Eindexamen wiskunde A havo 2023, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Figuur 1 komt uit het rapport Volksgezondheid Toekomst Verkenning 2018 van het RIVM1). In deze figuur zijn voor Nederland het percentage van de mannen dat rookt en het percentage van de vrouwen dat rookt op 1 juli voor de jaren 1990 tot en met 2018 weergegeven.

figuur 1 Percentage rokers 18 jaar of ouder

Deze hele opgave gaat alleen over mannen en vrouwen van 18 jaar of ouder.

Op 1 juli 2015 telde Nederland 6 618 000 mannen en 6 853 000 vrouwen van 18 jaar of ouder.

Voor de periode vanaf 2018 heeft het RIVM een formule opgesteld om de ontwikkeling van het percentage van de mannen dat rookt te voorspellen. Men gaat uit van een lineaire afname volgens de volgende formule: Pm = −0,61t + 25,93 (formule 1)

Hierin is Pm het percentage van de mannen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 2018.

noot 1 RIVM = Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu

Het RIVM beweert dat volgens formule 1 het percentage van de mannen dat rookt voor de start van het jaar 2040 gehalveerd is ten opzichte van

1 juli 2018.

Figuur 2 is ontstaan door in figuur 1 de trendlijn te tekenen voor het percentage van de vrouwen dat rookt.

figuur 2 Percentage rokers 18 jaar of ouder

De percentages van de vrouwen die roken op 1 juli in 1995 en 2004 liggen precies op de trendlijn. Met deze gegevens kan een formule voor de trendlijn worden opgesteld:

Pv = −0,33 t + 30, 67 (formule 2)

Hierin is Pv het percentage van de vrouwen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 1990.

De percentages van de vrouwen die roken in 1995 en 2004 zijn gehele getallen.

Het percentage van de mannen dat rookt, kan vanaf 1 juli 2018 worden berekend met formule 1. Het percentage van de vrouwen dat rookt, kan vanaf 1 juli 1990 worden berekend met formule 2.

In de periode 2012-2014 is onderzocht wat kinderen en volwassenen aten en dronken. Deze voedselconsumptiepeiling is uitgevoerd bij personen die toen tussen de 1 en 79 jaar oud waren en in Nederland woonden. Om een goed beeld te krijgen van wat er gedurende het jaar gegeten en gedronken werd, is de gegevensverzameling gelijkmatig verdeeld over de dagen van het jaar.

In de voedselconsumptiepeiling werd onderscheid gemaakt tussen vast voedsel (inclusief zuivel) en dranken (zonder zuivel). Daarnaast werd ook gekeken of de voedingsmiddelen binnen of buiten de Schijf van Vijf vallen. De Schijf van Vijf is een hulpmiddel dat wordt gebruikt in de voorlichting over gezonde voeding en bevat vijf categorieën met aanbevolen voedingsmiddelen:

• dranken (zonder zuivel)
• brood, graanproducten en aardappelen
• smeer- en bereidingsvetten
• zuivel, noten, vis, peulvruchten, vlees en ei
• groente en fruit

Buiten de Schijf van Vijf vallen bijvoorbeeld koekjes, cola, chips, witbrood en vla, maar ook groenten met toegevoegd zout in pot of fruit op siroop in blik.

Op de volgende bladzijde staat op de verticale as van figuur 1 de gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag (in gram).

figuur 1 Gemiddelde voedselconsumptie per persoon

Figuur 1 kwam tot stand op basis van een steekproef van 2237 personen. Ga uit van de volgende aannames:

• de steekproef is aselect en representatief
• de populatie bestaat uit in Nederland wonende personen met een leeftijd tussen de 1 en 79 jaar
• de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is normaal verdeeld
• het bijbehorende 95%-betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde van de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is 25 gram breed We kunnen dan de standaardafwijking berekenen die bij de steekproef hoort.

De behoefte aan voedingsstoffen verschilt per persoon en is normaal verdeeld. Een voedingsnorm is de aanbevolen hoeveelheid voedingsstof die genoeg is voor bijna alle mensen. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Omdat figuur 2 gebaseerd is op de aanname dat de individuele behoefte normaal verdeeld is, kan er concreter worden aangegeven wat er bedoeld wordt met ‘bijna alle mensen’.

De Top 2000 is een jaarlijks terugkerend radioprogramma. Mensen kunnen vooraf stemmen op liedjes. De 2000 populairste liedjes worden achter elkaar gedraaid. Alleen de aantallen stemmen op het liedje op positie 1 en het liedje op positie 2000 worden openbaar gemaakt. Men vermoedt dat de volgende formule een goede schatting geeft voor het aantal stemmen op een liedje in de ranglijst:

E S= voor N = 1, 2, 3, …, 2000 (formule 1)

E ( N

• 1) 1+

2000 · L

Hierin is:

• N de positie in de ranglijst;
• S het geschatte aantal stemmen op het liedje dat op positie N in de ranglijst staat;
• E het werkelijke aantal stemmen op het liedje dat op positie 1 in de ranglijst staat;
• L het werkelijke aantal stemmen op het liedje dat op positie 2000 in de ranglijst staat.

Met formule 1 kun je een schatting maken van het aantal stemmen op het liedje dat op positie 1 in de ranglijst staat.

Het liedje met de meeste stemmen komt op positie 1, het liedje dat daarna de meeste stemmen heeft, komt op positie 2, enzovoort. Logischerwijs zou dus het geschatte aantal stemmen S op een liedje lager moeten worden naarmate N groter wordt.

Voor de Top 2000 van 2006 geldt:

• het liedje op positie 1 had 10 000 stemmen;
• het liedje op positie 2000 had 150 stemmen.

