Eindexamen wiskunde A havo 2024, tijdvak 1: vragen en antwoorden

Op de foto zie je een telefoon waarvan foto het batterijpercentage 73% is. Daarmee wordt bedoeld dat de batterij van de telefoon voor 73% is opgeladen. Wanneer het batterijpercentage van een telefoon lager is dan 100%, kan de telefoon worden opgeladen met behulp van een oplader. Zo’n oplader levert een bepaald vermogen in watt (W). Welk vermogen op een bepaald moment door de oplader wordt geleverd, hangt af van het type telefoon en het batterijpercentage dat de telefoon op dat moment heeft.

In de figuren 1 en 2 zie je de grafieken die horen bij twee types telefoons (PRO 5 en PRO 6). Op de horizontale as staat de tijd vanaf het moment dat de lege telefoon aan de oplader gelegd wordt.

figuur 1 PRO 5 figuur 2 PRO 6

Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de doorgetrokken grafiek en de bijbehorende linkeras zijn weggelaten. Het batterijpercentage van de PRO 5 neemt in de eerste 30 minuten lineair toe. Als het batterijpercentage op dezelfde manier zou blijven toenemen, dan is de totale oplaadtijd (van 0 tot 100%) korter dan nu af te lezen is uit figuur 1.

Djimon heeft een PRO 5 en Sasha heeft een PRO 6. Ze leggen hun telefoons op hetzelfde moment aan de oplader. Sasha’s telefoon had op dat moment een batterijpercentage van 10%. Beide telefoons bereiken na verloop van tijd op precies hetzelfde moment een batterijpercentage van 90%.

Het eerste stuk van de gestippelde grafieken in figuur 1 en figuur 2 is voor zowel de PRO 5 als de PRO 6 te beschrijven door een formule van de vorm B = c · t , waarbij B het batterijpercentage in procenten is, t de tijd in minuten en c een getal.

In de laatste twee onderdelen van deze opgave kijken we naar het vermogen dat de oplader levert.

In figuur 1 is te zien dat de oplader van de PRO 5 de eerste 15 minuten zijn maximale vermogen van 17 W levert. Na deze eerste 15 minuten daalt het geleverde vermogen bij benadering exponentieel. Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de gestippelde grafiek en de bijbehorende rechteras zijn weggelaten.

Als de telefoons van Sasha en Djimon beide vanaf een batterijpercentage van 0% 90 minuten aan de oplader worden gelegd, dan hoeft de oplader van Sasha minder vermogen te leveren dan die van Djimon.

In 2017 werd er gestaakt door leerkrachten in het basisonderwijs. Er was sprake van aanhoudende onvrede over onder meer het salaris en de werkdruk. In deze opgave wordt met ‘leerkrachten’ telkens ‘leerkrachten in het basisonderwijs’ bedoeld.

Leerkrachten verdienden in 2015 gemiddeld een bruto-uurloon van

26 euro. Daarmee verdienden zij 14 procent minder dan werknemers buiten het onderwijs met hetzelfde opleidingsniveau.

In een enquête in 2017 kregen leerkrachten onder meer de volgende drie vragen voorgelegd:

1 Moet u erg snel werken?

2 Moet u heel veel werk doen?

3 Moet u extra hard werken? Zij konden steeds antwoorden met: ‘nooit’, ‘soms’, ‘vaak’ of ‘altijd’.

Bij deze vragen horen drie variabelen die elk kwalitatief en ordinaal zijn.

In het basisonderwijs werken veel parttimers. In de rest van deze opgave kijken we naar de arbeidsduur per week van leerkrachten. Zowel in 2003 als in 2017 is hier onderzoek naar gedaan. We nemen aan dat er in 2003 en in 2017 een aselecte steekproef is getrokken uit alle leerkrachten die toen werkzaam waren. In de steekproeven is van elke leerkracht zijn of haar arbeidsduur in uur per week bekend. De steekproefresultaten zijn verwerkt in de figuur op de volgende pagina.

figuur Arbeidsduur per week

Uit de figuur kun je bijvoorbeeld afleiden dat in 2017 bij de mannen de steekproefproportie die voltijds werkt 0,6 is. Veronderstel dat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de bijbehorende populatieproportie precies [0,58; 0,62] is.

Op basis van de figuur zou je kunnen denken dat er in de steekproef van alle leerkrachten in 2017 een lager percentage voltijds werkt dan in de steekproef van alle leerkrachten in 2003.

We kijken in het laatste onderdeel van deze opgave naar het verschil in arbeidsduur voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken.

In een steekproef onder leerkrachten in 2021 was de gemiddelde arbeidsduur voor de mannen 31,2 uur per week met een standaardafwijking van 8,3. De vrouwen werkten gemiddeld 27,2 uur per week met een standaardafwijking van 7,6. Vaak wordt beweerd dat er een groot verschil bestaat in de arbeidsduur per week voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken. Bovenstaande gegevens over gemiddelden en standaardafwijkingen in combinatie met de vuistregels op het formuleblad leiden echter tot een andere conclusie, namelijk dat het verschil middelmatig is.

