Eindexamen wiskunde B havo 2021, tijdvak 2: vragen en antwoorden

1 De functie f is gegeven door f ( x) =

• 2 . De grafiek van f snijdt de 3x + 1 x-as in punt A en de y-as in punt B. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

De functie g is gegeven door g ( x ) = −2 x 2 + 3 x + p . De grafieken van f en g raken elkaar in het punt C. Zie figuur 2. [figuur 2: zie het originele examen] De x-coördinaat van C noemen we xC en er geldt: xC ≈ 0,81.

Dat de grafieken van f en g elkaar raken in punt C betekent dat de helling van beide grafieken in dat punt gelijk is. De x-coördinaat van C is hierboven in twee decimalen benaderd.

De Amerikaan Bettencourt heeft onderzoek gedaan naar een mogelijk verband tussen het aantal inwoners N en de lengte van het wegennet W in mijlen in een stedelijk gebied. Om van een aantal stedelijke gebieden de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is van elk gebied log (W ) uitgezet tegen log ( N ) . Het resultaat is de puntenwolk in de figuur.

figuur

Bettencourt heeft een verband tussen log (W ) en log ( N ) opgesteld. In de figuur is de lijn l getekend die dit verband weergeeft. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

Een formule voor l is van de vorm log (W ) = a · log ( N ) + b (1)

Uit de figuur volgt dat een gebied met 100 000 inwoners een wegennet heeft van ongeveer 650 mijl en een gebied met 10 000 000 inwoners een wegennet heeft van ongeveer 31 000 mijl.

In zijn onderzoek komt Bettencourt tot de formule: 5 W = 0,043 · N 6 (2) Voor de volgende vraag vergelijken we twee stedelijke gebieden met elkaar: gebied A en gebied B. Voor gebied B geldt dat het twee keer zoveel inwoners heeft als gebied A.

De verhouding tussen N en W wordt verkeersdruk D genoemd.

Dus: N D= (3) W Hierin is D het aantal inwoners per mijl.

In de praktijk geldt: als in een stedelijk gebied het aantal inwoners toeneemt, neemt de verkeersdruk ook toe (ondanks de toename van de lengte van het wegennet).

Voor D moet dus gelden dat de grafiek van D als functie van N stijgend is. In drie stappen kan dit worden onderzocht: a Druk D met behulp van de formules (2) en (3) uit in N. dD b Bepaal de afgeleide van de bij stap a gevonden formule. dN c Onderzoek of deze afgeleide voor alle waarden van N groter is dan 0.

Cirkel c1 met middelpunt M 1 wordt gegeven door x 2 + ( y

• 3) = 9 . 2

Cirkel c2 met straal 2 en middelpunt M 2 raakt c1 .

De twee cirkels worden omsloten door een rechthoek ABCD zodanig dat:

• de hoekpunten A en B op de x-as liggen;
• de lengte van zijde AD gelijk is aan de diameter van c1 ;
• c1 de zijden AB, CD en AD raakt;
• c2 de zijden BC en CD raakt. Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 1: zie het originele examen]

Verder is gegeven cirkel c3 met middelpunt M 3 . Deze cirkel raakt c2 en de zijden AB en BC. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

In figuur 2 is ook de driehoek M 2 M 3 N aangegeven, waarbij punt N dezelfde x-coördinaat heeft als M 3 en dezelfde y-coördinaat als M 2 . In driehoek M 2 M 3 N is α = ∠M 2 M 3 N en is hoek N een rechte hoek. Er geldt: 2−r sin ( α ) = r+2 Hierin is r de straal van c3 . Zie figuur 2.

De bruine rat, de Japanse oester en de Amerikaanse vogelkers zijn voorbeelden van dier- en plantensoorten die oorspronkelijk niet in Nederland voorkwamen, maar die bewust of onbewust door de mens in Nederland zijn ingevoerd. Zulke soorten worden exoten genoemd.

In figuur 1 is voor de periode 1910

• 2000 eens per tien jaar, telkens op

1 januari van het aangegeven jaar, het aantal exoten in Nederland weergegeven. In deze figuur is ook een grafiek weergegeven die de ontwikkeling van deze aantallen benadert.