Hiermee kan formule 1 herleid worden tot:

300 000 S= (formule 2) N + 29

Over de Top 2000 van 2006 is meer bekend dan gebruikelijk: er zijn in totaal 1,5 miljoen stemmen uitgebracht.

Omdat het aantal stemmen per liedje normaal gesproken niet openbaar gemaakt wordt, vraagt men zich af wat men bij de Top 2000 doet als een liedje precies evenveel stemmen krijgt als een ander liedje. Als we met formule 2 het geschatte aantal stemmen per liedje berekenen en dat vervolgens afronden op een geheel getal, dan kan het zijn dat er na afronding liedjes zijn die evenveel stemmen hebben gekregen.

In de onderstaande figuur staat voor Nederland het aantal geregistreerde misdrijven per duizend inwoners per jaar. Er is ook een uitsplitsing gemaakt naar verschillende types misdrijven, waaronder vermogensmisdrijven en geweldsmisdrijven.

figuur

Van 1960 tot 1985 steeg het totaal aantal geregistreerde misdrijven van

13 naar 81 per duizend inwoners. Neem aan dat deze stijging exponentieel verliep.

In 1985 was bijna 80% van het totaal aantal geregistreerde misdrijven een vermogensmisdrijf.

Sinds het begin van deze eeuw daalt het totaal aantal geregistreerde misdrijven, met name door een daling van het aantal geregistreerde vermogensmisdrijven. Een voorbeeld van een vermogensmisdrijf is een woninginbraak. Iemand vermoedt dat er in het begin van deze eeuw bij een kleiner percentage van de woningen werd ingebroken dan aan het eind van de vorige eeuw. Om hier zicht op te krijgen is in 2004 in een aselecte steekproef uit de woningen gekeken bij welk percentage er in dat jaar was ingebroken. De resultaten kunnen worden vergeleken met die van een aselecte steekproef uit de woningen in 1998. Zie de tabel.

tabel

1998 2004

aantal woningen 3437 1456

percentage woningen waarbij is ingebroken 2,15 1,58

De tabel laat zien dat het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken in 2004 lager is dan in 1998. We gaan deze gegevens op twee manieren met elkaar vergelijken.

In 2004 is het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken lager dan in 1998.

In deze opgave bekijken we een wiskundig model van een sprint over

100 meter hardlopen. In dit model gaan we uit van 2 fases:

• fase I: zo snel mogelijk op topsnelheid komen;
• fase II: de topsnelheid vasthouden tot het einde van de sprint. Van een bepaalde topatleet staat in figuur 1 de afgelegde afstand A in meter uitgezet tegen de tijd t in seconden.

[figuur 1: zie het originele examen]

Deze atleet legt zijn sprint in 9,9 seconden af. Na 4,0 seconden bereikt hij zijn topsnelheid; dan heeft hij al 31 meter afgelegd.

Je kunt met deze gegevens zijn topsnelheid berekenen; deze is afgerond 11,7 m/s.

Het eerste deel van de grafiek is (toenemend) stijgend. Je kunt je afvragen of er sprake is van exponentiële groei. In de tabel staan een aantal waarden uit fase I van die sprint.

tabel t (s) 1,2 1,9 3,0

A (m) 5 10 20

Het verband tussen de aflegde afstand A in meter en de tijd t in seconden in fase I kan voor de atleet benaderd worden door de formule:

A = 3,8 · t1,5

De atleet moet in het begin nog op snelheid komen. Hij zal daarom ook langer doen over de eerste 25 meter dan over de laatste 25 meter van de

100 meter. Bij de laatste 25 meter is hij immers al op topsnelheid.

Er is voor fase I ook een formule die de snelheid v in m/s vrij goed beschrijft. Deze is van de vorm: v=k· t

In de vragen hiervoor is de hele sprint van een topatleet over 100 meter beschreven. In figuur 2 staan vier globale grafieken (a, b, c, d), waarbij de snelheid v uitgezet is tegen de tijd t.

[figuur 2: zie het originele examen]

Er is één grafiek die het best past bij de sprint van de topatleet.

Wanneer artsen een nieuwe behandeling testen op patiënten, is het mogelijk dat er tijdens het onderzoek een aantal patiënten afhaakt (de afhakers). Dit komt bijvoorbeeld omdat ze de behandeling te belastend vinden. Het succespercentage P van een nieuwe behandeling kan op twee verschillende manieren berekend worden:

exclusief afhakers inclusief afhakers Hierbij worden patiënten Hierbij worden patiënten die afhaken niet meegeteld. die afhaken wel meegeteld. In formulevorm: In formulevorm:

G G Pexclusief = ·100 Pinclusief = ·100 G+N G+N +A

Hierin geldt:

• G is het aantal patiënten dat de behandeling volhoudt en geneest
• N is het aantal patiënten dat de behandeling volhoudt en niet geneest
• A is het aantal patiënten dat afhaakt.

Het wel of niet meetellen van het aantal patiënten dat afhaakt in het testresultaat zal tot verschillende succespercentages leiden, zie figuur.

figuur

In het voorbeeld in de figuur is het absolute verschil tussen de twee succespercentages gelijk aan 25.

Het wel of niet meetellen van het aantal patiënten dat afhaakt bij de berekening van het succespercentage kan tot forse verschillen leiden. Men heeft afgesproken dat het succespercentage alleen berekend wordt als het percentage patiënten dat afhaakt niet hoger is dan 20%.

We kijken nu naar een onderzoek waarbij het percentage patiënten dat afhaakt gelijk was aan het maximale percentage van 20%. Bij dit onderzoek waren er uiteindelijk 240 patiënten die de behandeling hadden volgehouden en was het absolute verschil tussen de twee succespercentages 16. Er kan nu onderzocht worden wat het aantal patiënten moet zijn geweest dat de behandeling heeft volgehouden, maar niet is genezen.