Eindexamen wiskunde A havo 2022, tijdvak 3: vragen en antwoorden

Veel wetenschappers waren het er tot voor kort over eens dat de groei van de wereldbevolking na 2050 tot stilstand zou komen. Het aantal mensen zou dan in 2050 ongeveer 9 miljard zijn. Uit nieuwe wetenschappelijke voorspellingen blijkt echter dat er in 2100 mogelijk al 12 miljard mensen op aarde zullen leven.

De wereldbevolking bestond in 1990 uit 5,3 miljard mensen en in 2011 uit

7 miljard mensen. Neem aan dat de wereldbevolking in deze periode exponentieel groeide.

In 2011 bestond de wereldbevolking uit 7 miljard mensen. In 2012 waren er 80 miljoen mensen bijgekomen. Er zijn verschillende scenario’s denkbaar voor de groei van de wereldbevolking na 2012. In een eerste scenario wordt aangenomen dat de groei vanaf 2011 lineair zal zijn.

Een tweede scenario gaat uit van groei, waarin het jaarlijkse groeipercentage tot 2050 langzaam afneemt. In dit scenario wordt een wereldbevolking van 8,9 miljard mensen in 2050 voorspeld. Zie de figuur.

figuur

Verder neemt men in dit scenario aan dat het jaarlijkse groeipercentage dat in de figuur is af te lezen voor het jaar 2050, in de jaren na 2050 blijft gelden.

Vrijwel alle scenario’s voorspellen een groei van de wereldbevolking. Hierdoor zal de voedselproductie omhoog moeten. Niet alleen omdat er meer mensen zullen zijn, maar ook omdat naar verwachting in snel groeiende economieën de gemiddelde voedselconsumptie per persoon zal toenemen. In de tabel zie je de gegevens van de totale wereldbevolking uit 2006 en een voorspelling voor 2050.

tabel wereldbevolking totale voedselconsumptie per dag

2006 6569 miljoen 18 000 miljard kilocalorieën

2050 9111 miljoen 28 000 miljard kilocalorieën

In de winter kan het, vooral als het hard waait, veel kouder aanvoelen dan het in werkelijkheid is. We zeggen dan dat de gevoelstemperatuur lager is dan de werkelijke temperatuur. Tot aan het einde van de vorige eeuw gebruikte het KNMI (Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut) de tabel van Steadman om de gevoelstemperatuur te bepalen. Zie de tabel.

tabel gevoelstemperatuur volgens Steadman afgerond op helen, in °C windsnelheid werkelijke temperatuur in in m/s

0 °C –5 °C –10 °C –15 °C –20 °C –25 °C km/u (afgerond)

10 2,8 –2 –7 –12 –17 –22 –28

15 4,2 –3 –9 –14 –19 –24 –30

20 5,6 –5 –10 –15 –21 –26 –32

25 6,9 –6 –12 –17 –23 –28 –34

30 8,3 –7 –13 –19 –24 –30 –36

35 9,7 –9 –15 –20 –26 –32 –38

40 11,1 –10 –16 –22 –28 –34 –40

45 12,5 –11 –17 –23 –29 –35 –41

50 13,9 –12 –19 –25 –31 –37 –43

55 15,3 –13 –20 –26 –32 –39 –45

60 16,7 –15 –21 –27 –34 –40 –47

65 18,1 –16 –22 –29 –35 –42 –48

70 19,4 –16 –23 –30 –37 –43 –50

75 20,8 –17 –24 –31 –38 –45 –52

80 22,2 –18 –25 –32 –39 –46 –53

In deze tabel kan de (afgeronde) gevoelstemperatuur worden afgelezen bij een gegeven windsnelheid en werkelijke temperatuur. Zo zie je bijvoorbeeld dat bij een windsnelheid van 30 km/u en een werkelijke temperatuur van –10 °C de gevoelstemperatuur –19 °C is.

