Eindexamen natuurkunde vwo 2021, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Een spectaculair onderdeel van veel figuur 1 achtbanen is de looping. Als het treintje van de achtbaan vanaf punt A door de looping beweegt, gaat de passagier ‘over de kop’. Zie figuur 1.

Voordat het treintje bij punt A komt, rijdt het vanuit stilstand vanaf een bepaalde hoogte h boven punt A langs een helling naar beneden. (Dit is niet te zien in figuur 1.) Het treintje heeft in punt A een snelheid van 27,8 m s−1.

De passagier beweegt in baandeel CDE in een halve cirkel met een diameter van 11,0 m. Als de passagier zich in het hoogste punt van de looping bevindt (en dus ondersteboven hangt), mag hij niet uit het treintje vallen. Hiervoor moet het treintje in het hoogste punt van de looping minimaal een bepaalde snelheid hebben.

Ineke en Rob onderzoeken met videometen de beweging van het treintje door de looping. Ze hebben de beweging van het midden van de middelste wagon van het treintje gemeten. Punt B in figuur 1 wordt twee keer gepasseerd: één keer als het treintje de looping in beweegt en één keer als het treintje de looping weer verlaat. De richtingen omhoog en naar rechts worden als positief genomen. Uit de videometing krijgen ze de grafieken van figuur 2 en 3. In figuur 2 ((x,t)-diagram) is de beweging in de horizontale richting te zien. In figuur 3 ((y,t)-diagram) is de beweging in de verticale richting te zien.

figuur 2 figuur 3

Figuur 2 is vergroot weergegeven op de uitwerkbijlage. Op t = 0 s passeert het treintje punt B.

Ineke en Rob willen de snelheid bepalen op het moment dat het treintje in punt B de looping ingaat. De grootheid snelheid is een vectorgrootheid, net als de grootheid kracht. Je kunt daarom de grootte van de snelheid op dezelfde manier uit zijn componenten berekenen als bij kracht. Op de uitwerkbijlage staan figuur 2 (nogmaals) en figuur 3 vergroot weergegeven.

Ineke beweert dat de voorste wagon van het treintje het hoogste punt D met een grotere snelheid passeert dan de middelste wagon (zie figuur 1). Rob beweert dat de achterste wagon van het treintje het hoogste punt D met een grotere snelheid passeert dan de middelste wagon.

Punt B in figuur 1 wordt gepasseerd als het treintje de looping in beweegt en als het treintje de looping weer verlaat. Door wrijvingskrachten in de looping komt er warmte vrij. In figuur 4 staan de kinetische energie en de zwaarte-energie tijdens de beweging van de middelste wagon door de looping (het traject BCDEB) uitgezet als functie van de tijd.

[figuur 4: zie het originele examen]

In het British Museum staat de beker van Lycurgus (zie figuur 1a en 1b). De kleur van het glas van deze beker hangt af van de belichting. Als de beker van binnenuit wordt beschenen met wit licht, dan heeft de beker een rode kleur. Als de beker van buitenaf wordt beschenen met wit licht, dan heeft de beker een groene kleur.

figuur 1a figuur 1b

rode kleur groene kleur

Dit verschijnsel wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van nanodeeltjes goud in het glas. Nanodeeltjes zijn deeltjes die kleiner zijn dan 100 nm. Als het glas wordt beschenen, wordt een deel van het licht door het glas geabsorbeerd en wordt de rest van het licht doorgelaten. De mate van absorptie is afhankelijk van de golflengte van het licht dat erop valt. Een deel van het geabsorbeerde licht wordt weer uitgezonden met dezelfde golflengte. Dit is zichtbaar als gereflecteerd licht. In figuur 2 is weergegeven hoe de mate van absorptie door de nanodeeltjes in de beker van Lycurgus afhangt van de golflengte van het licht.

[figuur 2: zie het originele examen]

De buitenkant van de beker kleurt bij belichting van binnenuit rood (figuur 1a) en bij belichting van buitenaf groen (figuur 1b).

