Eindexamen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Kieviten, Slaaponderzoek bij de San, Bandbreedte, Nierfunctie.

Kort antwoord

Het centraal examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2 telt 18 vragen. De meeste vragen gaan over formules en grafieken (9), statistiek (5) en exponentiële groei (2). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.

Onderwerpen in dit examen

Onderwerp per vraag in het centraal examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2. Elke vraag is eenmalig door een AI-model bij een onderwerp ingedeeld; per vraag kan dat afwijken.
OnderwerpVragenAantal
Formules en grafieken10-189
Statistiek5-95
Exponentiële groei1-22
Lineaire verbanden3-42

Vergeleken met andere jaren

Vergeleken met de andere 17 examens wiskunde A havo sinds 2018: dit examen vroeg meer over formules en grafieken (50% van de vragen, gemiddeld 28%). Minder over exponentiële groei (11% van de vragen, gemiddeld 19%).

Opgaven en correctievoorschrift

De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.

Oefenen als leerling

Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.

Nakijken als docent

  1. Start gratis vanaf deze pagina

    Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.

  2. Laat de klas het examen maken

    Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.

  3. Geef de resultaten vrij

    Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.

ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.

Vragen en antwoorden

Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.

Kieviten

De kievit is een weidevogel. Het aantal kieviten in Nederland neemt af. Dit komt onder andere door intensivering van de landbouw en door uitbreiding van het stedelijk gebied. We maken in deze opgave onderscheid tussen de aantallen broedende en niet-broedende kieviten.

In de periode 1990-2010 nam het aantal broedende kieviten elk jaar met 3% af.

Vraag 1 4 punten

Bereken met hoeveel procent het aantal broedende kieviten in de periode 1990-2010 is afgenomen. Geef je antwoord in hele procenten.

Bekijk het antwoord

Opmerking Als gerekend wordt met 0,97 ⋅ 20 , voor deze vraag 1 scorepunt toekennen.

Na 2010 nam het aantal broedende kieviten in Nederland elk jaar met 5% af. Neem aan dat deze afname zo doorgaat.

Vraag 2 4 punten

Bereken in welk jaar het aantal broedende kieviten voor het eerst minder dan de helft zal zijn van het aantal in 2010.

Bekijk het antwoord
  • De vergelijking 0,95t = 0,5 (t in jaren, t = 0 in 2010) moet worden opgelost (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
  • De oplossing: t = 13,5… (jaar) (1)
  • Het antwoord: in 2024 (1)

In de figuur zie je het aantal kieviten voor een aantal jaren weergegeven. Hierbij gaat het om een ander deel van de populatie, namelijk de niet-broedende kieviten. In de figuur is ook de trendlijn getekend. Dit is de lijn die zo goed mogelijk bij de punten past.

figuur niet-broedende kieviten

140 000 aantal

120 000

100 000

80 000

60 000

40 000

20 000

0

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 jaar

Er is een jaar waarin het aantal niet-broedende kieviten het meest afwijkt van de trendlijn.

Vraag 3 4 punten

Bereken voor dat jaar hoeveel procent het aantal niet-broedende kieviten afwijkt van de trendlijn. Geef je antwoord in hele procenten.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Bij het aflezen is een marge van 2000 kieviten toegestaan.

Vanaf het jaar 2000 neemt het aantal niet-broedende kieviten ongeveer lineair af. Neem aan dat deze afname na het jaar 2015 op dezelfde wijze doorgaat.

Vraag 4 4 punten

Bereken met behulp van de bovenstaande gegevens het aantal niet-broedende kieviten in het jaar 2021. Geef je antwoord in een geheel aantal duizendtallen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Bij het aflezen is een marge van 2000 kieviten toegestaan.

Slaaponderzoek bij de San

In moderne samenlevingen hebben veel mensen een slaapprobleem. Sommige onderzoekers zijn van mening dat de aanwezigheid van allerlei soorten van kunstmatig licht daarbij een rol speelt. Over de slaapgewoonten van mensen die niet beschikken over kunstmatig licht is veel minder bekend. Daarom is er slaaponderzoek verricht bij verschillende bevolkingsgroepen in Afrika. In deze opgave gaan we in op dit onderzoek bij een van die bevolkingsgroepen, namelijk de San.

