Eindexamen natuurkunde vwo 2022, tijdvak 1: vragen en antwoorden

figuur 1 figuur 2 basketbal massa bal 600 g diameter bal 24 cm hoogte ring 3,05 m diameter ring 45 cm horizontale afstand van vrijeworplijn tot midden van de ring 4,6 m

Bij basketbal scoor je door de bal van bovenaf door een metalen ring te gooien waaraan een netje bevestigd is. Rens en Dyon onderzoeken de beweging van de bal bij een vrije worp. Bij een vrije worp probeert de speler de bal door de ring te gooien terwijl hij achter de ‘vrijeworplijn’ staat. Zie figuur 1. In figuur 2 staat een tabel met een aantal gegevens over basketbal. Met behulp van een videometing is de beweging van de bal na de worp geanalyseerd. Je kunt de beweging van de bal beschouwen als een combinatie van een horizontale beweging (in de x -richting) en een verticale beweging (in de y -richting). De videometing levert het ( x, t )-diagram en het ( y, t )-diagram van de beweging van het middelpunt van de bal. Zie de figuren 3a en 3b. Hierin is x de horizontale afstand vanaf de vrijeworplijn en y de hoogte boven de grond. Op t = 0 s verlaat de bal de hand van de speler. De grootheid snelheid is een vectorgrootheid, net als de grootheid kracht. Je kunt daarom de grootte van de snelheid op dezelfde manier uit haar componenten berekenen als bij kracht.

figuur 3a figuur 3b

Figuur 3a en figuur 3b staan vergroot weergegeven op de uitwerkbijlage.

In figuur 4 zijn foto’s te zien van een figuur 4 andere vrije worp. Op de linker foto is het begin van de worp te zien, waarbij de speler extra spierkracht begint uit te oefenen op de bal om hem een snelheid te geven. Op de rechter foto is het einde van de worp te zien, waarbij de bal net is losgekomen van de hand van de speler. Bij deze vrije worp verlaat de bal de hand met een snelheid van 7,1 m s −1. Figuur 4 is vergroot weergegeven op de uitwerkbijlage.

Om een beter inzicht te krijgen in de beweging van de bal na de worp, ontwerpen Rens en Dyon een vereenvoudigd model. Dit model is weergegeven in figuur 5. Ook hier is t = 0 s het moment dat de bal de hand van de speler verlaat.

[figuur 5: zie het originele examen] modelformules startwaarden dx = vx · dt x = 0,35 (m) x = x + dx y = 2,32 (m) dv y = g · dt vx = 4,6 (m s −1 ) v y = v y + dv y v y = 5, 4 (m s −1 ) dy = v y · dt g = −9,81 (m s −2 ) y = y + dy t = 0 (s) t = t + dt dt = 0,0001 (s)

Rens en Dyon laten de computer het model een aantal keren doorrekenen. Rens kiest eerst een aantal keren een andere startwaarde voor v x , zonder die van v y te veranderen. Vervolgens zet hij de waarde van v x terug naar de oorspronkelijke startwaarde. Daarna varieert Dyon een aantal keren de startwaarde van v y , zonder die van v x te veranderen. De resultaten van vijf berekeningen zijn weergegeven in figuur 6.

[figuur 6: zie het originele examen]

In het model is ingebouwd dat de berekeningen stoppen als aan twee voorwaarden is voldaan. Deze voorwaarden worden in de instellingen van het programma ingevoerd.

Bij resultaat C in figuur 6 wordt er gescoord.

De verschillende resultaten in figuur 6 zijn het gevolg van variaties in de startwaarde van v x door Rens of van variaties in de startwaarde van v y door Dyon. Op de uitwerkbijlage staat een tabel.

