ⋅101 Hz naar onder of naar boven kan afwijken. In de grafiek is deze meetonnauwkeurigheid, ook wel foutmarge genoemd, aangegeven met verticale streepjes van

2 ⋅101 Hz onder tot 2 ⋅101 Hz boven elk grafiekpunt.

De berekende golflengte kent ook een foutmarge.

Om de geluidssnelheid zo nauwkeurig mogelijk te bepalen voert Jelle een coördinatentransformatie uit. Het resultaat hiervan is weergegeven in figuur 4. Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 4: zie het originele examen]

Jelle voert de volgende drie handelingen uit:

• Hij zet bij de horizontale as het juiste bijschrift.
• Hij trekt in het diagram twee rechte lijnen door de oorsprong die net binnen alle foutmarges liggen.
• Hij bepaalt hieruit in twee significante cijfers de minimale en de maximale geluidssnelheid die uit de metingen volgen.

Het botsende-deeltjesmodel is een veelgebruikt model om verschijnselen in materie te verklaren. In dit model worden atomen en elektronen beschouwd als kleine, harde knikkertjes die tegen elkaar botsen. Het botsende-deeltjesmodel is een klassiek model.

In een experiment wordt een bundel elektronen door een gas geschoten. Dit proces beschrijven we met een model waarin de gasatomen stilstaan en de elektronen bewegen. De intensiteit van de bundel is gedefinieerd als de grootte van de elektronenstroom in de richting van de bundel per oppervlakte-eenheid. De bewegende elektronen kunnen botsen met de gasatomen, waardoor de intensiteit van de bundel kan veranderen. Zie figuur 1 voor een schematische tekening.

[figuur 1: zie het originele examen]

De transmissie T is de verhouding tussen de intensiteit van de bundel nadat hij een afstand x door het gas heeft afgelegd en de intensiteit van de bundel bij de bron. Volgens het botsende-deeltjesmodel geldt voor T:

x I

• T = =e λ (1) I0

Hierin is:

• x de afstand die door de bundel in het gas is afgelegd in m
• λ de gemiddelde vrije weglengte, dat wil zeggen de gemiddelde afstand die een elektron aflegt voordat het botst, in m
• I de intensiteit van de bundel na een afstand x in m−2 s−1
• I0 de intensiteit van de bundel bij de bron in m−2 s−1

In figuur 2 is T als functie van x weergegeven. In de figuur staat ook λ aangegeven.

[figuur 2: zie het originele examen]

De vorm van het (T, x)-diagram is vergelijkbaar met die van een doorlaatkromme bij ioniserende straling. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

Toon aan, met behulp van een berekening, dat λ in figuur 2 correct is weergegeven.

Quantumrevolutie: het Ramsauer-Townsend-effect Rond 1920 deden de wetenschappers Carl Ramsauer en John Townsend (zie figuur 3), los van elkaar, een verrassende ontdekking. Bij experimenten met xenongas bleek de transmissie T van de elektronen sterk afhankelijk te zijn van de energie van de elektronen Eelek.

[figuur 3: zie het originele examen]

Carl Ramsauer John Townsend

Figuur 4 is een (T, Eelek)-grafiek van metingen aan xenongas. Bij een elektronenenergie Eelek van 1, 0 eV gebeurt er iets verrassends: de elektronen lijken plotseling geen hinder meer te ondervinden van de xenonatomen. De transmissie wordt dan gelijk aan 1, ongeacht de grootte van de afgelegde weg.

[figuur 4: zie het originele examen]

Om dit effect te verklaren beschreven Ramsauer en Townsend het elektron niet als een deeltje, maar als een golf met bijbehorende debroglie-golflengte.

Ramsauer en Townsend benaderden het xenonatoom als een eendimensionale energieput met een diepte Eput en een lengte L. In figuur 5 is schematisch de situatie getekend van een elektron dat een xenonatoom passeert. Het elektron beweegt van gebied I (voor het xenonatoom) via gebied II (het xenonatoom) naar gebied III (na het xenonatoom).

[figuur 5: zie het originele examen]

Bij bepaalde waarden van Eelek blijkt de golf van het elektron te resoneren in gebied II. Deze resonantie leidt ertoe dat het elektron ongehinderd zijn weg kan vervolgen naar gebied III.

Resonantie in gebied II treedt op als aan de volgende voorwaarde wordt voldaan:

λ L = n II (2) 2

Hierin is:

• L de diameter van het xenonatoom
• n een positief geheel getal (1, 2, 3, …)
• λII de debroglie-golflengte van het elektron in gebied II

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

Voor de kinetische energie van het elektron in gebied II geldt:

Ekin = Eelek + Eput (3)

In figuur 4 zijn meerdere pieken te zien waarbij T = 1 . Er zijn dus verschillende waarden van Eelek waarbij resonantie optreedt. Dit is te verklaren met behulp van de formules (2) en (3) en ten minste één formule uit het informatieboek.

De waarden van de energie Ekin in gebied II, waarbij resonantie optreedt, komen overeen met de energieniveaus van een deeltje in een eendimensionale energieput met oneindig hoge wanden. Neem aan dat de eerste piek in figuur 4 hoort bij n = 1 in de formule van deze energieniveaus. De diameter van het xenonatoom is 0, 22 nm .