Eindexamen wiskunde A havo 2025, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Een schoenenzaak geeft korting op de wintercollectie. Er zijn twee kortingsacties (I en II) die met behulp van posters in de winkel onder de aandacht worden gebracht. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen] kortingsactie I kortingsactie II

Winter Winter SALE SALE (alleen op de wintercollectie)

(alleen op de wintercollectie) bij aankoop van

2 paar schoenen bij aankoop van elk paar schoenen 2e paar schoenen voor de halve prijs* 20% korting *geldig voor het goedkoopste paar

Twee vriendinnen, Famke en Milla, gaan schoenen kopen.

Famke koopt twee paar schoenen: een paar van 100 euro en een paar van 80 euro. Ze wil gebruikmaken van kortingsactie II.

Milla koopt ook twee paar schoenen: een paar van 100 euro en een paar van 40 euro.

We bekijken het kopen van twee paar schoenen uit de wintercollectie met korting. In figuur 2 staat langs de verticale as de prijs van het duurste paar en langs de horizontale as de prijs van het goedkoopste paar schoenen.

[figuur 2: zie het originele examen]

In de figuur zijn twee lijnen getekend waardoor er drie gebieden A, B en C zijn. Eén van deze drie gebieden geeft combinaties van prijzen van het duurste en goedkoopste paar schoenen weer, waarbij kortingsactie II voordeliger is dan kortingsactie I.

Ondanks de kortingsacties is de wintercollectie na enkele weken nog steeds niet helemaal verkocht. De schoenenzaak gaat daarom over tot een nieuwe kortingsactie waarin nog meer korting wordt gegeven: de ‘final wintersale’. Zie figuur 3. Deze final wintersale bestaat ook weer uit twee kortingsacties (I en II), waarover het in de rest van deze opgave gaat.

[figuur 3: zie het originele examen] kortingsactie I kortingsactie II

FINAL Winter

FINAL Winter SALE SALE (alleen op de wintercollectie)

(alleen op de wintercollectie) bij aankoop van

2 paar schoenen bij aankoop van elk paar schoenen 2e paar schoenen voor een kwart van de prijs* 30% korting *geldig voor het goedkoopste paar

De meeste klanten denken nu dat bij de aankoop van twee paar schoenen kortingsactie II altijd meer korting oplevert dan kortingsactie I. Dit is echter niet juist.

Stel dat het goedkoopste paar G euro kost en het duurste paar f keer zo duur is. Dan kunnen we de (totale) korting (in euro) berekenen voor beide kortingsacties met de onderstaande formules: Korting bij kortingsactie I: KI = 0,3 · G + 0,3 · f · G Korting bij kortingsactie II: K II = 0,75 · G Als bijvoorbeeld het goedkoopste paar schoenen 30 euro kost en het duurste paar drie keer zo duur is, dan is de totale korting bij kortingsactie I gelijk aan 0,3 · 30 + 0,3 · 3 · 30 = 36 euro.

Stel dat het goedkoopste paar 75 euro kost.

Met behulp van de formule voor KI kunnen we een formule opstellen voor het bedrag B (in euro) dat de klant uiteindelijk moet betalen bij kortingsactie I:

B = 0,7 · G + 0,7 · f · G

Voor de Vlinderstichting tellen vrijwilligers in heel Nederland vlinders vanaf maart tot en met september. Deze vlindertellingen vinden al meerdere jaren plaats. De vrijwilligers tellen dan alle vlinders die ze zien, één keer per week, op een vaste dag en op vaste routes van ongeveer een kilometer.

In 1989 telden vrijwilligers vlinders op 69 vaste routes. Sindsdien steeg het aantal vaste routes waarop vrijwilligers vlinders telden vrijwel lineair tot 394 routes in 2014.