In het scherm van een Qled-tv valt violet licht figuur 1 afkomstig uit leds op een laagje met quantum- dots. Quantum-dots zijn kleine bolletjes met afmetingen variërend van 1 tot 20 nm, gemaakt van een speciaal materiaal. In figuur 1 staat een artist’s impression van één quantum-dot (opgebouwd uit atomen). De quantum-dots absorberen het violette licht waarmee ze bestraald worden en zenden daarna zelf licht uit met een andere kleur dan violet. Voor de werking van een Qled-tv zijn quantumdots nodig die blauw, groen of rood licht uitzenden. De kleur van het uitgezonden licht hangt af van de grootte van de quantum-dot. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

De quantum-dots in een Qled-tv worden met violet licht bestraald.

Halfgeleider Een quantum-dot is gemaakt van een figuur 3 zogenaamd halfgeleidermateriaal. In een halfgeleider kan een elektron slechts in banden van zeer dicht bij elkaar gelegen energieniveaus bestaan. Voor de werking van een quantum-dot zijn slechts twee van deze energiebanden van belang: de valentieband en de geleidingsband. Daartussen zit bij een halfgeleider een energieverschil, de zogeheten bandgap Egap . Zie figuur 3.

Als een foton geabsorbeerd wordt maakt het één elektron vrij uit het atoomrooster. De energie van dat foton moet daarvoor groot genoeg zijn. Het elektron gaat dan van een energieniveau in de valentieband naar een energieniveau in de geleidingsband. Dit betekent dat het loskomt uit het atoomrooster van de halfgeleider. Het achterblijvende gat in de valentieband kan worden opgevat als een positief deeltje dat door het rooster beweegt. Het aangeslagen elektron en het achterblijvende gat worden samen een elektron-gatpaar genoemd. In figuur 4 is van enkele halfgeleiders de bandgap gegeven.

[figuur 4: zie het originele examen] halfgeleider Egap (eV) Si 1,12 CdSe 1,74 Si3 N 4 5,00 GaAs 1, 43 GaP 2, 26

Neem aan dat de fotonenergie van het gebruikte violette licht tussen 2,75 eV en 3,10 eV ligt.

In goede benadering kunnen elektron en gat van een elektron-gatpaar worden opgevat als vrije deeltjes. Als gevolg van de invloed van het atoomrooster op hun beweging zijn de massa’s van deze deeltjes echter niet gelijk aan de elektronmassa me . Ze krijgen beide een zogenaamde effectieve massa meff . Voor de halfgeleider die wordt gebruikt in een Qled-tv geldt: meff, elektron = 0,13 me en meff, gat = 0, 45 me .

Voor de debroglie-golflengte λB van het elektron of het gat geldt:

h λB = (1) 2meff Ek

Hierin is:

• h de constante van Planck
• meff de effectieve massa
• Ek de kinetische energie

Neem voor de kinetische energie van het elektron 1 eV.

Quantum-dot In een oneindig grote halfgeleider kan de energie van het elektron-gatpaar Eeg elke waarde hebben boven de bandgap. In een quantum-dot wordt het elektron-gatpaar in een kleine ruimte opgesloten. Daardoor worden de energieniveaus van het elektron-gatpaar gequantiseerd. Hoe kleiner de ruimte, hoe groter de afstand tussen de afzonderlijke energieniveaus. Zie figuur 5.

[figuur 5: zie het originele examen]

In een vereenvoudigd model kan de quantum-dot beschouwd worden als een energieput met oneindig hoge wanden. Voor de nulpuntsenergie van een deeltje in deze energieput kan worden uitgegaan van een eendimensionale put, waarvan de lengte L gelijk is aan de straal R van de quantum-dot. De energie Enul in figuur 5 is de som van de nulpuntsenergieën van elektron en gat in deze energieput. Dus Enul = Enul,elektron + Enul,gat .

Na zijn ontstaan komt het elektron-gatpaar door wisselwerking met het atoomrooster uiteindelijk in de grondtoestand van de energieput terecht. Als het elektron vervolgens terugvalt in het gat zendt de quantum-dot een foton uit. In figuur 5 is dit schematisch weergegeven.

