Eindexamen wiskunde A havo 2021, tijdvak 3: vragen en antwoorden

Veel restaurants kopen niet-schoongemaakte vis in en maken deze vis zelf schoon. Kop, ingewanden, huid en graten worden dan verwijderd. Van vis die is ingekocht, komt dus in het restaurant maar een deel van het oorspronkelijke gewicht op tafel.

Op een website voor koks staat de onderstaande tabel. In de kolom vuilprijs kan de prijs van de niet-schoongemaakte vis (in euro per kg) ingevuld worden. Daarna wordt automatisch de schoonprijs, de prijs van de schoongemaakte vis (in euro per kg), uitgerekend door de vuilprijs te vermenigvuldigen met het vaste getal dat in de kolom ‘factor’ staat.

tabel Berekening portieprijs vis vissoort vuilprijs factor schoonprijs portie portieprijs (€/kg) (€/kg) (g) (€) forel 7,30 2,3 16,79 150 2,52 kabeljauw … 2,6 … makreel … 2,4 … schol … 2,6 … tong 20,00 2,3 46,00 … tonijn 12,00 2,3 27,60 … zalm … 1,6 …

In de tabel is bijvoorbeeld te zien dat schoongemaakte forel per kg 2,3 keer zo duur is als niet-schoongemaakte forel. In de kolom ‘portie’ kan vervolgens de grootte per portie (in gram), die men op het bord aan de gast wil uitserveren, aangepast worden, waarna automatisch de prijs per portie verschijnt in de laatste kolom ‘portieprijs’. De portieprijs is dus de schoonprijs per portie op het bord, zonder naar de overige kosten te kijken.

Sven is kok in een restaurant. Hij koopt een hele niet-schoongemaakte kabeljauw van 4 kg in voor € 55,00.

Sven wil in zijn restaurant zalm serveren in porties van 250 gram met een portieprijs van maximaal € 5,00. Hij heeft tijdens het inkopen bij de vishandel een hele niet-schoongemaakte zalm van 6 kg op het oog.

Sven zet als hoofdgerecht 300 gram tong op de menukaart voor € 23,00. De getoonde prijzen op de menukaart zijn altijd inclusief € 2,00 voor de bijgerechten, zoals groenten, rauwkost, aardappelvariaties en sauzen. Het verschil tussen wat de gast betaalt per gram vis en de kosten voor deze vis per gram voor het restaurant (de schoonprijs in euro per gram), noemen we de verdiensten per gram. Hierbij laten we alle overige kosten buiten beschouwing. Gebruik in deze vraag de schoonprijzen voor tong en tonijn uit de tabel.

g ·S Bij de tabel passen de volgende formules: S = a ·V en P = . 1000 Hierin is S de schoonprijs (in €/kg), a de factor, V de vuilprijs (in €/kg), g de portiegrootte (in gram) en P de portieprijs (in €).

Neem aan dat in de volgende vraag a en g constant zijn.

Als een vis is schoongemaakt, wordt deze in porties verdeeld. We noemen G het gewicht (in kg) van de niet-schoongemaakte vis. Dan geldt voor het aantal porties A:

1000 · G A= a·g

Hierin is a weer de factor en g weer de portiegrootte (in gram).

Sven wil per vissoort en per portiegrootte een formule van de vorm

G = .... · A , zodat hij snel bij een bepaald aantal porties kan uitrekenen hoeveel kg niet-schoongemaakte vis hij moet inkopen.

Langs de Nederlandse kust wordt dagelijks op verschillende plaatsen en op verschillende momenten de waterstand gemeten. Op het moment dat de waterstand op een bepaalde plaats niet verder meer toeneemt, is er op die plaats sprake van hoogwater. De waterstand die op dat moment gemeten wordt, noemen we de hoogwaterstand. Extreme hoogwaterstanden zijn een gevolg van bijvoorbeeld een zware storm. Men heeft gedurende een lange periode de hoogwaterstanden geregistreerd en daarbij onder andere gekeken naar het aantal keer dat de hoogwaterstand hoger is dan een bepaalde waterhoogte W (in meter boven NAP1)). Dit wordt de overschrijdingsfrequentie f genoemd; deze frequentie wordt uitgedrukt in aantal keer per 10 000 jaar. Er blijkt een exponentieel verband te bestaan tussen de overschrijdingsfrequentie f en de waterhoogte W.

figuur

In de figuur is voor de plaatsen Hoek van Holland (HvH) en Vlissingen (VL) de zogenaamde overschrijdingsfrequentielijn getekend. De overschrijdingsfrequentie f is uitgezet tegen de waterhoogte W. De verticale as heeft een logaritmische schaalverdeling. De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. Je kunt in de figuur aflezen dat in Hoek van Holland de hoogwaterstand gemiddeld 600 keer per 10 000 jaar hoger is dan 3 meter boven NAP en gemiddeld 1 keer per 10 000 jaar hoger is dan 5 meter boven NAP.

