Eindexamen wiskunde B havo 2022, tijdvak 1: vragen en antwoorden

De cirkel c is gegeven door de vergelijking x 2 + y 2 = 6 x + 6 y

• 13 . De lijn l met vergelijking y = 2 x + 2 raakt de cirkel in het punt A. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

l snijdt de x-as in het punt S en de y-as in het punt T. Cirkel d is de cirkel met middellijn ST. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Data kan via verschillende kanalen verstuurd worden, bijvoorbeeld via een kabel of draadloos.

Bij het versturen van data is het belangrijk dat deze foutloos verstuurd wordt. Data kan foutloos verstuurd worden als de zogeheten kanaalcapaciteit groot genoeg is.

De kanaalcapaciteit is de maximale hoeveelheid data die per seconde over een kanaal overgedragen kan worden. Een formule waarmee de kanaalcapaciteit bepaald kan worden, is

C = B · 2 log (1 + R ) (formule 1)

Hierin is

• C de kanaalcapaciteit in bits per seconde (bps);
• B de bandbreedte in hertz (Hz);
• R de signaal-ruisverhouding. Deze signaal-ruisverhouding is de verhouding tussen de sterkte van het gewenste signaal en de sterkte van de aanwezige ruis.

Met de formule S = 10 · 10 log ( R ) (formule 2)

kan R omgerekend worden naar decibel (dB).

In 2016 had een goed werkende draadloos-internetverbinding vaak een bandbreedte van 20 ·106 Hz en een waarde van S van 40 dB.

Als de ruis (veel) sterker is dan het signaal, dan is R (erg) klein. Voor zulke kleine waarden van R werkt men in de praktijk met de volgende benadering voor C:

C = 1, 44 · B · R (formule 3) In figuur 1 zijn voor B = 1000 de grafieken van formules 1 en 3 weergegeven, waarbij de grafiek van formule 3 gestippeld is.

[figuur 1: zie het originele examen]

In figuur 1 is te zien dat voor groter wordende R de benadering steeds slechter wordt. Men vindt deze benadering acceptabel als het verschil tussen de waarde van C volgens formule 3 en de waarde van C volgens formule 1 maximaal 1% is van de waarde van C volgens formule 1.

Ook als het signaal veel sterker is dan de ruis, dat wil zeggen voor grote waarden van R, wordt er in de praktijk vaak met een benadering voor C gewerkt.

Voor grote waarden van R geldt 1 + R ≈ R . In dat geval kan formule 1 benaderd worden door:

C = B · 2 log ( R ) (formule 4)

In figuur 2 zijn voor een bepaalde waarde van B de grafieken van de formules 1 en 4 weergegeven, waarbij de grafiek van formule 4 gestippeld is.

[figuur 2: zie het originele examen]

Met behulp van formules 2 en 4 kan voor grote waarden van R de volgende formule voor C opgesteld worden:

C = 0,332 · B · S Het getal 0,332 in deze formule is een afgerond getal.

De functie f is gegeven door f ( x ) = −8 + 2 3 x + 9 . De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A. De lijn l raakt de grafiek van f in A. De lijn l snijdt de x-as in het punt B. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Er geldt OA = OB .

De grafiek van de functie g ontstaat uit de grafiek van f door middel van een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met een positieve factor a. Het punt M is het randpunt van de grafiek van g en het punt C is het snijpunt van de grafieken van f en g met de x-as. Zie figuur 2. De lengte van het lijnstuk MC is 6 23 .

[figuur 2: zie het originele examen]

Een windmolen kan de bewegingsenergie van de wind omzetten in elektrische energie. De hoeveelheid elektrische energie die een windmolen produceert, is afhankelijk van de windsnelheid. Hoe harder het waait, hoe meer elektrische energie een windmolen kan produceren.

Omdat er energie uit de wind gehaald is en omgezet is in elektrische energie, is de bewegingsenergie van de wind achter een windmolen kleiner dan ervoor. Dus is de windsnelheid achter de windmolen ook kleiner dan de windsnelheid vóór de windmolen.

De energie in joule (J) die een windmolen per seconde produceert, wordt gegeven door de formule: w w w

3 2

E = 14 · c · v3 · 1

• − + (formule 1) v v v

Hierin is

• E de energie die de molen per seconde produceert in J;
• c een (positieve) constante die hoort bij de windmolen, deze constante is onder andere afhankelijk van de grootte en vorm van de wieken;
• v de snelheid van de wind vóór de windmolen in m/s;
• w de snelheid van de wind achter de windmolen in m/s.