Voor de energie van het uitgezonden foton Ef geldt:

C Ef = Egap + (2) R2 Hierin is C een constante met de eenheid J m2 , die afhangt van meff, elektron , meff, gat en h .

Een fabrikant van Qled-tv’s wil quantum-dots selecteren die na bestraling met het violette licht groen licht uitzenden met een golflengte van 534 nm. Door een coördinatentransformatie toe te passen, is van formule (2) een lineaire grafiek gemaakt. Zie figuur 6.

[figuur 6: zie het originele examen]

Tess en Fem voeren een practicum uit over warmtestraling waarmee ze de constante van Stefan-Boltzmann gaan bepalen. Ze gebruiken de opstelling zoals weergegeven in figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

In de opstelling zie je een oven. In de oven is figuur 2 een verwarmingselement aangesloten op gelijkspanning. Zie figuur 2.

Het verwarmingselement bestaat uit een draad van constantaan met een diameter van 4,0 ·10−5 m en een lengte van 0,35 m. De spanning wordt ingesteld op 120 V.

De soortelijke weerstand van metaal is afhankelijk van de temperatuur volgens de formule: ρT = ρ 0 (1 + α (T

• T0 ) ) (1p)

Hierin is:

• ρT de soortelijke weerstand bij temperatuur T in Ω m
• ρ0 de soortelijke weerstand bij kamertemperatuur in Ω m
• α de weerstandstemperatuurcoëfficiënt in K−1 (te vinden in het informatieboek)
• T de temperatuur in K
• T0 de kamertemperatuur: 293 K

Het elektrisch vermogen dat het verwarmingselement opneemt, is omgekeerd evenredig met de soortelijke weerstand ρT. Daardoor verandert dit vermogen als de temperatuur toeneemt.

Tess en Fem discussiëren over de grootte van de verandering van de soortelijke weerstand als de temperatuur toeneemt van 20 °C naar

300 °C. Tess beweert dat deze verandering kleiner dan 5% is. Fem beweert dat deze verandering groter dan 5% is.

In figuur 3 is de opstelling schematisch in bovenaanzicht getekend.

[figuur 3: zie het originele examen]

De temperatuur van de oven kan gevarieerd worden. Midden in de oven is een temperatuursensor geplaatst. De stralingsdetector staat vóór dit geheel. De opstelling is zo afgesteld dat de stralingsdetector de P uitgezonden stralingsintensiteit in W m−2 van de oven meet als functie A van de temperatuur.

P Tess en Fem maken van hun resultaten een grafiek waarin ze uitzetten A tegen T 4 . De grafiek staat in figuur 4. Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 4: zie het originele examen]

De oven bereikt uiteindelijk een maximale temperatuur van 383 °C.

Tess en Fem gaan een ander experiment doen: ze houden de temperatuur van de oven constant, maar ze variëren de afstand van de stralingsdetector tot de oven. Ze willen hiermee controleren of in deze situatie de kwadratenwet geldt. Ze meten hierbij de stralingsintensiteit I die op de stralingsdetector valt als functie van de afstand. Hun meetresultaten staan weergegeven in figuur 5.

[figuur 5: zie het originele examen] x (cm) I (W m-2)

40 4810

50 1740

60 980

70 620

Niels voert een practicum uit waarin hij het gedrag van bètadeeltjes in de lucht onderzoekt. Hij gebruikt een radioactief preparaat als bron voor β

• -deeltjes. Neem aan dat deze bron bij de start van het practicum maar één isotoop bevat. Tijdens het vervalproces van deze isotoop ontstaat Yttrium-90 als vervalproduct. Bij dit vervalproces komt geen gammastraling vrij.

Toch komt er gammastraling vrij uit de bron.

Niels bouwt de opstelling zoals weergegeven in figuur 1. Een loden blok is zó geplaatst dat straling niet in een rechte lijn van de bron naar de Geiger-Müller-sensor (GM-sensor) kan bewegen.

[figuur 1: zie het originele examen]

Verwaarloos bij het vervolg van deze opgave de eventuele invloed van de gammastraling op de metingen.