Met behulp van de overschrijdingsfrequentie kun je schatten hoeveel keer een bepaalde hoogwaterstand in de toekomst zal worden overschreden.

noot 1 NAP = Normaal Amsterdams Peil

Bij de rechte lijnen in de figuur horen formules van de vorm f = b · g W . De grafiek van Hoek van Holland gaat door de punten ( 3, 600 ) en ( 5, 1) . Hieruit volgt voor Hoek van Holland het volgende verband tussen de waterhoogte W en de overschrijdingsfrequentie f :

f = 8,8 ·106 · 0,041W

Hierin is de groeifactor in drie decimalen gegeven.

In de figuur kun je zien: hoe hoger de waterhoogte W, hoe lager de overschrijdingsfrequentie f. Om de overschrijdingsfrequentie te halveren, moet de waterhoogte dus hoger worden.

In de figuur is de overschrijdingsfrequentie van Vlissingen bij elke waterhoogte groter dan die van Hoek van Holland. Er is een waterhoogte waarbij de overschrijdingsfrequentie in Vlissingen

10 keer zo groot is als die in Hoek van Holland.

Veel scholen doen mee met jaarlijkse schooltevredenheidsonderzoeken. De tevredenheid ten aanzien van verschillende onderwerpen wordt gemeten door per onderwerp aan de hand van een vragenlijst een aantal vragen te stellen. De antwoorden worden per onderwerp omgezet in een score waarbij geldt: hoe hoger de score, hoe groter de tevredenheid.

Er zijn 265 scholen die zowel in 2017 als in 2018 aan een bepaald schooltevredenheidsonderzoek hebben meegedaan. Een van deze scholen is Het Gelder.

In 2018 hebben op Het Gelder 674 leerlingen de vragenlijst ingevuld. Zij vormden een aselecte en representatieve steekproef uit de gehele leerlingenpopulatie van Het Gelder. De school kreeg van deze leerlingen een gemiddelde score van 7,24 op het onderwerp ‘begeleiding’. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde score van alle leerlingen van Het Gelder op het onderwerp ‘begeleiding’ was [7,13; 7,35].

In tabel 1 vind je de schoolscore van Het Gelder, de gemiddelde score van de 265 scholen en de ranking van Het Gelder op een aantal onderwerpen voor zowel 2017 als 2018. De ranking van Het Gelder is de plaats van deze school in de complete lijst van alle 265 scholen, waarbij de scholen van hoge naar lage score zijn gerangschikt.

[tabel 1: zie het originele examen]

2017 2018 onderwerp Het alle 265 ranking Het alle 265 ranking Gelder scholen Gelder scholen begeleiding 7,25 7,11 59 7,24 7,04 50 didactisch 6,72 6,60 97 6,65 6,54 90 handelen pedagogisch 6,50 6,36 9 6,40 6,19 7 klimaat huiswerk 6,37 6,01 4 6,10 5,79 3 activiteiten 7,71 7,79 109 7,68 7,75 105

In tabel 1 kun je zien dat Het Gelder in 2018 op het onderwerp ‘huiswerk’ een schoolscore heeft van 6,10, terwijl de gemiddelde score van de

265 scholen slechts 5,79 is. Daarmee staat Het Gelder op plaats 3 bij het onderwerp ‘huiswerk’. Er zijn dus slechts 2 scholen met een nog grotere tevredenheid over het onderwerp ‘huiswerk’ dan Het Gelder.

De leerlingenraad van Het Gelder beweert op basis van tabel 1 dat de tevredenheid op alle in tabel 1 genoemde onderwerpen in 2018 kleiner is dan in 2017. De schoolleiding van Het Gelder beweert op basis van tabel 1 dat ze in 2018 juist op alle in tabel 1 genoemde onderwerpen een grotere schooltevredenheid ziet in vergelijking met 2017.

Als we van alle 265 schoolscores in 2018 op het onderwerp ‘activiteiten’ een verdeling zouden maken, dan zou dit geen normale verdeling opleveren. Dit kun je beredeneren aan de hand van de waarden van de schoolscore van Het Gelder, de gemiddelde score van de 265 scholen en de ranking van Het Gelder uit tabel 1.