[figuur 1: zie het originele examen]

Uit figuur 1 valt af te lezen dat het aantal exoten in Nederland in de periode van 1 januari 1910 tot 1 januari 1950 van 22 tot 46 is toegenomen.

Neem aan dat het aantal exoten sinds 1 januari 1910 exponentieel is gegroeid. Dan volgt uit de gegevens voor de periode 1910

• 1950 dat dit aantal elke tien jaar met ongeveer 20% is toegenomen.

We gaan bij de volgende vraag uit van een toename van 20% per tien jaar.

Er bestaat een zogenaamde rode lijst van diersoorten in Nederland die met uitsterven bedreigd worden. Daarom worden deze diersoorten ook wel rodelijstsoorten genoemd.

In figuur 2 is de ontwikkeling van de rodelijstsoorten in de periode

1997

• 2012 te zien. Hierbij zijn de aantallen aangegeven als percentage ten opzichte van het aantal in 1997.

In figuur 2 is ook een rechte lijn getekend die de ontwikkeling van het aantal rodelijstsoorten benadert. Volgens deze benadering neemt het aantal rodelijstsoorten vanaf 1997 lineair af. Figuur 2 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

[figuur 2: zie het originele examen]

In 2004 was het werkelijke aantal rodelijstsoorten 694.

Met behulp van de lineaire afname volgens de getekende rechte lijn werd in 2013 een voorspelling gedaan voor het aantal rodelijstsoorten in 2020. Het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020 bleek 551 te zijn. Dit aantal is duidelijk hoger dan het aantal volgens de voorspelling.

Op het domein [ 0, 3π] is de functie f gegeven door f ( x ) = −1 + 2sin ( x

• 23 π ) Op het gegeven domein is het punt P de eerste top rechts van de y-as van de grafiek van f. Zie de figuur.

figuur

De punten A, B en C zijn de drie snijpunten van de grafiek van f met de x-as. Lijnstuk BC is a keer zo lang als lijnstuk AB.

2 De functie f is gegeven door f ( x ) = 4 log 2 . De grafiek van f

2 x + 3x snijdt de x-as in de punten A en B. De asymptoten van de grafiek van f snijden de x-as in S en O. Zie de figuur.

figuur

Op het domein 0, → is functie f ook te schrijven als: f ( x) = 12

• 4 log( x)
• 4 log(2 x + 3)

foto

Een lichtspot geeft een bundel licht. Zie de foto. Voor de lichtbundel van een bepaalde lichtspot geldt dat in figuur 1 een zijaanzicht de buitenste lichtstralen een hoek van 50° met elkaar maken. Zie figuur 1.

Deze lichtspot hangt 300 cm boven een vloer. Als de lichtbundel recht naar beneden wordt gericht, ontstaat op de vloer een cirkelvormige lichtvlek. In figuur 2 is een zijaanzicht van deze situatie schematisch weergegeven. Hierin is S de lichtspot.

[figuur 2: zie het originele examen]

De lichtspot kan gedraaid worden, zodat de lichtbundel ook op andere delen van de vloer gericht kan worden. Hierbij blijft in een zijaanzicht de hoek tussen de buitenste lichtstralen 50°. Het is mogelijk om de lichtspot zo ver naar rechts te draaien dat er een 500 centimeter lange lichtvlek op de vloer ontstaat. Een zijaanzicht van deze situatie is in figuur 3 schematisch weergegeven.

[figuur 3: zie het originele examen]

In figuur 3 is PQ de lengte van de lichtvlek. V is het punt op de vloer recht onder S en α = ∠ VSP . Er geldt dus: ∠PSQ = 50° .

∠SQV is uit te drukken in α . Met behulp van de sinusregel in driehoek PSQ kan SP ook uitgedrukt worden in α . Er geldt: SP ≈ 653 · sin ( 40 °

• α ) (1p)

In driehoek VSP geldt: 300 SP = (2) cos ( α )

Met behulp van formule (1) en formule (2) is hoek α te berekenen.