Eindexamen wiskunde A havo 2025, tijdvak 1: vragen en antwoorden

FORMULEBLAD

Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen

2×2-kruistabel $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, met $\mathit{phi} = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$, waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn

• als $\mathit{phi} < -0,4$ of $\mathit{phi} > 0,4$, dan zeggen we “het verschil is groot”
• als $-0,4 \le \mathit{phi} \le -0,2$ of $0,2 < \mathit{phi} \le 0,4$, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”
• als $-0,2 \le \mathit{phi} \le 0,2$, dan zeggen we “het verschil is gering”

Maximaal verschil in cumulatief percentage (max $V_{cp}$) (met voor beide groepen een steekproefomvang $n > 100$)

• als $\max V_{cp} > 40$, dan zeggen we “het verschil is groot”
• als $20 < \max V_{cp} \le 40$, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”
• als $\max V_{cp} \le 20$, dan zeggen we “het verschil is gering”

Effectgrootte $E = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\frac{1}{2}(S_1 + S_2)}$, met $\bar{X}_1$ en $\bar{X}_2$ de steekproefgemiddelden ($\bar{X}_1 \ge \bar{X}_2$), $S_1$ en $S_2$ de steekproefstandaardafwijkingen

• als $E > 0,8$, dan zeggen we “het verschil is groot”
• als $0,4 < E \le 0,8$, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”
• als $E \le 0,4$, dan zeggen we “het verschil is gering”

Twee boxplots vergelijken

• als de boxen (noot 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”
• als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”
• in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”

noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.

Betrouwbaarheidsintervallen

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is $p \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is $\bar{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en $S$ de steekproefstandaardafwijking.

CO$_2$ heeft het grootste aandeel in de broeikasgassen die worden uitgestoten. In figuur 1 staat de wereldwijde uitstoot van CO$_2$ per jaar.

Neem aan dat de wereldwijde uitstoot van CO$_2$ in de periode van 1900 tot 1980 exponentieel is gegroeid.

In figuur 2 staat de top zes van landen met de grootste CO$_2$-uitstoot in 2017. In deze opgave beschouwen we de Europese Unie als één land.

In figuur 3 staat van dezelfde landen de uitstoot van overige broeikasgassen in 2017 weergegeven.

Om de totale uitstoot van broeikasgassen in 2017 van deze landen eerlijk te kunnen vergelijken, wordt er rekening gehouden met het aantal inwoners van elk land. Zo kun je van deze landen een ranglijst maken op basis van de gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per inwoner per land.

Om de ranglijst te kunnen maken, zijn de getallen in de onderstaande tabel nodig, maar voor China ontbreekt nog de gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per inwoner in 2017.

India brengt de uitstoot van broeikasgassen ook in verband met de omvang van het bruto nationaal product van het land. Neem aan dat voor India de volgende formules gelden:

U = 3{,}6 \cdot 1{,}02^{t}

B = 1{,}34 + 0{,}01 \cdot t

BNP = 2597 \cdot 1{,}06^{t}

Hierin is:

• $U$ de uitstoot van alle broeikasgassen (in miljard ton)
• $B$ het aantal inwoners (in miljarden)
• $BNP$ het bruto nationaal product (in miljard US-dollar)
• $t$ het geheel aantal jaren na 2017

De uitkomsten van de formules gelden telkens op het einde van het jaar. Volgens deze formules zal in India de gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per inwoner ($\frac{U}{B}$) in de jaren na 2017 steeds stijgen. Er komt dan een moment waarop $\frac{U}{B}$ voor het eerst verdubbeld zal zijn ten opzichte van de waarde in 2017.

De gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per US-dollar bruto nationaal product ($\frac{U}{BNP}$) laat een dalende trend zien na 2017.

De grutto is een weidevogel. Het vrouwtje maakt een nestkuil in het gras en legt daarin haar eieren. Daarna broeden het mannetje en het vrouwtje om beurten. De eieren komen na ongeveer 24 dagen uit.

Als de grutto's tijdens het broeden lastiggevallen worden door andere dieren, bijvoorbeeld een vos of een roofvogel, dan verlaat het broedpaar het nest. Dagelijks gaat hierdoor ongeveer 2% van de nesten verloren.

24 dagen na het uitkomen van het ei is een kuiken vliegvlug. Dit betekent dat de donsveren hebben plaatsgemaakt voor echte veren en dat het kuiken kan vliegen.

