Eindexamen wiskunde A havo 2018, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Voedingsmiddelen worden in China steeds duurder. Om de prijzen over de jaren heen te kunnen vergelijken, worden ze vaak vergeleken met de prijs in een bepaald basisjaar. In deze opgave is het jaar 2000 het basisjaar. De prijs van een voedingsmiddel, bijvoorbeeld vis, duiden we in dat basisjaar aan met het getal 100. We zeggen: het indexcijfer van vis is in 2000 gelijk aan 100. In de figuur zie je dat het indexcijfer van vis in 2010 gelijk is aan 104. Dat betekent dat in 2010 vis 104 100 = 1,04 keer zo duur is als in 2000. Anders gezegd: in 2010 was vis 4% duurder dan in 2000.

figuur 120 index- cijfer

115 vlees

110 groenten

105 vis

100

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 jaar

In de periode 2006

• 2010 is het indexcijfer van vlees met 9 gestegen. Dat hoeft niet te betekenen dat de prijs van vlees met 9% is gestegen.

De grafiek van het indexcijfer van groenten in de periode 2005

• 2010 is bij benadering een rechte lijn. Je kunt op basis van de indexcijfers van

2005 en 2010 het indexcijfer van groenten in 2021 schatten door middel van lineair extrapoleren.

Niet alleen de prijzen van vlees, vis en groenten zijn gestegen. Ook de consumptie van deze voedingsmiddelen is gestegen. Zo is bijvoorbeeld de gemiddelde jaarlijkse vleesconsumptie per persoon in China in de periode 1985

• 2005 verdrievoudigd tot 45 kg. Neem aan dat deze groei exponentieel verliep.

Sommige ziektes zijn besmettelijk. Als je aan zo’n besmettelijke ziekte lijdt, kun je gezonde personen besmetten, waardoor die ook ziek worden. Van veel ziektes is bekend hoe groot het gemiddelde aantal (gezonde) personen is dat door één zieke wordt besmet. Dat gemiddelde aantal noemen we B. Zo geldt bijvoorbeeld voor de ziekte griep: B = 2, 2 .

In deze opgave maken we de volgende aannames:

• Iemand die ziek wordt, is precies één week ziek. Daarna is hij weer gezond (maar kan vervolgens wel weer ziek worden). Alleen in die ene week dat hij ziek is, besmet hij andere personen.
• Wie besmet wordt, zal pas in de week erna ziek zijn.

Stel bijvoorbeeld dat in week 50 van een bepaald jaar één persoon een ziekte heeft met B = 3 . In week 51 zal die persoon weer gezond zijn, maar zullen drie andere personen ziek zijn. In week 52 zullen er negen andere personen ziek zijn, omdat elk van de drie zieken van week 51 drie andere personen heeft besmet.

In de praktijk besmet een zieke vaak minder personen dan het gemiddelde aantal B, omdat tegen een aantal ziektes vaccins zijn ontwikkeld. Als je met zo’n vaccin bent ingeënt, kun je de ziekte niet meer krijgen. Vaccinatie van een deel van de bevolking leidt ertoe dat het gemiddelde aantal personen dat door één zieke wordt besmet, kleiner is dan B. We noemen dit gemiddelde aantal Bv .

Dus:

• B is het gemiddelde aantal personen dat besmet wordt door één zieke als niemand gevaccineerd zou worden.
• Bv is het gemiddelde aantal personen dat besmet wordt door één zieke als er sprake is van vaccinatie van een deel van de bevolking.

In deze opgave gebruiken we de volgende formule om Bv te bepalen:

p Bv = B · 1

• (formule 1) 100 Hierin is p de vaccinatiegraad: het percentage van de bevolking dat tegen de ziekte is gevaccineerd.

Bij elke ziekte zorgt een hogere vaccinatiegraad ervoor dat een kleiner aantal personen besmet wordt.

Een situatie waarbij Bv groter is dan 1, is onwenselijk: in zo’n geval zal het aantal zieken elke week groter zijn dan het aantal zieken in de week daarvóór. We zeggen dan: de ziekte breidt zich uit.

Voor griep geldt B = 2, 2 .

Van de Nederlandse bevolking heeft 14% zich laten vaccineren tegen griep. Stel dat er 1000 personen in week 40 griep hebben. Je kunt berekenen hoeveel personen met griep er in week 46 zullen zijn. Dat aantal is minder dan wanneer niemand tegen griep zou zijn gevaccineerd.

