Eindexamen wiskunde A havo 2024, tijdvak 2: vragen en antwoorden

In figuur 1 staat een bericht dat op internet te lezen was over de appel- en perenoogst in Nederland. Hierin wordt gesproken over de oogstraming van 2021; dit is de schatting van de oogstopbrengst (in miljoen kilo) van dat jaar.

[figuur 1: zie het originele examen]

Meer appels en minder peren verwacht dan vorig jaar Geplaatst op 27 juli 2021

Dit jaar zullen in Nederland naar verwachting meer appels worden geplukt dan vorig jaar, terwijl de totale perenoogst lager wordt geraamd dan vorig jaar. De Nederlandse oogstraming komt uit op 250 miljoen kilo appels en 325 miljoen kilo peren. Dit blijkt uit informatie van GroentenFruit Huis en NFO.

Er hangen meer appels aan de bomen dan in 2020. Hierdoor wordt de totale appeloogst (in miljoen kilo) 14 procent hoger ingeschat dan in 2020. Bij peren is het beeld juist andersom waardoor de perenoogst (in miljoen kilo) 19 procent lager wordt geraamd dan vorig jaar.

Neem aan dat een appel gemiddeld 150 gram weegt en een peer gemiddeld 225 gram. Op basis van de oogstraming kun je het geschatte aantal appels en het geschatte aantal peren in 2021 berekenen.

Op basis van het bericht kun je het totale gewicht berekenen dat in 2020 aan appels en peren samen is geoogst.

In figuur 2 zie je voor de periode 2000-2010 het totaalgewicht aan peren dat in Nederland is geoogst. Ook zie je de oppervlakte waarop deze peren werden geteeld. Neem aan dat deze oppervlakte gedurende een kalenderjaar gelijk blijft.

figuur 2 perenteelt

De perenteeltoppervlakte neemt in de periode van 2000 tot en met 2015 lineair toe. We kunnen voor die periode de perenteeltoppervlakte beschrijven met de volgende formule: Tp = 6000 + 200 t Hierin is Tp de perenteeltoppervlakte in hectare en t het aantal gehele jaren na 2000.

In de tabel staat de appelteeltoppervlakte in 2003 en 2015. tabel jaar 2003 2015 appelteeltoppervlakte Ta (in hectare) 10 296 7600

Ga ervan uit dat de appelteeltoppervlakte in de periode 2000-2015 lineair afneemt en dat deze oppervlakte gedurende een kalenderjaar steeds gelijk blijft.

Men verwachtte dat na 2015 de appelteeltoppervlakte exponentieel zou afnemen met 19,4% per vijf jaar.

Het is niet eenvoudig het totaal aantal vissen in een meer te tellen. Met behulp van de statistische techniek ‘vangen-hervangen’ is het mogelijk een schatting te doen van het aantal vissen. Deze techniek werkt als volgt:

Vang een aantal vissen uit het meer. Dit is de eerste steekproef. Geef deze vissen een merkteken. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Zet de gemerkte vissen vervolgens weer terug in het meer. Wacht een tijdje tot de gemerkte vissen zich over het hele meer verspreid hebben en vang nogmaals een aantal vissen uit het meer. Dit is de tweede steekproef. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

We kunnen nu veronderstellen dat de proportie gemerkte vissen in de tweede steekproef, gelijk is aan de proportie gemerkte vissen in het hele meer. In formulevorm: R M = (formule 1)

C N Hierbij is:

• R het aantal gemerkte vissen in de tweede steekproef;
• C het aantal gevangen vissen dat in de tweede steekproef;
• M het aantal gevangen, en dus gemerkte, vissen in de eerste steekproef;
• N het (geschatte) aantal vissen in het meer.

Biologen vangen in een meer bij een eerste steekproef 80 vissen, merken deze en zetten ze weer terug in het meer. Een paar dagen later wordt een tweede steekproef vissen gevangen. Hierin bevinden zich 6 gemerkte en

92 ongemerkte vissen.

