Eindexamen wiskunde A havo 2026, tijdvak 1: vragen en antwoorden

In de perioden 1990-2000, 2000-2010 en 2010-2020 is er respectievelijk 78,4; 51,7 en 47,4 (miljoen hectare) bos verdwenen

In de gehele periode 1990-2020 is er in totaal 177,5 (miljoen hectare) bos verdwenen

In 2020 is er dan (4240 − 177,5 = 4062,5 dus) 4063 (miljoen hectare) bos

In de perioden 1990-2000, 2000-2010 en 2010-2020 zijn de jaarlijkse groeifactoren respectievelijk 0,9981; 0,9987 en 0,9988

0{,}9981^{10} \cdot 0{,}9987^{10} \cdot 0{,}9988^{10} \;(\approx 0{,}9569\ldots)

In 2020 is er dan (4240 · 0,9569... ≈ 4057,3... dus) 4057 (miljoen hectare) bos

De groeifactor per 15 jaar is 1,03

De groeifactor per jaar is $1{,}03^{\frac{1}{15}}$

Dit is 1,00197...

Het antwoord: 0,2(%)

Opmerking: Als gerekend wordt met 1,03:15, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.

De coördinaten van de twee punten (1, 75) en (8, 60)

Het eerste getal is (60 − 75)/(8 − 1) = −2,14... dus −2,1

Het tweede getal is 75 + 2,14... · 1 = 77,14... dus 77,1

Opmerking: De waarde bij 2004 mag afgelezen worden met een marge van 1.

De toename per 4 jaar is 2200 − 1970 (= 230)

De toename per jaar is dus $230 : 4$ (= 57,5)

Er moeten na 1 januari 2019 meer dan (3000 − 2200 =) 800 fitnesscentra bij komen

Dit duurt $800 : 57{,}5 = 13{,}91\ldots$ (jaar), dus (op 1 januari) 2033

Bij fitnesscentra met 0 tot 3 werknemers en bij fitnesscentra met 5 tot 10 werknemers is het aantal klanten gedaald; die hebben geen toename van het aantal klanten

Bij fitnesscentra met 3 tot 5 werknemers is de procentuele toename van het aantal klanten $\frac{226 - 214}{214} \cdot 100 = 5{,}\ldots\%$

Bij fitnesscentra met 10 of meer werknemers is dit $\frac{1720 - 1241}{1241} \cdot 100 = 38{,}\ldots\%$, dus de bewering is juist

of

Een antwoord als: Bij fitnesscentra met 0 tot 3 werknemers en bij fitnesscentra met 5 tot 10 werknemers is het aantal klanten gedaald; die hebben geen toename van het aantal klanten

Bij fitnesscentra met 3 tot 5 werknemers: van 214 naar 226 is een toename van 12 en dat is minder dan 10% (van 214)

Bij fitnesscentra met 10 of meer werknemers: van 1241 naar 1720 is een toename van bijna 500 en dat is meer dan 10% (van 1241), dus de bewering is juist

Formule 1 kan voldoen aan eis 1 door voor b de waarde 2,586 te kiezen

Formule 1 kan voldoen aan eis 2 indien g groter is dan 1

Formule 1 kan niet voldoen aan eis 3, want om N te laten toenemen moet g groter zijn dan 1, maar dan groeit N bij een formule van deze vorm ook onbeperkt door

t = 0 invullen in formule 2 geeft afgerond N = 2,586 (dus formule 2 voldoet aan eis 1)

In formule 2 wordt de noemer steeds kleiner als t toeneemt (omdat 0,92^t afneemt)

Dan neemt N steeds toe (omdat er een constant getal gedeeld wordt door een steeds kleiner wordend getal, dus formule 2 voldoet aan eis 2)

(Voor grote waarden van t nadert 0,92^t naar 0, dus) op den duur bereikt het aantal klanten volgens formule 2 net niet de waarde 3 ($\frac{3}{1 + 0{,}16 \cdot 0} = 3$, dus formule 2 voldoet aan eis 3)

Opmerking: Als in plaats van het tweede en derde antwoordelement een schets met toelichting gebruikt wordt, voor deze vraag geen scorepunten in mindering brengen.

5% minder dan de waarde van 3 (miljoen) is 0,95 · 3 (= 2,85) (miljoen)

\frac{3}{1 + 0{,}16 \cdot 0{,}92^{t}} = 2{,}85

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

De oplossing t = 13,3...

Het antwoord: (13,3... jaar na 1 januari 2019, dus in) 2032

Een antwoord waaruit het inzicht blijkt dat het in de tabel om de populatie gaat en niet om een steekproef (en dat daarom de percentages exact zijn)

Opmerking: Voor deze vraag mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

In 2019 zijn 10 184 kandidaten met het profiel NT geslaagd en 5045 kandidaten met het profiel CM

Een correcte kruistabel, bijvoorbeeld:

\phi = \frac{10184 \cdot 681 - 958 \cdot 5045}{\sqrt{(10184 + 958)(10184 + 5045)(958 + 681)(5045 + 681)}}

φ ≈ 0,052...; (dit ligt tussen −0,2 en 0,2, dus) het verschil is gering

Opmerking: Als in het derde antwoordelement uitsluitend gerekend wordt met slaagpercentages, voor deze vraag maximaal 1 scorepunt toekennen.