In een situatie waarbij Bv = 1 kan formule 1 herleid worden tot de volgende formule: 100 p = 100

• (formule 2) B

De ziekte mazelen is veel besmettelijker en gevaarlijker dan griep. Als niemand zich laat vaccineren, besmet één persoon met mazelen gemiddeld 20 andere personen. In de figuur is van verschillende landen in de Europese Unie de vaccinatiegraad tegen mazelen weergegeven.

figuur Denemarken Duitsland Frankrijk Griekenland Italië Nederland Noorwegen Oostenrijk Zweden

50 60 70 80 90 100 vaccinatiegraad p

Sinds de jaren tachtig meet het Trimbos-instituut regelmatig via een enquête het gebruik van alcohol, drugs en tabak in aselecte, representatieve steekproeven onder alle leerlingen van het voortgezet onderwijs. Ook werd de leerlingen in de enquête gevraagd naar hun leeftijd (in jaren), hun geslacht (jongen, meisje), en hun schoolniveau (vmbo, havo, vwo).

Aan de enquête van 2015 deden 6714 leerlingen mee in de leeftijd van

12 tot en met 16 jaar. In deze groep is onder andere gekeken naar de lifetime-prevalentie van roken. Hieronder staat wat dit begrip betekent:

lifetime-prevalentie van roken = het percentage van de leerlingen dat rookt of ooit gerookt heeft in zijn of haar leven.

Zie tabel 1.

tabel 1 lifetime-prevalentie van roken steekproefomvang 6714 aantal dat rookt of ooit gerookt heeft 1544 lifetime-prevalentie 23%

In tabel 1 zie je dat van de leerlingen in de steekproef 23%, bijna een kwart, rookt of ooit gerookt heeft. Op basis van bovenstaande gegevens kun je het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de lifetime-prevalentie van roken berekenen.

In tabel 2 zijn de 6714 leerlingen uitgesplitst naar schoolniveau.

tabel 2 lifetime-prevalentie van roken aantal leerlingen aantal dat rookt of lifetime-prevalentie ooit gerookt heeft vmbo 3265 873 27% havo 1805 410 23% vwo 1644 261 16% totaal 6714 1544 23%

Van de 1544 leerlingen die aangaven dat zij rookten of ooit gerookt hadden, gaven 712 leerlingen aan in de afgelopen maand nog gerookt te hebben. Deze groep van 712 leerlingen noemen we ‘de rokers’. Aan de rokers is gevraagd hoeveel sigaretten zij gemiddeld per dag hebben gerookt in de afgelopen maand. Het resultaat staat in tabel 3.

tabel 3 gemiddeld aantal sigaretten per dag aantal leerlingen minder dan één sigaret ( < 1 ) 364 één tot en met tien sigaretten ( 1

• 10 ) 255 meer dan tien sigaretten ( > 10 ) 93 totaal 712

Tabel 3 geeft inzicht in de verdeling van de variabele ‘gemiddeld aantal sigaretten per dag in de afgelopen maand’. Op basis van deze gegevens kun je inschatten hoe de relatieve frequentiepolygoon van deze variabele eruitziet. In de figuur staan vier schetsen van relatieve frequentiepolygonen (a, b, c, d).

figuur

a b c d

In tabel 4 zijn de gegevens van tabel 3 uitgesplitst naar geslacht.

tabel 4 gemiddeld aantal sigaretten per dag meisjes jongens totaal minder dan één sigaret ( < 1 ) 196 168 364 één tot en met tien sigaretten ( 1

• 10 ) 111 144 255 meer dan tien sigaretten ( > 10 ) 29 64 93 totaal 336 376 712

Bij een schaakpartij kan een speler punten verdienen. Als hij een partij wint, krijgt hij 1 punt. Als hij verliest, dan krijgt hij 0 punten. Wanneer de partij in remise eindigt (geen van beide spelers heeft gewonnen), dan krijgt hij 0,5 punt.

Door op bovenstaande manier punten toe te figuur kennen, kan een ranglijst worden opgesteld van # naam land rating alle wedstrijdspelers in de wereld. De top 10 van 1 Carlsen 2827 deze ranglijst (juni 2017) zie je in de figuur.

2 Kasparov 2812

3 Vachier-Lagrave 2810 In de figuur zie je bij elke speler zijn rating. Hoe hoger de rating, des te beter de speler tot dan 4 Kramnik 2809

toe heeft gespeeld. De rating wordt altijd 5 Aronian 2807 afgerond op een geheel getal. 6 Caruana 2800

7 Mamedyarov 2792 In deze opgave wordt uitgelegd hoe de rating 8 Anand 2791 van een speler berekend wordt. Hiervoor kijkt 9 So 2783 men allereerst naar de vooraf verwachte score

10 Grischuk 2779 voor de speler bij elke partij die hij gaat spelen: dat is een voorspelling van het aantal punten dat hij met die partij gaat scoren. Dit getal ligt tussen 0 en 1. Als het kleiner is dan 0,5, dan mag je verwachten dat hij zal verliezen. Als het groter is dan 0,5, dan mag je verwachten dat hij zal winnen.