Het ontstaan van de absorptiepiek in figuur 2 kan worden begrepen met behulp van het zogenaamde plasmonmodel. Uitgangspunt van dit model is dat elk metalen nanodeeltje bestaat uit veel positieve ionen, omringd door geleidingselektronen. Deze geleidingselektronen reageren op licht. Een lichtgolf heeft een sinusvormig variërend elektrisch veld, dat de geleidingselektronen als één geheel in trilling brengt. Deze trillende wolk van geleidingselektronen wordt ook wel een ‘plasmon’ genoemd.

In figuur 3 is de situatie voor een plasmon op twee verschillende tijdstippen weergegeven. De lichtgolf in figuur 3 beweegt naar rechts. Op tijdstip t1 heeft het elektrisch veld het negatieve plasmon naar zijn hoogste stand getrokken en op een later tijdstip t2 naar zijn laagste stand. De positieve ionen blijven op hun plaats, waardoor een ladingsscheiding in het nanodeeltje optreedt. De richting van het elektrisch veld 𝐸⃗ is in de figuur aangegeven. Op de positie van het nanodeeltje wisselt 𝐸⃗ dus voortdurend van richting. Dit is een reden waarom het plasmon telkens weer in de richting van de evenwichtspositie beweegt.

[figuur 3: zie het originele examen]

De absorptiepiek in figuur 2 is het gevolg van resonantie. De sterkste absorptie van licht vindt plaats als de eigenfrequentie van het plasmon overeenkomt met de frequentie van het licht dat erop valt. Het plasmonmodel is vergelijkbaar met een massa-veersysteem waarbij de elektrische kracht de rol van veerkracht heeft. Voor de resonantiefrequentie van het plasmonmodel geldt:

ne 2 f f res = k (1) πm

Hierin is:

• fres de frequentie waarbij resonantie optreedt in Hz
• n het aantal geleidingselektronen per m3
• e de lading van het elektron in C
• f de constante (in de wet) van Coulomb in Nm2C-2
• m de massa van een elektron in kg
• k een constante

Goud bevat één geleidingselektron per ion. Voor goud geldt: n = 5,90 ·1028 m −3 .

De constante k hangt onder andere af van de grootte en de vorm van het nanodeeltje.

Bij de SPECT-scan figuur 1 (Single Photon Emission Computer Tomography) worden tracers gebruikt die zich ophopen in de cellen die bestudeerd worden. Met een SPECT-scanner (zie figuur 1) kan parkinson aangetoond worden. Dit is een hersenaandoening waarbij bewegingsklachten optreden. Als tracer wordt vaak een verbinding met jood-123 gebruikt, dat vervalt onder uitzending van een γ-foton.

Om jood-123 te maken wordt telluur-123 beschoten met protonen.

Een jood-123-kern vervalt met een halveringstijd van 13,2 h .

Het jood-123 wordt 24 uur vóór gebruik geproduceerd.

Het γ-foton dat wordt uitgezonden heeft een energie van 160 keV.

Om de stralingsbelasting te verkleinen, moet de patiënt de blaas minstens vijf keer in 24 uur legen. In een vereenvoudigd model wordt aangenomen dat de patiënt (massa 70 kg) elke 4,8 uur het toilet bezoekt en elke keer hetzelfde percentage van de aanwezige jood-123-kernen uitscheidt. Dit noemen we het verliespercentage. Het verloop van het totale door de patiënt geabsorbeerde stralingsvermogen P tegen de tijd is weergegeven in figuur 2 op de volgende bladzijde. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 2: zie het originele examen]

Uit deze grafiek is het verliespercentage af te leiden dat gehanteerd is in dit model.