Tijdens het hardlopen gaat je hartslag omhoog. Maar als die heel hoog oploopt, werkt je hart niet meer optimaal. Daarom is het van belang om rekening te houden met je maximale hartslag. De maximale hartslag is onder andere afhankelijk van je leeftijd en je geslacht. In deze opgave kijken we naar de hartslag van volwassen mannen. Er zijn verschillende formules om de maximale hartslag te berekenen, bijvoorbeeld voor ongetrainde en getrainde mannen: M ongetraind = 220

• L (formule 1) M getraind = 205,8
• 0,685 · L (formule 2)

Hierin is M de maximale hartslag in aantal slagen per minuut en L de leeftijd in hele jaren.

De hartslag geeft je belangrijke informatie tijdens een training. Met behulp van een sporthorloge kun je je hartslag tijdens de training in de gaten houden. De tabel geeft voor diverse soorten trainingen advies over de hartslag die je tijdens die training zou moeten aanhouden.

tabel soort training percentage van de maximale hartslag warming-up / coolingdown 45

• 60 rustige duurtraining 60
• 70 intensieve duurtraining 70
• 80 maximale duurtraining 80
• 90 zware kortdurende

90

• 100 inspanningstraining

Hans is een getrainde man van 48 jaar, houdt een rustige duurtraining en volgt daarbij het advies uit de tabel op.

De formules voor de maximale hartslag voor ongetrainde en getrainde mannen verschillen. Je kunt je afvragen bij welke leeftijden ze meer dan

5 slagen per minuut verschillen.

De Engelse fysioloog Hill stelde dat de hardloopprestatie wordt bepaald door de maximale zuurstofopname Z van het lichaam, uitgedrukt in het aantal milliliters per minuut per kilogram lichaamsgewicht (ml/min per kg).

Een formule waarmee Z bij benadering kan worden bepaald is: M Z = 15 · (formule 3) R Hierin is M de maximale hartslag en R de hartslag in rust, beide in aantal slagen per minuut.

Een marathon is een hardloopwedstrijd over 42,195 km. De gemiddelde snelheid v waarmee een hardloper een marathon kan lopen, is afhankelijk van Z. Deze gemiddelde snelheid v (in km/uur) kan berekend worden met de volgende formule: Z v= (formule 4) 3,74 Als twee mannen dezelfde hartslag in rust hebben, dan kun je met behulp van de formules 3 en 4 beredeneren dat de persoon met een hogere maximale hartslag een snellere tijd kan lopen op de marathon dan de persoon met een lagere maximale hartslag.

Jan, die een marathon gaat lopen, heeft een maximale hartslag van

190 slagen per minuut en een hartslag in rust van 60 slagen per minuut.

Met behulp van de formules 3 en 4 is de volgende formule af te leiden voor de gemiddelde snelheid die een hardloper kan lopen op een marathon:

15 M v= (formule 5) 3, 74 R Vervolgens is er met behulp van de formules 2 en 5 een formule af te leiden die voor een getrainde man v uitdrukt in L en R. Deze formule is te schrijven in de vorm: a −b·L v= (formule 6) R Hierin zijn a en b getallen.

Zonnebrandcrème, in deze opgave kortweg crème, beschermt de huid tegen verbranding door de zon. De mate van bescherming die een crème biedt, wordt aangegeven met de zogenoemde beschermingsfactor, in deze opgave kortweg factor. Hoe hoger de factor van de crème, hoe beter de bescherming tegen de zon.

In een onderzoek werd de volgende stelling voorgelegd aan een aselecte steekproef uit de populatie ouders van jonge kinderen:

Als je je insmeert met een crème met factor 50, dan kun je niet meer verbranden.

De steekproef bevatte 410 mannen en 611 vrouwen. De onderzoeker was benieuwd in hoeverre er verschil zou zijn tussen de reacties van mannen en vrouwen. In de steekproef waren 74 mannen en 79 vrouwen het eens met de stelling.

Met behulp van het formuleblad kunnen we onderzoeken of het verschil tussen mannen en vrouwen wat betreft het wel of niet eens zijn met de stelling gering, middelmatig of groot is.

Zonlicht bevat uv A-straling die diep in de huid kan doordringen en daar schade kan aanrichten. Door crème te gebruiken wordt een deel van die straling geblokkeerd. Voor het percentage P van de uv A-straling dat geblokkeerd wordt, geldt: 1 P = 100 · 1

• , waarbij F de factor van de crème is. F In de figuur op de volgende pagina is de grafiek afgebeeld die bij de formule hoort.

figuur

In de figuur is te zien dat de bescherming tegen uv A-straling toeneemt als de waarde van F toeneemt.

In de richtlijnen van huidartsen worden vaak alleen de gewenste blokkeringspercentages (P) voor een crème genoemd. Het is dan handig om F te kunnen berekenen met een herleide vorm van de formule voor P.

Het is zo dat een crème met factor 30 twee keer zo lang tegen zonnebrand beschermt als een crème met factor 15.