We kunnen formule 1 herleiden tot een formule waarmee je eenvoudiger het aantal vissen N in het meer kunt berekenen: M ·C N= (formule 2) R Biologen Adri en Fiona vangen samen een eerste steekproef, waarna zij alle 30 vissen merken die ze samen hebben gevangen. De gemerkte vissen zetten ze terug in het meer. Om de betrouwbaarheid van de schatting van het aantal vissen in het meer te vergroten, vangt elk van hen 180 vissen als tweede steekproef. Eerst vangt Adri 180 vissen en hij telt het aantal gemerkte vissen. Daarna zet hij de 180 vissen terug in het meer. Vervolgens vangt Fiona 180 vissen. In de steekproef van Fiona is er één vis meer gemerkt dan in de steekproef van Adri. Beiden berekenen met formule 2 het aantal vissen in het meer. Fiona’s uitkomst blijkt 60 lager te zijn dan Adri’s uitkomst.

Er is een situatie mogelijk, waarbij je vissen in de eerste steekproef vangt en merkt, in een tweede steekproef weer vissen vangt, maar dat het niet lukt om met formule 1 of 2 het aantal vissen in het meer te schatten.

Formule 1 en 2 werken in de praktijk minder goed als R klein is. Daarom is er met computersimulaties gezocht naar een formule die betere schattingen geeft. Uit die computersimulaties bleek dat bij kleine waarden van R, onderstaande formule betere schattingen geeft voor het aantal vissen in het meer dan formule 2. ( M + 1) · (C + 1) N= −1 (formule 3) R +1 Het verschil in de schattingen van het aantal vissen volgens de formules 2 en 3 wordt groter naarmate er minder gemerkte vissen in een tweede steekproef worden gevangen. We bekijken de situatie waarbij in de eerste steekproef 120 vissen zijn gevangen en gemerkt en in een tweede steekproef 150 vissen zijn gevangen.

In 2018 verschenen er berichten in de media over de (toilet)hygiëne op Nederlandse basisscholen en middelbare scholen. De berichten waren gebaseerd op drie onderzoeken onder respectievelijk leraren die werkzaam waren binnen het basis- of voortgezet onderwijs, leerlingen tussen de 5 en 16 jaar oud en ouders met een kind tussen de 5 en 16 jaar oud. In totaal namen 630 leraren, 452 leerlingen en 626 ouders deel aan het onderzoek. We nemen aan dat elk van de drie steekproeven aselect en representatief was.

In de steekproef van de leerlingen gaven 194 van de 452 leerlingen aan regelmatig moeite te hebben met opletten tijdens de les, omdat zij op sommige momenten naar het toilet moeten, maar niet gaan.

Van de 452 leerlingen in de steekproef zaten er 302 op de basisschool en

150 op de middelbare school. Precies de helft van de basisschoolleerlingen gaat op school niet naar het toilet. Bij de middelbare scholieren is dit 60%. In deze steekproef is er dus een verschil tussen basisschoolleerlingen en middelbare scholieren in het deel dat op school niet naar het toilet gaat.

Veel ouders vermoeden dat een betere hygiëne op een school samengaat met een lager percentage ziekmeldingen onder de leerlingen van de betreffende school. Neem aan dat de hygiëne van een school uitgedrukt wordt in een score tussen 0 en 100 waarbij geldt: hoe hoger de score, hoe beter de hygiëne van de betreffende school.

De 630 leraren in de steekproef hebben gereageerd op de stelling of hun school over voldoende schoonmaakbudget beschikt om de hygiëne op school te kunnen waarborgen. Het resultaat staat in de tabel.

tabel stelling: het schoonmaakbudget is voldoende helemaal helemaal weet mee mee reactie mee neutraal mee niet oneens eens oneens eens percentage 27 11 27 12 19 4

In de media werd naar aanleiding van dit onderzoek geconcludeerd dat ruim een derde van de leraren aangeeft dat het schoonmaakbudget te laag is om de hygiëne te kunnen waarborgen. Kennelijk had men hiervoor de twee reactiemogelijkheden ‘helemaal mee oneens’ (11%) en ‘mee oneens’ (27%) samengevoegd.

Een journalist maakte bij de gegevens uit de tabel een grafiek van het cumulatieve percentage. Zie de figuur.

figuur

De manier waarop de reactiemogelijkheid ‘weet niet’ is opgenomen in de grafiek kan misleidend worden genoemd.

Een copyshop biedt printabonnementen aan. Voor een vast bedrag per maand kun je een vast aantal pagina’s afdrukken. Wil je meer pagina’s afdrukken in die maand, dan moet je daarvoor extra betalen. Het aantal extra pagina’s dat je afdrukt, wordt bijgehouden door de copyshop. In deze opgave bedoelen we met ‘(afdruk)kosten’ telkens de kosten voor de klant, niet voor de copyshop.