Patiënten met parkinson hebben een tekort aan dopamine door een verminderd dopaminetransport. De tracer met jood-123 bindt zich specifiek aan structuren in de hersenen die zorgen voor het dopaminetransport. In de figuren 3a en 3b zijn SPECT-scans te zien van een patiënt met parkinson en een patiënt zonder parkinson. Witte gebieden in de afbeeldingen tonen de hoogste stralingsintensiteit.

figuur 3a figuur 3b

Een joystick kan worden gebruikt bij figuur 1 het gamen. Zie figuur 1. De onderkant van de joystick bevat twee beugels die draaibaar zijn: een voor de beweging in de x-richting (naar links en rechts) en een voor de beweging in de y-richting (naar voren en achteren). Zie figuur 2. Als de joystick wordt bewogen, draaien de asjes waaraan de beugels bevestigd zijn. Op deze asjes zit een metalen lipje dat contact maakt met een weerstandsdraad in punt C. Zie figuur 2, deze figuur is op schaal.

[figuur 2: zie het originele examen]

De weerstandsdraad heeft een weerstand van 100 kΩ, een lengte van

14 cm en een soortelijke weerstand van 0,54 Ω m.

De spanning tussen A en B is 5,0 V. De spanning tussen A en C wordt gemeten. Op deze manier is de stand van de joystick in de x-richting te bepalen.

Deze manier van positie bepalen heeft figuur 3 het nadeel dat het contactpunt met de weerstandsdraad gevoelig is voor slijtage en vuil. Een manier om contactloos de stand van de joystick te detecteren, is door gebruik te maken van een zogenaamde Hall-sensor. Daarvoor wordt de weerstandsdraad weggehaald en wordt op het asje een hoefijzermagneet bevestigd. Als de joystick beweegt, draait de hoefijzermagneet om de Hall-sensor heen. Zie figuur 3. De Hall-sensor bevindt zich dus in het homogene veld van de magneet.

De Hall-sensor bevat een geleidende strip waar geleidingselektronen vrij doorheen kunnen bewegen. Er loopt een stroom I door de Hall-sensor. Zie figuur 4. De bron die deze stroom levert, staat niet aangegeven in de tekening. Het homogene magneetveld staat in deze figuur loodrecht op de strip in de aangegeven richting.

[figuur 4: zie het originele examen]

Door de lorentzkracht op de elektronen bewegen de elektronen naar de zijkant van de strip. Daardoor ontstaat aan de ene kant een negatieve lading en aan de andere kant een positieve lading. Deze ladingsverdeling veroorzaakt een elektrisch veld EHall in de strip. Dit geeft over de breedte van de strip een spanning die de Hall-spanning U Hall genoemd wordt. Een bovenaanzicht van de strip is getekend in figuur 5. Op de uitwerkbijlage staat ook een bovenaanzicht van de strip getekend.

[figuur 5: zie het originele examen]

Op een gegeven moment is de elektrische kracht op de elektronen als gevolg van het elektrisch veld EHall even groot als de lorentzkracht op de elektronen. Voor de Hall-spanning geldt dan: U Hall = Bbv (1) U Voor een elektrisch veld geldt: E= (2) Δx

Hierin is:

• UHall de Hall-spanning in V
• B de grootte van het magneetveld in T
• b de breedte van de strip in m
• v de driftsnelheid (gemiddelde snelheid in de lengterichting van de strip) van de elektronen in m s−1
• E de elektrische veldsterkte in V m−1
• U de spanning in V
• Δx de afstand waarover de spanning staat in m

Als de joystick met het asje draait, staat het magneetveld niet meer loodrecht op de Hall-sensor. Daardoor verandert UHall.

In figuur 6 is schematisch de stand van de magneet ten opzichte van de Hall-sensor getekend wanneer de joystick recht omhoog staat. We noemen deze stand 0°. Als de joystick naar links beweegt, kan hij tot –90° draaien. Als hij naar rechts beweegt, kan hij tot 90° draaien.

[figuur 6: zie het originele examen]

In figuur 7 staan vier grafieken van UHall als functie van de stand van de joystick.

[figuur 7: zie het originele examen]

De sterkte van de gebruikte magneet is ongeveer 0,1 T.