Als twee schakers, speler A en speler B, een partij tegen elkaar gaan spelen, dan kan met behulp van de rating van beide spelers de vooraf verwachte score bij de partij voor speler A worden berekend1) met de volgende formule: 1 VA = 0,0025 · ( RB

• RA )

1 + 10 Hierin is:

• VA de vooraf verwachte score bij de partij voor speler A
• RA de rating van speler A
• RB de rating van speler B

Schakers Rutten en Faber gaan een partij spelen. De rating van Rutten is 2307, de rating van Faber is 2107.

noot 1 In de praktijk worden andere formules gebruikt, maar de gegeven formule geeft een goede benadering.

De rating van schaker Altena (schaker A) is 1932. Er geldt: hoe hoger de rating van zijn tegenspeler (schaker B) is, des te lager is de vooraf verwachte score voor Altena. Dit kan beredeneerd worden aan de hand van de formule.

We gaan er in de rest van deze opgave van uit dat de nieuwe rating van een speler wordt berekend direct na het spelen van de partij. Deze nieuwe rating wordt bepaald met behulp van het aantal punten P dat de speler met de partij scoorde (0 of 0,5 of 1) en de vooraf verwachte score V bij de partij voor de speler. Voor een grootmeester (een zeer goede schaker) gaat dit met het onderstaande stappenplan:

1 Eerst wordt het verschil berekend van het aantal punten dat de speler met de partij scoorde en de vooraf verwachte score voor de speler bij deze partij (dus P

• V ).

2 De uitkomst bij stap 1 wordt vermenigvuldigd met 10.

3 De uitkomst bij stap 2 wordt afgerond op een geheel getal.

4 De uitkomst bij stap 3 wordt opgeteld bij de rating die de speler vóór de partij had.

Op het Tata Steel-schaaktoernooi in 2015 speelden de grootmeesters Magnus Carlsen en Radoslaw Wojtaszek tegen elkaar. Voorafgaand aan deze partij was de rating van Carlsen 2862 en die van Wojtaszek 2744. De partij werd gewonnen door Wojtaszek.

De rating van een grootmeester kan door één partij nooit met meer dan

10 punten stijgen.

De Jamuna is een van de foto grootste rivieren van Bangladesh. In het regenseizoen kan de rivier wel bijna 12 km breed zijn. Dan stroomt het water zo snel en met zo veel kracht, dat de oevers van de rivier aangetast worden. Een deel van de oevers verdwijnt dan door het water. Zie de foto.

Op een bepaalde plaats van de Jamuna wordt gemeten hoeveel water (in m3) daar per seconde langs stroomt. Dit noemt men de waterdoorvoer. Deze varieert behoorlijk: in het regenseizoen kan de waterdoorvoer wel 100 000 m3 per seconde zijn, terwijl de waterdoorvoer in de droge tijd ‘slechts’ 3000 m3 per seconde is.

Er is berekend hoe groot de waterdoorvoer in de maand januari van 1972 gemiddeld was. Dit werd ook gedaan voor alle andere januarimaanden in de periode 1973 tot en met 2007. Deze 36 waarden zijn samengevat met een boxplot. Deze boxplot staat in de figuur op de uitwerkbijlage. In diezelfde figuur staat ook een boxplot die hoort bij alle februarimaanden in de periode 1972 tot en met 2007. En net zo voor alle andere maanden in het jaar.

Karin doet met behulp van het formuleblad de volgende uitspraak: “Het verschil in gemiddelde waterdoorvoer tussen de julimaanden en de augustusmaanden in de periode 1972 tot en met 2007 is gering.”

Bob doet ook een uitspraak: “In april 1983 was de gemiddelde waterdoorvoer groter dan in februari 1983.”

Als de waterdoorvoer erg groot is, ook al figuur 1 is dat maar gedurende een paar uur of een erosie van linker- en rechteroever samen paar dagen, dan worden de oevers 6000

erosie (ha) aangetast en verdwijnen er stukken oever in de rivier. Dit heet erosie. 5000

4000 Voor de jaren 1995 tot en met 2005 is in figuur 1 te zien hoeveel hectare land door 3000 erosie verdween (1 hectare (ha) = 10 000 m2). 2000 In figuur 2 is voor elk jaar in de periode

1995 tot en met 2005 zowel de erosie van de 1000

linkeroever als de erosie van de rechteroever 0 in dat jaar uitgezet tegen de maximale

19 5

19 6

19 7

19 8

20 9

20 0

20 1

20 2

20 3 04 05 9 9 9 9 9 0 0 0 0 19

20 waterdoorvoer in dat jaar. Zo kun je in figuur 2 bijvoorbeeld zien dat in één van die jaren 2200 ha van de linkeroever verdween, 1400 ha van de rechteroever verdween en dat de maximale waterdoorvoer 85 000 m3 per seconde was. Je kunt in figuur 2 echter niet zien in welk jaar dat was.