Verschillende leden van deze bevolkingsgroep kregen bij dit onderzoek een apparaatje om hun pols. Hiermee wordt bijgehouden op welke tijdstippen iemand naar bed gaat, in slaap valt, wakker wordt en opstaat. Het apparaatje geeft deze gegevens elke 24 uur weer in een zogenoemd actogram. In figuur 1 zie je een actogram van deelnemer San-19. figuur 1 actogram van San-19 tijd doorgebracht in bed

echte slaaptijd

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 tijdstip (uur)

Van deze deelnemer zijn alle actogrammen van de periode 15 januari tot en met 11 februari geanalyseerd. Er is onder andere gezocht naar een verband tussen het tijdstip van naar bed gaan Tin en het tijdstip van opstaan Tuit . Daartoe zijn Tin en Tuit weergegeven in een spreidingsdiagram. Zie figuur 2, die ook op de uitwerkbijlage staat. figuur 2 spreidingsdiagram actogrammen van San-19 9 Tuit (uur) 8

7

6

5

4

3

20 21 22 23 24=0 1 2 Tin (uur)

Vraag 5 2 punten

Geef in de figuur op de uitwerkbijlage aan welk punt in het spreidingsdiagram afkomstig is van het actogram van deelnemer San-19 in figuur 1.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Als in plaats van het correcte punt het punt meteen rechts van het juiste punt is gemarkeerd, voor deze vraag 1 scorepunt toekennen.

Van deelnemer San-19 is de spreidingsbreedte van Tin … keer zo groot als de spreidingsbreedte van Tuit .

Vraag 6 3 punten

Bereken welk getal er op de puntjes moet staan. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord in één decimaal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerkingen

  • De tijdstippen mogen afgelezen worden met een marge van 0,1 uur.
  • De beide spreidingsbreedtes mogen ook uitsluitend met behulp van opmeten zijn bepaald.

Op grond van figuur 2 trekken de onderzoekers de volgende twee conclusies: I Er lijkt bij deelnemer San-19 geen verband te zijn tussen Tin en Tuit . II De verdeling van de tijdstippen Tin lijkt bij deelnemer San-19 niet op een normale verdeling.

Vraag 7 4 punten

Geef bij elke conclusie een geldig argument dat de onderzoekers gebruikt zouden kunnen hebben ter onderbouwing van die conclusie.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Voor beide antwoordelementen mag voor een niet volledig juist antwoord

1 scorepunt worden toegekend.

Niet alle tijd die in bed wordt doorgebracht is echte slaaptijd. Vaak is er tijd nodig om in slaap te komen of blijft iemand ’s morgens nog even liggen na het wakker worden. Uit metingen bij deelnemer San-19 is gebleken dat hij om daadwerkelijk 8 uur te slapen, 9 uur in bed moet liggen.

Vraag 8 4 punten

Onderzoek in hoeveel van de gemeten nachten deelnemer San-19 zich aan de stelregel ‘minstens 8 uur slaap per nacht’ gehouden heeft. Gebruik de figuur op de uitwerkbijlage.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerkingen

  • Voor het antwoord 11 (of 10) (nachten), doordat het aantal punten boven of op de lijn door (21, 5) en (22, 6) is geteld, maximaal 3 scorepunten toekennen.
  • Als door middel van het berekenen van de slaaptijd bij een aantal verschillende punten tot het antwoord 3 (nachten) is gekomen, zonder dat dit voor alle punten is berekend of zonder een sluitend argument waarom het juiste antwoord 3 is, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.

Het onderzoek is eenmaal in de zomer en eenmaal in de winter uitgevoerd. Van elke deelnemer aan het onderzoek is zowel van de zomerperiode als van de winterperiode de gemiddelde echte slaaptijd berekend. Deze gemiddelde slaaptijden van alle deelnemers zijn weergegeven in twee boxplots. Zie figuur 3.

[figuur 3: zie het originele examen] zomer

winter

5 6 7 8 slaaptijd (uren)

De onderzoekers trekken op basis van dit onderzoek de volgende twee conclusies: I Bij de deelnemers aan het onderzoek is het verschil tussen de echte slaaptijd in de zomerperiode en de slaaptijd in de winterperiode groot. II Bij de deelnemers aan het onderzoek is de slaaptijd in de zomer gemiddeld 53 minuten korter dan de slaaptijd in de winter.

Vraag 9 4 punten

Leg bij elk van deze twee conclusies uit of je die wel of niet kunt trekken op grond van figuur 3. Gebruik waar mogelijk een vuistregel van het formuleblad.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerkingen

  • De argumentatie en de conclusie moeten met elkaar in overeenstemming zijn.
  • Voor beide antwoordelementen mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

Bandbreedte

Het internet wordt steeds intensiever gebruikt. Daarmee stijgt de vraag naar snellere internetverbindingen die grotere hoeveelheden data (digitale informatie) per tijdseenheid kunnen verwerken. De bedrijven die dit mogelijk moeten maken, de providers, proberen door middel van onderzoek de groeiende vraag naar sneller internet te voorspellen. Een van de onderzochte zaken is de downloadsnelheid1), aangegeven in Mbit/s (megabit per seconde).