Er zijn verschillende abonnementen. Zie de tabel. tabel Print Print Print Naam abonnement Gratis Soms Regelmatig vast bedrag per maand €0 €3 €5 aantal gratis pagina’s

15 50 100 per maand €1 €1 €1 variabele kosten voor per 10 per 10 per 15 extra pagina’s pagina’s pagina’s pagina’s Bijvoorbeeld: als je het Print Soms-abonnement hebt en in een maand

51 pagina’s afdrukt, dan zijn de kosten voor die maand 3 + 1 = 4 euro. Ook 52 pagina’s kosten bij dit abonnement 4 euro.

Bij het afdrukken van 35 pagina’s in een maand zijn de kosten met een Print Gratis-abonnement lager dan met een Print Soms-abonnement.

Redouan en Jelle hebben beiden het Print Soms-abonnement voor een jaar afgesloten. In dat jaar drukken ze elk 600 pagina’s af. Het is mogelijk dat Redouan voor dat jaar een ander bedrag kwijt is dan Jelle.

De copyshop besluit dat je voortaan het afdrukken van de extra pagina’s niet meer per 10 of 15 pagina’s betaalt, maar per stuk. Voor elk abonnement kunnen de kosten per afgedrukte pagina worden berekend met behulp van de variabele kosten uit de onderste rij van de tabel. Zo zijn bijvoorbeeld deze kosten bij het Print Gratis-abonnement 0,10 euro per pagina.

In de figuur zijn voor deze nieuwe situatie de afdrukkosten in een bepaalde maand voor de abonnementen Print Soms en Print Regelmatig weergegeven, afhankelijk van het aantal afgedrukte pagina’s. Ook is de grafiek weergegeven van een nieuw abonnement dat de copyshop aanbiedt: Print Vaak.

figuur

Met behulp van de beschrijving van de nieuwe situatie en de figuur, zou je aan de tabel (van de oude situatie) een kolom kunnen toevoegen voor het abonnement Print Vaak.

In de rest van deze opgave bedoelen we met ‘afdrukkosten’ de afdrukkosten per maand voor de klant en met ‘pagina’s’ afgedrukte pagina’s per maand.

De afdrukkosten (in euro) voor de abonnementen Print Soms K S en Print Regelmatig KR worden gegeven door de volgende formules:

3 als 0 ≤ p < 50 KS = (formule 1) 0,1 p

• 2 als p ≥ 50

5 als 0 ≤ p < 100 KR = 1 (formule 2)

15 p

• 1 3 als p ≥ 100 2

Hierin is p het aantal pagina’s.

Voor kleine aantallen pagina’s zijn de afdrukkosten bij het abonnement Print Soms lager dan bij Print Regelmatig.

Voor de afdrukkosten per pagina GR voor het abonnement

Print Regelmatig geldt: KR GR = (formule 3) p Hierin is p het aantal pagina’s, waarbij p minstens 100 is.

Formule 3 kan in de volgende vorm worden geschreven: b GR = a

• (formule 4) p Hierin zijn a en b positieve getallen en p is het aantal pagina’s, waarbij minstens 100 is.

De afdrukkosten per pagina G kunnen voor elk abonnement, als het aantal pagina’s groter is dan het aantal gratis pagina’s, beschreven worden met een formule van de vorm: d

G =c− (formule 5) p Hierin zijn c en d positieve getallen.

Het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) publiceerde eind 2018 een artikel met prognoses over het aantal inwoners in Nederland waaruit bleek dat dit aantal minstens tot 2030 zal blijven toenemen. Ook beweerde het CBS in dit artikel dat in 2030 bijna een kwart van de bevolking 65-plus (65 jaar of ouder) is. Zie de figuur. De gegevens gelden telkens op

31 december van het jaar.

figuur

Op basis van gegevens van de jaren 2000 tot en met 2018 en prognoses van 2019 tot en met 2030 verwacht men dat de totale bevolking in de periode 2000-2030 nagenoeg lineair zal groeien, terwijl het aantal 65-plussers exponentieel zal groeien. In deze opgave gaan we ervan uit dat deze lineaire en exponentiële groei zich beide na 2030 voortzetten.