Op 16 februari 1956 werd in het Groningse Uithuizermeeden een kouderecord gemeten. Het werd toen –26,8 °C bij een windsnelheid van

25 km/u. Met behulp van de tabel van Steadman kun je berekenen wat de bijbehorende gevoelstemperatuur was. Ga ervan uit dat voor elke windsnelheid het verband tussen de gevoelstemperatuur en de werkelijke temperatuur lineair is

Sinds het begin van deze eeuw wordt bij het KNMI de gevoelstemperatuur berekend met een formule die in Canada ontwikkeld is. Deze formule luidt:

G = 13,12 + 0,62 · T

• 13,96 · w0,16 + 0, 49 · T · w0,16 (Canadese formule) In deze formule is T de werkelijke temperatuur in °C, w de windsnelheid in m/s en G de gevoelstemperatuur in °C.

De tabel van Steadman geeft iets andere gevoelstemperaturen dan de Canadese formule. Vooral bij een hoge windsnelheid en een lage werkelijke temperatuur is er een behoorlijk groot verschil tussen de gevoelstemperatuur volgens de tabel en die volgens de formule.

Op het eiland Schiermonnikoog waait het in de wintermaanden behoorlijk. De windsnelheid is in deze maanden gemiddeld 6,5 m/s. Je kunt bij deze windsnelheid de Canadese formule herleiden tot de vorm G = a · T + b waarbij a en b getallen zijn.

Kanovaren is een Olympische sport. Een van de onderdelen is de vlakwatersprint kajakvaren. Een kajak is een soort kano. Zie de foto.

foto

Tijdens de Olympische Spelen in Peking in 2008 was de winnende tijd met een eenpersoonskajak op de 500 meter vlakwatersprint voor mannen

1 minuut en 37,252 seconden.

Er zijn ook races voor kajaks met 2 of 4 personen. In de tabel staan nog enkele winnende tijden (in seconden) die op de Olympische Spelen van

2008 in Peking met kajaks zijn behaald. Het aantal personen in de boot wordt aangeduid met N.

tabel N =1 N =2 N =4 mannen 1000 m 206,323 s 191,809 s 175,714 s vrouwen 500 m 110,673 s 101,308 s 92,231 s

Monique vraagt zich af of er een lineair verband bestaat tussen de winnende tijd van de vrouwen op de 500 m en het aantal personen in de kajak.

Meer personen leveren een grotere gezamenlijke kracht, maar maken de kajak ook zwaarder. Toch wordt er door meer personen sneller gevaren. Natuurkundig is te beredeneren dat er bij benadering het volgende verband bestaat: 1 V = c·N9 Hierin is V de gemiddelde snelheid in m/s, c een constant getal dat afhangt van het type kajak en de omstandigheden waarin gevaren wordt en N het aantal personen in de boot. Ook is bekend dat: afstand V= (met afstand in m en tijd in s) tijd We gaan ervan uit dat V tijdens een wedstrijd constant is. Je kunt dan met de drie winnende tijden in de tabel nagaan dat dit verband tussen V en N bij benadering klopt.

In de rest van deze opgave gaan we uit van een bepaald type kajak en bepaalde omstandigheden zodat geldt c = 4, 4 , dus: 1 V = 4, 4 · N 9

Deze formule is te herleiden tot een formule van de vorm N = a · V b .

Wanneer één persoon vaart met dit type kajak, geeft dat een bepaalde gemiddelde snelheid. Er zouden heel wat personen in ditzelfde type kajak nodig zijn om die gemiddelde snelheid met minstens 25% te verhogen.

Hoe zag het basisonderwijs er vroeger uit? Dat heeft de heer Uil onderzocht. In zijn proefschrift bespreekt hij het onderwijs in Zeeland en Staats-Vlaanderen1) in de periode 1578

• 1801. In die tijd gingen veel kinderen naar de Nederduitse school. Daar leerden ze eerst lezen. Pas wanneer een kind kon lezen, mocht het gaan leren schrijven. Als het kind ook dat kon, mocht het gaan leren rekenen. Voor elk vak apart moest lesgeld worden betaald door de ouders: één of meerdere stuivers. Het lesgeld was niet op alle scholen even hoog. Op geen enkele school bedroeg het lesgeld voor een vak meer dan

22 stuivers per maand. In de figuur zie je van 64 scholen in Zeeland en Staats-Vlaanderen de cumulatieve frequentiepolygonen van het lesgeld dat per maand betaald moest worden voor de drie vakken. Zo lees je bijvoorbeeld af dat op

60 scholen het lesgeld per maand voor lezen 6 stuivers of minder bedroeg. De figuur staat vergroot afgebeeld op de uitwerkbijlage.

figuur lesgeld per maand per vak

Er waren scholen bij waar niet alle drie de vakken werden gegeven.

noot 1 Zeeland en Staats-Vlaanderen waren delen van Nederland toen het nog een republiek was.