Bij elke internetverbinding beperkt de bandbreedte de snelheid. De bandbreedte van een verbinding is de maximale hoeveelheid data die verwerkt kan worden per tijdseenheid. In figuur 1 is voor drie datahoeveelheden D (in Mbit) het verband weergegeven tussen de verwerkingstijd T (in seconden) en de bijbehorende bandbreedte B (in Mbit/s) bij het downloaden. Deze figuur staat vergroot afgedrukt op de uitwerkbijlage.

[figuur 1: zie het originele examen]

B 1000 (Mbit per seconde) 900 800 700 600 500 400

D = 1000 300 200

D = 500

100 D = 100

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T (seconden)

Bij een bandbreedte van 300 Mbit/s duurt het langer om 1000 Mbit te downloaden dan 500 Mbit.

Vraag 10 3 punten

Bepaal hoeveel seconden langer. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord in één decimaal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerkingen

  • Bij het aflezen van de verwerkingstijden is een marge van 0,1 seconde toegestaan.
  • Het verschil in verwerkingstijd bij B = 300 mag ook uitsluitend met behulp van opmeten zijn bepaald.

In figuur 1 zie je voor D = 1000 het omgekeerd evenredig verband tussen

B en T getekend.

Vraag 11 3 punten

Stel bij deze waarde van D een formule op waarbij je B uitdrukt in T. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je antwoord toe.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord
  • De formule is van de vorm B = (1)
  • Het invullen van een punt op de grafiek, bijvoorbeeld 500 = (1)
  • Het antwoord: B = (1)

noot 1 Downloaden is het binnenhalen van digitale informatie van een andere computer.

Er is ook onderzoek gedaan naar de te verwachten groei van de hoeveelheid data die een huishouden per dag uploadt 1). In figuur 2 zie je de voorspelde gemiddelde hoeveelheden van vier groepen huishoudens. De verticale as heeft een logaritmische schaal. Op de horizontale as is elk jaar in 12 maanden verdeeld. Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur 2 gemiddelde uploadhoeveelheid per huishouden per dag

1 000 000 Mbit per dag vo

100 000 ve

10 000

do

1000 ac

100

0

2014 2015 2016 2017 2018 2019 jaar vo = voorlopers (intensief internetgebruik) ve = vernieuwers (meer dan gemiddeld internetgebruik) do = doorsneegebruikers (normaal internetgebruik) ac = achterblijvers (gering internetgebruik)

In figuur 2 zie je dat de gemiddelde uploadhoeveelheid per huishouden per dag voor alle groepen huishoudens in de loop der jaren toeneemt. De achterblijvers hebben later dan de doorsneegebruikers een gemiddelde uploadhoeveelheid van 900 Mbit per huishouden per dag.

Vraag 12 3 punten

Bepaal hoeveel jaar en maanden dit later is. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Bij het aflezen is een marge van 1 maand toegestaan.

Een lezer van het onderzoeksrapport beweert: “Het jaarlijkse groeipercentage van de gemiddelde uploadhoeveelheid per huishouden per dag van de achterblijvers is lager dan dat van de vernieuwers.”

Vraag 13 5 punten

Onderzoek of deze lezer gelijk heeft. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Het aflezen van twee punten per grafiek over een interval van gelijke breedte (1p)
  • Het berekenen van de groeifactor voor de achterblijvers over dit interval (1p)
  • Het berekenen van de groeifactor voor de vernieuwers over dit interval (1p)
  • In de figuur lopen de lijnen van de achterblijvers en de vernieuwers evenwijdig (2p)
  • Bij evenwijdige lijnen op enkellogaritmisch papier is er sprake van gelijke (jaarlijkse) groeifactoren (of groeipercentages) (2p)

Opmerking In het derde antwoordalternatief mogen voor het eerste en tweede antwoordelement elk uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

Nierfunctie

Kreatinine is een afbraakproduct dat door de nieren uit het bloed wordt gefilterd. De hoeveelheid kreatinine in het bloed geeft aan hoe goed de nieren functioneren. Hoe kleiner de hoeveelheid kreatinine in het bloed, des te beter de nierfunctie.

Om een nauwkeuriger beeld van het functioneren van de nieren te krijgen, moet rekening worden gehouden met de lichaamsbouw en de leeftijd van de persoon die onderzocht wordt. In veel gevallen wordt hiervoor de GFR (Glomerular Filtration Rate, de filtratiesnelheid van de nieren in milliliter per minuut) berekend. Er bestaan hiervoor meerdere formules. Een daarvan is formule 1. Deze formule is voor mannen en vrouwen verschillend.

formule 1 mannen vrouwen (140

  • L) · G (140
  • L) · G GFR = GFR = 0,85 · 0,81 · K 0,81 · K

Hierin is L de leeftijd van de patiënt in jaren, G het lichaamsgewicht in kg en K de hoeveelheid kreatinine in micromol per liter.