Figuur 1 en figuur 2 staan ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 2: zie het originele examen] 4000 erosie (ha)

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 maximale waterdoorvoer (m3/sec) Legenda: linkeroever rechteroever

In figuur 3 zijn nogmaals de punten weergegeven die bij de erosie van de rechteroever horen. Deze punten liggen bij benadering op een rechte lijn. Deze lijn is in figuur 3 getekend. [figuur 3: zie het originele examen] 4000 erosie E (ha)

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 maximale waterdoorvoer W (m3/sec)

Je kunt van deze lijn de formule opstellen, waarbij je de erosie E (in ha) uitdrukt in de maximale waterdoorvoer W (in m3/sec).

Voor de bewoners langs de Jamuna zijn de gevolgen van erosie groot. Veel mensen die een stukje grond langs de rivier hadden, hebben moeten toezien hoe hun grond door de rivier verdween. Dit trof veel mensen, doordat Bangladesh dichtbevolkt is: de bevolkingsdichtheid was aan het begin van deze eeuw 975 inwoners per km2.

Een politicus wil een berekening hebben van het aantal bewoners dat in de periode 2001 tot en met 2005 het land waarop zij woonden zijn kwijtgeraakt als gevolg van erosie door de Jamuna. Gebruik bij deze berekening figuur 1 en neem aan dat in deze periode de bevolkingsdichtheid van 975 inwoners per km 2 ook geldt voor het gebied langs de Jamuna.

Een overboeking van een vliegtuig ontstaat doordat voor een vlucht meer tickets worden verkocht dan er zitplaatsen zijn. Sommige vliegmaatschappijen kiezen hiervoor, omdat telkens weer blijkt dat niet iedereen die een vliegticket heeft gekocht komt opdagen. Door meer tickets te verkopen willen de vliegmaatschappijen hun winst vergroten. Een vliegmaatschappij rekent er dus bij overboeking op dat sommige passagiers niet komen opdagen. Als vrijwel alle passagiers wel komen opdagen, zijn er te weinig zitplaatsen. In dat geval kunnen één of meer passagiers niet mee. De vliegmaatschappij lost dit op door aan deze passagiers een vergoeding te geven.

De vliegmaatschappij Aircrown vliegt in de Verenigde Staten dagelijks op de route Minneapolis

• Chicago. Het vliegtuig waarmee gevlogen wordt, heeft 198 stoelen. De tickets op deze vlucht kosten $ 78 (78 dollar). Een risicoanalist heeft twee situaties onderzocht: de situatie zonder overboeking en de situatie met overboeking van het vliegtuig.

Zonder overboeking van het vliegtuig

198 mensen kopen een ticket. Allen kunnen mee met het vliegtuig en wie niet komt opdagen is zijn geld kwijt.

Met overboeking van het vliegtuig Aircrown verkoopt geen 198, maar 210 tickets per vlucht. Iedere passagier die niet komt opdagen, is zijn geld kwijt. Iedere passagier die wel komt opdagen en voor wie er geen stoel meer is, krijgt zijn $ 78 niet terug, maar krijgt wel een vergoeding van $ 250. Dit zijn de enige extra kosten die Aircrown maakt door het verkopen van de extra tickets.

Aircrown heeft van 300 vluchten waarvan de 210 tickets allemaal verkocht zijn, bijgehouden hoeveel passagiers er zijn komen opdagen. Zie de tabel. Met deze gegevens kun je berekenen hoeveel dollar de vliegmaatschappij aan vergoedingen heeft moet betalen.

tabel aantal 195 of 196 197 198 199 200 201 202 203 204 passagiers minder of dat komt meer opdagen aantal 234 22 17 11 8 4 2 1 1 0 vluchten

De risicoanalist van de vliegmaatschappij wil met bovenstaande gegevens berekenen wat overboeking oplevert aan extra winst in vergelijking met de situatie zonder overboeking. Hij kijkt hiervoor naar de gemiddelde winst per stoel per vlucht. In de situatie zonder overboeking is de gemiddelde winst per stoel per vlucht gelijk aan $ 11,25. Volgens de risicoanalist is de gemiddelde winst per stoel per vlucht in de situatie met overboeking minstens 25% hoger dan in de situatie zonder overboeking.