Voorbeeld van een juist antwoord: De vorm van de verdeling van de SE-cijfers in 2020 is niet symmetrisch (dus kan deze verdeling niet normaal verdeeld zijn)

Opmerking: Voor deze vraag mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

In 2020 komen de lagere cijfers (tussen de 4,8 en 5,7) minder vaak voor dan in 2019; daarentegen komen de iets hogere cijfers (tussen de 5,7 en 6,4) vaker voor dan in 2019. De andere cijfers komen vrijwel even vaak voor. Daarom zal het gemiddelde in 2020 hoger zijn dan in 2019

De verdeling van 2020 is smaller dan de verdeling van 2019. Daarom zal de standaardafwijking in 2020 kleiner zijn dan in 2019

Mogelijkheid II is dus de juiste

Opmerking: Als mogelijkheid II is gekozen zonder goede argumenten, voor deze vraag geen scorepunten toekennen.

Opmerking: Als mogelijkheid II is gekozen op basis van één goed argument, voor deze vraag 1 scorepunt toekennen.

34% heeft een SE-cijfer tussen 5,7 en 6,2 (vuistregels normale verdeling)

34% + 13,5% heeft een SE-cijfer tussen 6,2 en 7,2 (vuistregels normale verdeling)

34 + 34 + 13,5 = 81,5(%) heeft een SE-cijfer tussen 5,7 en 7,2

of

16% heeft een SE-cijfer lager dan 5,7 (vuistregels normale verdeling)

2,5% heeft een SE-cijfer hoger dan 7,2 (vuistregels normale verdeling)

100 − 16 − 2,5 = 81,5(%) heeft een SE-cijfer tussen 5,7 en 7,2

De waarden voor 1960 en 1992 op de lijn aflezen: 100 respectievelijk 10

De groeifactor per 32 jaar is $\frac{10}{100}$

De groeifactor per jaar is $\left(\frac{10}{100}\right)^{\frac{1}{32}}$

Dit is 0,9305...

Het antwoord: 6,9(%)

Opmerking: Als gerekend wordt met $\frac{10}{100} : 32$, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.

Opmerking: Als gerekend wordt met $(10 - 100)^{\frac{1}{32}}$, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.

De vergelijking $148 = 0{,}0008 \cdot L^{3{,}2049}$ moet worden opgelost

Beschrijven hoe de oplossing L = 44,00... gevonden wordt

Dit geeft de vergelijking $44{,}00\ldots = 7{,}3 + 3 \cdot t$

De oplossing van deze vergelijking is t = 12,23... (jaar)

De palingen brengen 147 maanden (of 12 jaar en 3 maanden) in Nederland door

De lengte neemt met een factor 1,5 toe

$L^{3}$ neemt met een factor $1{,}5^{3}$ (= 3,375) toe

(Om C gelijk te houden) moet G (ook) met een factor 3,375 toenemen

Het antwoord: 237,5(%)

Opmerking: Als met een getallenvoorbeeld is gewerkt, voor deze vraag geen scorepunten in mindering brengen.

C = \frac{100 \cdot 0{,}0008 \cdot L^{3{,}2049}}{L^{3}}

Het inzicht dat $\frac{L^{3{,}2049}}{L^{3}} = L^{3{,}2049 - 3}$

Het antwoord: 0,2049

Opmerkingen: Als met een getallenvoorbeeld wordt gerekend, voor deze vraag geen scorepunten in mindering brengen.

De vergelijking $0{,}08 \cdot L^{0{,}2} = 0{,}191$ moet worden opgelost

Beschrijven hoe de oplossing L = 77,5...(cm) gevonden kan worden

v = 0,5 · 77,5... (≈ 38,7... cm/s)

De reis (over 6000 km = 600 000 000 cm) duurt $\frac{600\,000\,000}{38{,}7\ldots} (= 15\,469\,074{,}9\ldots)$ (seconden)

Het antwoord: $\left(\frac{15\,469\,074{,}9\ldots}{60 \cdot 60 \cdot 24} = 179{,}0\ldots\right)$ 179 (dagen)

Opmerking: Als in plaats van 0,2 met een nauwkeurigere waarde wordt gerekend, leidend tot een daarbij passend antwoord, voor deze vraag geen scorepunten in mindering brengen.

Twee miljoen vierkante kilometer is 2000 keer duizend vierkante kilometer

Gemiddeld genomen leefden er per duizend km² steeds 10 T-rexen, dus in totaal steeds 2000 keer 10 is 20 000 T-rexen

Het aantal ‘tijdsperioden’ is $\frac{2{,}5 \cdot 10^{6}}{L}$, met L de gemiddelde leeftijd

Het aantal T-rexen is $\frac{2{,}5 \cdot 10^{6} \cdot 20\,000}{L}$

De vergelijking $\frac{2{,}5 \cdot 10^{6} \cdot 20\,000}{L} = 2 \cdot 10^{9}$ moet worden opgelost

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (bij een leeftijd van 25 jaar 2 miljard T-rexen; bij een leeftijd van 26 jaar 1,92... miljard T-rexen)

Het antwoord: 6 (jaar)

Opmerking: Indien alleen is nagerekend dat $\frac{2{,}5 \cdot 10^{6} \cdot 20\,000}{19} \approx 2{,}6$ miljard T-rexen, hiervoor maximaal 3 scorepunten toekennen.