Het lesgeld per vak bedroeg op elke school een geheel aantal stuivers per maand. Niet alle mogelijke aantallen stuivers kwamen voor.

Helaas gingen niet alle kinderen naar school. In het jaar 1796 bleken in de stad Veere 221 van de 323 kinderen naar school te gaan. Als deze gegevens representatief zijn voor alle steden in Zeeland en Staats- Vlaanderen, dan kan hiermee het 95%-betrouwbaarheidsinterval bepaald worden van het percentage kinderen dat in 1796 in de steden van Zeeland en Staats-Vlaanderen naar school ging.

De heer Uil heeft ook een schatting gemaakt van het aantal volwassenen dat kon schrijven. Daartoe heeft hij verzoekschriften bekeken die in die tijd bij de Zeeuwse en Staats-Vlaamse overheden ingediend zijn. De indieners ervan ondertekenden die met een handtekening of met een merk, bijvoorbeeld een kruisje of een zelfbedacht teken. Wie een handtekening zette kon waarschijnlijk schrijven. Wie een merk zette, kon waarschijnlijk niet schrijven. In de tabel is te zien hoeveel handtekeningen en hoeveel merken er gezet zijn.

tabel

mannen vrouwen periode handtekening merk handtekening merk totaal

1609

• 1650 265 102 - - 367

1651

• 1700 556 85 4 2 647

1701

• 1750 530 80 103 83 796

1751

• 1800 1735 181 255 68 2239

Je kunt uit de gegevens afleiden dat er verschil is tussen mannen en vrouwen wat betreft het gebruik van een handtekening of een merk.

Waterdiepte werd vroeger vanaf een schip figuur 1 gemeten met behulp van een lang touw met een stuk lood aan het uiteinde. Het lood werd aan het touw het water ingelaten. Lood is zwaar, dus het zinkt. Wanneer het lood de bodem raakte, werd het touw uit het water gehaald. Daarna werd het deel gemeten dat onder water was geweest. Dit deed de schipper door telkens een deel van het touw tussen uitgestrekte handen te pakken. Zie figuur 1. Het aantal keer dat dat kon, was de diepte in vadem. Deze oude lengtemaat geeft dus de spanwijdte aan van de armen van een volwassen man. Omdat het een onnauwkeurige manier van meten is, is deze lengte later precies vastgelegd: 1 vadem is gelijk aan 6 voet. Een voet is even lang als

12 inch en een inch is 25,4 mm.

Noemen we de waterdiepte in meter M en de waterdiepte in vadem V, dan kunnen we V omrekenen naar M.

Tegenwoordig meet men waterdiepte met figuur 2 een echolood. Dit apparaat bestaat uit een zender en een ontvanger die onder het wateroppervlak bevestigd zijn aan een boot. Het echolood zendt een geluidsgolf naar de bodem en even later wordt de door de bodem teruggekaatste geluidsgolf, de echo, weer door het echolood ontvangen. Er geldt:

D = h + 750 t Hierin is:

• D de waterdiepte in meter, dus de afstand tussen het wateroppervlak en de bodem;
• t de echotijd tussen het zenden van de geluidsgolf en het ontvangen van de echo in seconden;
• h de afstand tussen de onderkant van het echolood en het wateroppervlak in meter. Zie figuur 2.

De snelheid waarmee geluid zich verplaatst in water kun je uit de formule afleiden. Yvonne zegt: “Die snelheid is de helft van 750, dus 375 meter per seconde.” Josje zegt: “Die snelheid is het dubbele van 750, dus 1500 meter per seconde.” Eén van beiden heeft gelijk.

Een groep duikers vaart de zee op en zoekt een zo diep mogelijke plek om veilig voor anker te gaan. De ankerketting is 78 m lang en voor de veiligheid moet deze lengte minstens anderhalf keer de waterdiepte zijn. De waterdiepte die het echolood op deze boot aangeeft, kan door een onnauwkeurige meting 3% afwijken van de werkelijke waterdiepte.