In figuur 1 zie je per jaar het gemiddeld aantal getelde vlinders per route weergegeven voor de periode 1990-2014. Zo zie je dat in 1990 gemiddeld bijna 600 vlinders per route geteld zijn. Het gemiddelde over de hele periode 1990-2014 is met de horizontale lijn aangegeven. In 1990 is het gemiddeld aantal getelde vlinders per route lager dan het gemiddelde over de periode 1990-2014.

figuur 1 gemiddeld aantal getelde vlinders per route

Tijdens de vlindertelling zijn in een bepaald gebied drie vlindersoorten geteld. In figuur 2 zie je van deze drie vlindersoorten de getelde aantallen in 2020 (zwarte lijn) en de gemiddelde aantallen in de periode 1990-2019 (grijze lijn). De schaalverdeling op de assen is bij elk van de drie grafieken hetzelfde.

[figuur 2: zie het originele examen]

Bij figuur 2 zijn de volgende stellingen geformuleerd: I Deze vlindersoort wordt in 2020 tijdens een kortere periode waargenomen dan gemiddeld in de periode 1990-2019. II Deze vlindersoort is de meest waargenomen vlinder in 2020. III In het voorjaar van 2020 wordt deze vlindersoort vaker waargenomen dan gemiddeld in de periode 1990-2019.

Elke stelling is van toepassing op minstens een van de drie vlindersoorten in figuur 2.

In figuur 3 zie je hoe het aantal getelde argusvlinders in een bepaald gebied zich in de loop van de tijd ontwikkeld heeft. De aantallen zijn op een logaritmische schaal weergegeven. figuur 3 argusvlinders

De rechte lijn in figuur 3 is de trendlijn. Volgens deze trendlijn neemt het aantal argusvlinders af.

Bij de Vlinderstichting worden behalve de gegevens van vlinders ook de gegevens van andere insectensoorten verwerkt, zoals van libellen. In figuur 4 zie je hoe het met de verschillende soortgroepen gaat in 2019. figuur 4 mate van bedreiging per soortgroep 2019

In 2015 had de Wereldbank de ambitie om het percentage van de wereldbevolking dat in extreme armoede leeft, uiterlijk in het jaar 2030 onder de 3,0 te krijgen. De Wereldbank rapporteert dat in de periode 1990-2015 dit percentage bij benadering jaarlijks met 1 afnam. Neem aan dat deze constante daling zich na 2015 op dezelfde wijze voortzet.

We nemen aan dat de wereldbevolking in de periode van 1990-2015 exponentieel groeide en we maken gebruik van de gegevens van 1990 en 2015. Hieruit volgt de volgende formule, die een goede benadering voor de omvang van de wereldbevolking geeft:

B = 5, 28 ·1,013t Hierin is B de wereldbevolking in miljarden en t het aantal jaren na 1990.

noot 1 uitgaande van basisjaar 2011

De internationale armoedegrens is voor iedereen in de wereld gelijk, dus onafhankelijk van het land waarin iemand leeft. Onderzoekers bij de Wereldbank hebben voorgesteld om bij studies naar extreme armoede ook te kijken naar een nationale armoedegrens N (in US$ per persoon per dag2)). Deze grens verschilt per land en ligt hoger naarmate een land welvarender is. Hoe welvarend een land is, wordt uitgedrukt in de welvaartsscore W (in US$ per persoon per dag). In de figuur is van diverse landen het verband weergegeven tussen de nationale armoedegrens N en de welvaartsscore W. Beide assen in de figuur hebben een logaritmische schaalverdeling. Er is een lijn getekend die past bij de losse punten in het rechterdeel van de figuur.

figuur nationale armoedegrens en welvaartsscore

Een land heeft een welvaartsscore van 8.

noot 2 uitgedrukt in US$ ten opzichte van 2011 per persoon per dag (US$ p.p.p.d)

In de figuur is te zien dat de nationale armoedegrens nooit onder de internationale armoedegrens van 1,9 komt. In de figuur is een lijn getekend door de punten met W ≥ 10 . Bij deze lijn past de formule:

N = 0,88 · W 0,83 (formule 1) De onderzoekers gebruikten echter in hun rapport een andere formule: N = 1,00 + 0,5 · W (formule 2) In beide formules is N de nationale armoedegrens van een land en W de welvaartsscore van dat land, beide in US$ per persoon per dag. Beide formules zijn geldig voor W ≥ 10 .