Bij een wind met een snelheid van 10 m/s vóór de foto windmolen produceert de windmolen Amstelvogel in Ouderkerk aan de Amstel, zie de foto, elke seconde 1,21 miljoen J. De waarde van c die hoort bij deze windmolen is 5116.

We gaan nu weer kijken naar windmolens in het algemeen. Een windmolen kan niet alle energie uit de wind halen, want dan zou de lucht achter de windmolen stilstaan. Het blijkt dat de maximale hoeveelheid energie die een windmolen uit de wind kan halen alleen afhangt van de verhouding tussen de windsnelheden vóór en achter de molen, dus de verhouding tussen v en w.

w Stel p = , dan kan formule 1 geschreven worden als: v ( )

E = 14 · c · v3 · 1

• p3
• p 2 + p (formule 2)

Bij een constante waarde van v is E maximaal als 1

• p 3
• p 2 + p maximaal is.

Voor elke constante c en v wordt de maximale waarde voor E bereikt bij p = 13 .

De maximale waarde voor E noemen we Emax .

De energie van wind met een snelheid v die per seconde wordt opgevangen door een windmolen waarvan c de constante is, wordt gegeven door: Ewind = 12 · c · v 3

Het maximale percentage van de energie die een windmolen uit de wind Emax kan halen is ·100% . Ewind

1,→ 1 Op het domein 2 is de functie f gegeven door f ( x) = . 2x −1 De lijn l met richtingscoëfficiënt −2 raakt de grafiek van f. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Het punt A met x-coördinaat a is een willekeurig punt op de grafiek van f. Het punt B ligt op de x-as en heeft ook x-coördinaat a. Bij elke waarde van a hoort een driehoek OAB. Zie figuur 2 en figuur 3 voor twee mogelijkheden.

figuur 2 figuur 3

Op domein 0, → is gegeven de functie f ( x ) = ax 2

• a met a > 0 . In figuur 1 is in één assenstelsel voor een aantal waarden van a de grafiek van f getekend.

[figuur 1: zie het originele examen]

De grafiek van f gaat voor elke waarde van a door het punt (1, 0 ) .

Op hetzelfde domein is de functie g gegeven door g ( x ) = sin ( 2πx ) . In figuur 2 is de grafiek van g aan figuur 1 toegevoegd.

[figuur 2: zie het originele examen]

Het punt T is de eerste top van de grafiek van g met x-coördinaat groter dan 1. Zie figuur 2. Er is een waarde van a waarvoor de grafiek van f door T gaat.

Het comfort en het rijgedrag van een fiets worden in belangrijke mate bepaald door de framegeometrie. Naast de lengte van de verschillende buizen waaruit een frame bestaat, gaat het bij de framegeometrie ook om de hoeken waaronder de verschillende buizen staan.

In figuur 2 is een tekening van het frame van de fiets van figuur 1 gegeven.

[figuur 1: zie het originele examen]

[figuur 2: zie het originele examen]

De bijbehorende maten zijn:

• de liggende achtervork: AB = 425 mm;
• de staande achtervork: AF = 542 mm;
• de hoek die de liggende en de staande achtervork met elkaar maken: ∠BAF = 58° ;
• de hoek die het verlengde van de stuurbuis DE met het verlengde van AB maakt: ∠BCE = 71° .

De zitbuis BF en de stuurbuis DE zijn bijna evenwijdig. Als ze evenwijdig zouden zijn dan zou de hoek die BF met de lijn door AB maakt even groot moeten zijn als ∠BCE . Deze hoeken verschillen echter.

Een crank is het verbindingsstuk tussen figuur 3 de trap-as van de fiets en het pedaal. Zie figuur 3.

Cranks bestaan in verschillende lengtes. Een fietser met lange benen heeft baat bij een langere crank. Zo wordt aan iemand met een binnenbeenlengte van 75 cm een cranklengte van 166 mm geadviseerd. Aan iemand met een binnenbeenlengte van 97 cm wordt een cranklengte van 180 mm geadviseerd.

Er is een verband tussen de binnenbeenlengte B in cm en de geadviseerde cranklengte L in mm. Dit verband is te benaderen met een formule van de vorm L = a · B n . Met de bovenstaande gegevens bij binnenbeenlengtes 75 cm en 97 cm zijn de waarden van a en n te bepalen.