Niet alleen bij leerlingen wordt de schooltevredenheid gemeten, maar ook bij de ouders. Zij krijgen een andere vragenlijst, maar deze lijst bevat ook een aantal stellingen die aan de leerlingen zijn voorgelegd. Een van deze stellingen is de stelling “Ik zou weer voor deze school kiezen”. In tabel 2 zie je voor deze stelling de resultaten uit 2018 van de

674 leerlingen en de 450 ouders van Het Gelder die de vragenlijst hebben ingevuld.

[tabel 2: zie het originele examen] stelling: “Ik zou weer voor deze school kiezen” eens oneens totaal leerlingen 569 105 674 ouders 369 81 450 totaal 938 186 1124

In tabel 3 staat een andere stelling. Je ziet in tabel 3 de resultaten van een andere school, Het Drentsch College. Deze stelling is in 2018 op die school door 700 leerlingen en 500 ouders beantwoord.

[tabel 3: zie het originele examen] stelling: “De schoolregels zijn duidelijk” leerlingen ouders zeer oneens 7 (1%) 10 (2%) oneens 7 (1%) 15 (3%) zowel eens als oneens 49 (7%) 60 (12%) eens 343 (49%) 225 (45%) zeer eens 294 (42%) 190 (38%)

Met behulp van het formuleblad kun je nagaan dat het verschil tussen de leerlingen en de ouders bij deze stelling gering is. Als er meer ouders hadden gekozen voor ‘zowel eens als oneens’ in plaats van ‘eens’, dan zou het verschil tussen de leerlingen en de ouders groter zijn.

Ieder jaar worden er cijfers gepubliceerd over de museumsector in Nederland. In deze opgave bekijken we een aantal van deze museumcijfers.

In tabel 1 staan voor 1 januari 2016 per provincie het aantal musea en het aantal inwoners.

[tabel 1: zie het originele examen] aantal musea aantal inwoners museumdichtheid Groningen 17 583 721 Friesland 26 646 040 4,02 Drenthe 12 488 629 2,46 Overijssel 26 1 144 280 2,27 Flevoland 4 404 068 0,99 Gelderland 52 2 035 351 2,55 Utrecht 28 1 273 613 2,20 Noord-Holland 91 2 784 854 3,27 Zuid-Holland 78 3 622 303 2,15 Zeeland 16 381 252 4,20 Noord-Brabant 41 2 498 749 1,64 Limburg 29 1 116 260 2,60 Nederland 420 16 979 120 2,47

In de laatste kolom van deze tabel staat de zogenoemde museumdichtheid per provincie. Dit is het aantal musea per 100 000 inwoners.

De museumdichtheid van de provincie Groningen ontbreekt in de tabel.

De provincie Flevoland heeft de laagste museumdichtheid van alle provincies.

De Museumkaart is een persoonsgebonden kaart die een jaar lang onbeperkt toegang geeft tot ongeveer 400 musea in heel Nederland. Het aantal Museumkaarthouders is in de periode 2011-2016 sterk gegroeid. In tabel 2 staan de aantallen Museumkaarthouders op 1 januari 2011 en op

1 januari 2016. Neem aan dat de groei in deze periode lineair was.

[tabel 2: zie het originele examen] datum 1-1-2011 1-1-2016 aantal Museumkaarthouders 805 594 1 299 650

In het jaar 2011 was de Museumkaart goed voor 4,2 miljoen museumbezoeken. Dat was 20% van het totaal aantal museumbezoeken in 2011. In het jaar 2016 was de Museumkaart goed voor 8,5 miljoen museumbezoeken. Dat was toen 26% van het totaal aantal museumbezoeken.

De totale inkomsten van de Nederlandse musea bestaan uit eigen inkomsten en inkomsten uit subsidies. De inkomsten uit subsidies daalden in de periode 2011-2016 tot een bedrag van 508 miljoen euro. Twee mogelijke manieren waarop deze daling zou kunnen zijn verlopen, zijn:

1 elk jaar met een vast bedrag

2 elk jaar met een vast percentage

In 2016 zijn de inkomsten uit subsidies S (508 miljoen euro) bijna gelijk aan de eigen inkomsten E (516 miljoen euro). Voor de periode na 2016 wordt voorspeld dat de inkomsten uit subsidies jaarlijks met 1% zullen afnemen. Ook wordt voorspeld dat de eigen inkomsten na 2016 jaarlijks met 40 miljoen euro zullen stijgen. Hierbij kunnen de volgende formules worden opgesteld:

S = 508 · 0,99t

E = 516 + 40 · t

Hierin zijn S en E in miljoenen euro en is t het aantal jaren na 2016. Er komt een moment waarop de inkomsten uit subsidies minder dan 25% van de totale inkomsten zullen vormen.