Formule 2 geeft steeds een grotere uitkomst voor N dan formule 1. De onderzoekers konden formule 2 toch gebruiken, omdat de uitkomsten van de twee formules niet veel van elkaar verschillen voor bepaalde welvaartsscores W.

Het gebruik van de nationale armoedegrens in plaats van de internationale armoedegrens leidt tot een andere kijk op de omvang van het probleem van extreme armoede in de wereld.

Voor het aantal mensen dat in extreme armoede leeft, gelden bij benadering de volgende formules: Ai = (35,9

• 1,04 · t ) · 0,0528 ·1,013t

An = (44,2

• 0,51· t ) · 0,0528 ·1,013t Hierin is A i het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de internationale armoedegrens, A n het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de nationale armoedegrens en t het aantal jaren na 1990.

Er komt een moment waarop er geen mensen meer in extreme armoede leven, wanneer je uitgaat van de formule van A i .

In opdracht van De Nederlandsche Bank is in februari 2023 onderzocht hoe (volwassen) Nederlanders het uiterlijk van (euro)bankbiljetten waarderen. Het onderzoek is uitgevoerd door middel van telefonische interviews. Er zijn daarvoor 20 823 telefoonnummers willekeurig door een computer bedacht. Daarvan bleek 51% geen gehoor te geven, in gesprek te zijn of er was sprake van een niet bestaand nummer. De resterende telefoonnummers leverden 1003 deelnemers op die meegedaan hebben aan het telefonisch interview.

De 1003 deelnemers vormen op deze manier een steekproef uit de populatie Nederlanders.

Bij de deelnemers aan het telefonisch interview werd gevraagd naar een aantal kenmerken (statistische variabelen) zoals

• het geslacht,
• de leeftijd (in jaren),
• het aantal leden van het huishouden,
• het wel of niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten,
• de provincie waarin men woont.

In het onderzoek is ook gevraagd naar de waardering van de bankbiljetten. Zie de figuur voor het resultaat.

figuur

Je kunt met de gegevens in de figuur berekenen hoeveel procent van de deelnemers die wel hun waardering van de bankbiljetten hebben gegeven, de bankbiljetten ‘erg mooi’ of ‘tamelijk mooi’ vindt.

Ook in andere jaren is er onderzoek gedaan naar de waardering van bankbiljetten. In de rest van deze opgave gaan we ervan uit dat alle onderzoeken naar de waardering van de bankbiljetten representatief zijn voor Nederlanders.

Om de waardering van de bankbiljetten te meten, gebruikt men de volgende formule om het percentage ‘mooi’ ( Pmooi ) te berekenen:

In deze formule staat bijvoorbeeld aantal ‘erg mooi’ voor het aantal onderzoeksdeelnemers dat aangeeft de bankbiljetten ‘erg mooi’ te vinden.

In 2002 was Pmooi gelijk aan 65. Met de gegevens in de figuur over het onderzoek onder de 1003 deelnemers in 2023 en de formule kunnen we nu Pmooi in 2023 en in 2002 vergelijken.

Stel dat een aantal van de onderzoeksdeelnemers die geen waardering hebben gegeven voor de bankbiljetten, bij een heroverweging toch beslissen de bankbiljetten ‘tamelijk lelijk’ te vinden, en dat de overige deelnemers bij hun standpunt blijven. Dan zal de waardering van de bankbiljetten afnemen.

De 1003 deelnemers aan het onderzoek in 2023 zijn op basis van het kenmerk ‘wel of niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten’ onderverdeeld in de groepen A en B. Zie de tabel.

tabel percentage deelnemers groep A en B in 2023 groep A beroepsmatig omgaan met bankbiljetten 17,1% groep B niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten 82,9%

Er blijkt een verschil te bestaan tussen groep A en B: 50% van de deelnemers in groep A en 61% van de deelnemers in groep B verwacht dat er over vijf jaar minder met contant geld betaald zal worden.