Thomas en Julia zijn een tweeling van 45 jaar. Ze laten een onderzoek doen naar het functioneren van hun nieren. Thomas is een man, hij weegt 78 kg. Julia is een vrouw, ze weegt 69 kg. Bij beiden is de hoeveelheid kreatinine in het bloed 95 micromol per liter.

Vraag 14 3 punten

Bereken hoe groot het verschil is tussen de GFR van Thomas en de GFR van Julia. Geef je antwoord in een geheel aantal milliliter per minuut.

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

(140

  • 45) ⋅ 78

Nicolien is een vrouw. Ze laat ieder jaar de waarde van haar GFR bepalen. Neem aan dat haar lichaamsgewicht gelijk blijft. De waarden van haar GFR worden in de loop der jaren groter.

Vraag 15 3 punten

Beredeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, met behulp van formule 1 dat de nierfunctie van Nicolien beter wordt.

Bekijk het antwoord
  • L wordt groter, (dus de teller van de breuk wordt kleiner,) dus hierdoor zou de GFR kleiner worden (1)
  • De GFR wordt groter, dus dit betekent dat K kleiner wordt (1)
  • Bij een kleinere hoeveelheid kreatinine hoort een betere nierfunctie (1)

Voor mannen van 40 jaar en een gewicht van 80 kg is formule 1 te herleiden tot een formule van de vorm GFR = ... · K ... , waarbij er op de puntjes getallen staan.

Vraag 16 3 punten

Geef deze herleiding en geef daarbij de getallen die op de puntjes komen te staan in gehelen.

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

(140

  • 40) ⋅ 80

Een andere formule die vaak gebruikt wordt, is formule 2. Ook deze formule is voor mannen en vrouwen verschillend.

formule 2 mannen vrouwen GFR = 32 788 · K −1,154 · L−0,203 GFR = 24 329 · K −1,154 · L−0,203

Hierin is L de leeftijd van de patiënt in jaren en K de hoeveelheid kreatinine in micromol per liter.

Formule 2 geeft de GFR voor patiënten die een gewicht hebben dat past bij hun lengte. Het voordeel van deze formule is dat het lichaamsgewicht niet nodig is in de berekening.

Klaas is een man van 33 jaar met een gewicht dat past bij zijn lengte. De hoeveelheid kreatinine in zijn bloed is 95 micromol per liter. Formule 1 en formule 2 geven bij Klaas precies dezelfde uitkomst.

Vraag 17 4 punten

Bereken het gewicht van Klaas. Geef je antwoord in gehele kg.

Bekijk het antwoord
  • Voor Klaas geldt: GFR =32 788 ⋅ 95−1,154 ⋅ 33−0,203 (=84,17...) (1)
  • De vergelijking = 84,17... moet worden opgelost (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
  • Het antwoord: 61 (kg) (1)

Bij de GFR-waarden berekend met formule 2, is door de NVKC1) de volgende tabel opgesteld.

tabel GFR nierfunctie ≥ 60 normaal

30 - < 60 matige afname

15 - < 30 ernstige afname < 15 uitval nierfunctie

Bij Jiska, een vrouw van 56 jaar, wordt een normale nierfunctie geconstateerd. Haar GFR is berekend met formule 2.

Vraag 18 4 punten

Bereken hoeveel kreatinine Jiska maximaal in haar bloed heeft. Geef je antwoord in een geheel aantal micromol per liter.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage · Erratum op de opgaven

Bekijk het antwoord
  • De vergelijking 24 329 ⋅ K −1,154 ⋅ 56−0,203 = 60 moet worden opgelost (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
  • De oplossing is K = 89,6… (1)
  • Het antwoord: (maximaal) 89 (micromol per liter) (1)

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen havo Wiskunde A 2019, tijdvak 2. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2019/havo/documenten/cse-2/ha-1024-a-19-2-o

Andere examens wiskunde A havo

Hoe ToetsChecker wiskunde A per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde A toetsen nakijken met AI.

Veelgestelde vragen

Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2?

Het centraal examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2 telt 18 vragen. De meeste vragen gaan over formules en grafieken (9), statistiek (5) en exponentiële groei (2).

Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2?

Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.

Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde A havo 2019, tijdvak 2?

Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2019/havo/documenten/cse-2/ha-1024-a-19-2-c). Bij dit examen hoort ook een aanvulling op het correctievoorschrift.

Hoe oefen ik met het examen wiskunde A havo 2019, tijdvak 2 en krijg ik feedback?

Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.