Met behulp van een sterke hoefijzermagneet wil Niels bètadeeltjes om het blok heen afbuigen richting de GM-sensor. Dit is weergegeven in figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Niels wil met zijn opstelling de snelheid van de bètadeeltjes bepalen. Hij neemt aan dat in deze situatie de zwaartekracht op de bètadeeltjes verwaarloosd mag worden. Verder neemt hij aan dat het magneetveld homogeen is en dat de bètadeeltjes dus een cirkelbeweging uitvoeren. Met behulp van formules uit het informatieboek leidt Niels de volgende formule af voor de snelheid v van een bètadeeltje: Bqr v= (1) m Hierin is:

• B de sterkte van het magnetisch veld
• q de lading van het bètadeeltje
• r de straal van de cirkelbaan
• m de massa van het bètadeeltje

Wanneer de snelheid van een deeltje groter is dan 10% van de lichtsnelheid, moet er rekening gehouden worden met zogenaamde relativistische effecten.

Het magnetisch veld tussen de polen is 0,1 T . Niels bepaalt de gemiddelde straal van de cirkelbaan van de bètadeeltjes die op de GM- sensor vallen en vindt 0, 20 m .

Voordat Niels de bron en de magneet in de opstelling plaatst, doet hij eerst driemaal een meting met de GM-sensor (figuur 3, reeks 1). Vervolgens plaatst Niels de bron in de opstelling zonder magneet en doet hij weer drie metingen (reeks 2). Ten slotte plaatst Niels ook de hoefijzermagneet in de opstelling en doet hij nogmaals drie metingen (reeks 3).

[figuur 3: zie het originele examen] reeks 1 reeks 2 reeks 3 zonder bron met bron met bron zonder magneet zonder magneet met magneet (tellen per minuut) (tellen per minuut) (tellen per minuut)

34 160 479

27 155 497

31 165 486

In de tweede meetreeks worden de bètadeeltjes nog niet afgebogen door de magneet. Toch meet de GM-sensor al meer straling dan in de eerste meetreeks.

In figuur 1 zie je een speciale fluit met twee gesloten uiteinden en slechts drie gaten. We gaan uit van een kamertemperatuur van 20 oC.

[figuur 1: zie het originele examen]

Het middelste gat wordt gebruikt om de fluit aan te blazen. Zie figuur 2. De andere twee gaten kunnen met een vinger afgesloten worden.

[figuur 2: zie het originele examen]

Daniël en Jonathan gaan onderzoeken hoe de toonvorming in de fluit plaatsvindt.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

Op de fluit kun je twee tonen spelen met één gat gesloten: toon I en toon II. In figuur 3a en in figuur 3b zijn de twee mogelijkheden om een toon te spelen met één gat gesloten schematisch weergegeven. Een wit bolletje betekent een geopend gat en een zwart bolletje een gat dat is gesloten met een vinger. De fluit wordt aangeblazen door het middelste gat, dat is aangegeven met grijs.

figuur 3a

figuur 3b

Volgens het model van de staande golven ontstaat er bij het uiteinde aan de kant van het gesloten gat een knoop (K) en ergens in de buurt van het open gat een buik (B). De plaats van de knoop bij toon I en toon II is weergegeven met een letter K. In beide gevallen is sprake van de grondtoon. Op de uitwerkbijlage staat figuur 3a nogmaals weergegeven. De lengte van de afbeelding van de fluit is precies de helft van de werkelijke lengte. De frequentie van toon I is 6, 0 · 10 2 Hz.

Daniël blaast de fluit aan door het middelste gat, met beide andere gaten open. Jonathan ontdekt dat de toon die daardoor ontstaat veel hoger is dan toon I en II. Op de uitwerkbijlage is de fluit in deze situatie schematisch weergegeven.

Daniël en Jonathan hebben al een tijdje op de fluit geblazen, waardoor de lucht in de fluit een hogere temperatuur heeft gekregen.