Voor het gewicht van kuikens die opgroeien, geldt in de periode vanaf het uitkomen van het ei tot het moment dat het kuiken vliegvlug is, bij benadering:

G = \frac{273}{1{,}08 + 12{,}5 \cdot 0{,}8^{d}}

(formule 1) Hierin is $d$ het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam en $G$ het gewicht van het kuiken in grammen.

We kijken nu naar de gewichtstoename per dag van de kuikens. Er geldt bij benadering:

T = 3000 - 0{,}6 G^{2} + 152{,}9 G

(formule 2) Hierin is $G$ het gewicht van het kuiken in grammen en $T$ de gewichtstoename per dag in milligrammen.

In grasland vinden de grutto's veel prooien, zoals insecten. Naarmate de grutto's ouder worden, kunnen ze steeds grotere prooien vangen. De grootte van een prooi wordt gegeven in milligram droge stof. Voor de maximale grootte van een prooi die grutto's kunnen eten, geldt de formule:

P = 1{,}309 + \frac{2{,}15}{1 + 0{,}74^{\,d-14{,}69}}

(formule 3) Hierin is $P$ de maximale grootte van de prooi in milligram droge stof en $d$ het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam.

De maximale grootte van de prooi die een grutto kan eten, nadert op den duur naar een bepaalde waarde.

In vochtig grasland leven meer insecten en andere prooien voor grutto's dan in droog grasland. Er is onderzoek gedaan naar de grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto's en naar de grondwaterstand in graslanden met een stabiel aantal grutto's. De grondwaterstand is de hoogte van het grondwater ten opzichte van het grasoppervlak. De resultaten zijn in onderstaande boxplots verwerkt.

Het gaat niet zo goed met de grutto. Sinds 1990 daalt het aantal grutto's exponentieel. Twee instanties deden een uitspraak over deze daling:

• Een onderzoeksinstituut gaf aan dat in de periode 1990-2019 het aantal grutto's elke 13 jaar halveerde.
• Vogelbescherming Nederland gaf aan dat het aantal grutto's met twee derde was afgenomen in de periode 1990-2019.

Steeds meer ouderen in Nederland blijven langer thuis wonen. Veel ouderen hebben daarbij wel vaak meer zorg nodig. Behalve professionele hulp hebben de meeste ouderen ook mantelzorgers die hen helpen. Mantelzorgers zijn mensen, meestal familieleden, die onbetaald zorg verlenen.

We bekijken de leeftijden van de mantelzorgers. In figuur 1 staan de resultaten uit een representatieve steekproef onder 2749 mantelzorgers van 18 jaar en ouder die zorg verlenen aan ouderen van 85 jaar en ouder.

Op basis van bovenstaande gegevens kun je voor het percentage 50-74-jarigen in de populatie mantelzorgers van 18 jaar en ouder een 95%-betrouwbaarheidsinterval opstellen.

We bekijken twee categorieën ouderen:

• jongere ouderen: 50 tot en met 74 jaar oud
• oudere ouderen: 85 jaar en ouder

Elke jongere oudere is een potentiële mantelzorger. Om het aantal potentiële mantelzorgers per oudere oudere in beeld te brengen, gebruikt men de maatstaf Oldest Old Support Ratio (OOSR); in formulevorm:

\mathrm{OOSR} = \frac{\text{aantal jongere ouderen}}{\text{aantal oudere ouderen}}

Sinds 1975 neemt de OOSR op landelijk niveau af. Ten opzichte van 1975 is het aantal jongere ouderen in 2015 met 25% toegenomen. In diezelfde periode is het aantal oudere ouderen tweeënhalf keer zo groot geworden.

Omdat mantelzorgers meestal in de buurt van oudere ouderen wonen, wordt de OOSR ook per gemeente berekend. We vergelijken de OOSR van twee gemeenten met behulp van bevolkingsdiagrammen. Een bevolkingsdiagram is een diagram waarin aan twee kanten de leeftijdsopbouw van de bevolking is weergegeven, links die van de mannen en rechts die van de vrouwen.

In figuur 2 zie je twee bevolkingsdiagrammen (I en II) waarvan er één bij gemeente A hoort en de ander bij gemeente B. Daarbij geldt dat de OOSR van gemeente A groter is dan die van gemeente B.

In figuur 3 zijn van alle gemeenten de OOSR's verwerkt in boxplots voor de jaren 2015 en 2020.

We kijken in figuur 3 naar de gemeenten die een OOSR van minder dan 16 hebben. Iemand beweert dat het aantal gemeenten met deze eigenschap in de periode 2015-2020 met een kwart van het totaal aantal gemeenten is toegenomen.

Als thuis wonen zelfs met hulp van professionals en mantelzorgers niet meer mogelijk is, kunnen mensen in een zorginstelling gaan wonen. Mantelzorgers krijgen dan minder zorgtaken, maar blijven noodzakelijk om bijvoorbeeld de financiën te regelen. Een zorginstelling wil weten wat de bewoners en hun mantelzorgers vinden van de zorg die de zorginstelling biedt. Daarom wordt er een representatieve steekproef genomen uit de bewoners en hun mantelzorgers. De deelnemers aan de steekproef gaven antwoord op de vraag:

In hoeverre bent u tevreden over de geboden zorg?

De uitkomsten van de steekproef staan in figuur 4.

Elke zomer zijn er heel wat Nederlandse wielrenners te vinden op bergwegen in Frankrijk. Deze hele opgave gaat over bergbeklimmingen met de fiets.

Er bestaat een model waarmee de zwaarte van een bergbeklimming met de fiets, berekend kan worden. Volgens dit model geldt:

I = \frac{h^{2}}{10\,000 \cdot w}

(formule 1) Hierin is:

• $I$ de zwaarte-index
• $h$ het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt van de beklimming (in meter)
• $w$ de weglengte die tijdens de beklimming wordt afgelegd (in kilometer)

Hoe groter de zwaarte-index, hoe zwaarder de bergbeklimming.

Voor de beklimming van de Franse berg Mont Ventoux geldt een zwaarte-index van 12,1. In Nederland bevindt zich de Vaalserberg. Bij de beklimming van deze berg vanuit het dorp Vaals leg je 2830 meter af om de top te bereiken. Het hoogteverschil bij deze beklimming is 143 meter.

De beklimming van de Franse berg Alpe d’Huez start vanuit het dorpje Bourg d’Oisans op een hoogte van 799 meter. Het eindpunt ligt op een hoogte van 1860 meter. De zwaarte-index van deze beklimming is 9,2.

Formule 1 kan worden herleid tot de vorm:

h = 100 \cdot \sqrt{w \cdot I}

(formule 2)

Iemand zoekt een bergbeklimming met een maximale weglengte van 4 km. De zwaarte-index moet tussen die van de Alpe d’Huez (9,2) en die van de Mont Ventoux (12,1) in liggen. Om zo’n bergbeklimming te vinden, geeft hij met behulp van formule 2 in een assenstelsel het gebied aan met de combinaties van w en h die leiden tot een dergelijke I. Op de uitwerkbijlage is het assenstelsel al getekend.

In Nederland regelt de Zorgverzekeringswet (Zvw) een verplichte basisverzekering voor alle inwoners. Deze basisverzekering dekt de zorguitgaven aan huisartsen en de zorguitgaven aan specialisten; de som hiervan noemen we de totale zorguitgaven. In 2018 bedroegen de totale zorguitgaven 19,637 miljard euro.

Uit onderzoek blijkt dat er een samenhang bestaat tussen de zorguitgaven aan huisartsen en de zorguitgaven aan specialisten. Als huisartsen meer mogelijkheden krijgen om hun patiënten te helpen, worden de zorguitgaven aan huisartsen hoger en de zorguitgaven aan specialisten lager. In deze opgave onderzoeken we of extra uitgaven aan huisartsenzorg leiden tot lagere totale zorguitgaven als we uitgaan van bepaalde gegevens en aannames.

We bekijken het jaar 2018 en gebruiken de volgende gegevens:

• Er waren 17 miljoen verzekerden die onder de Zvw vielen.
• Alle 17 miljoen verzekerden stonden ingeschreven bij een huisarts.
• 30% van alle verzekerden kreeg van de huisarts een verwijzing naar een specialist.
• In de tabel staan de gemiddelde zorguitgaven per verzekerde zonder of met verwijzing naar een specialist.

tabel: gemiddelde zorguitgaven per verzekerde zonder of met verwijzing naar een specialist (in euro’s)

We nemen aan dat in 2018 voor de verzekerden met een verwijzing naar een specialist, elke stijging van 10 euro op de gemiddelde zorguitgaven aan huisartsen leidt tot een daling van 0,5% van hun gemiddelde zorguitgaven aan specialisten. Dus als bijvoorbeeld de 250 euro in de tabel zou stijgen naar 260 euro, dan zou de 3500 euro in de tabel met 0,5% dalen naar 3482,50 euro.

Stel nu dat in 2018 de zorguitgaven aan huisartsen van verzekerden met een verwijzing naar een specialist in totaal 510 miljoen euro hoger zouden zijn.