Eindexamen wiskunde B havo 2026, tijdvak 1: vragen en antwoorden

$x^2+y^2-10x-6y=135$ kan geschreven worden in de vorm $(x-5)^2+(y-3)^2=r^2$, dus de coördinaten van $M$ zijn $(5, 3)$

$l$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{3}{5}$

$(\text{rc}_k\cdot\text{rc}_l=)\,-2\cdot\frac{3}{5}\neq-1$ (of $\text{rc}_k\neq-\frac{5}{3}$)

Dus $k$ en $l$ snijden elkaar niet loodrecht

of

$\text{rc}_k=-2$, dus als $l$ en $k$ elkaar loodrecht snijden, dan zou $\text{rc}_l=\frac{1}{2}$ moeten zijn

$x^2+y^2-10x-6y=135$ kan geschreven worden in de vorm $(x-5)^2+(y-3)^2=r^2$, dus de coördinaten van $M$ zijn $(5, 3)$

$l$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{3}{5}$

Dus $k$ en $l$ snijden elkaar niet loodrecht

Opmerking: als in het eerste antwoordelement van het eerste antwoordalternatief of in het tweede antwoordelement van het tweede antwoordalternatief een foutieve waarde van $r$ is gegeven, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

(Substitutie van $y=-2x$ in de vergelijking van $c$ geeft) $x^2+(-2x)^2-10x-6\cdot(-2x)=135$

Dit geeft $5x^2+2x-135=0$

De discriminant $D=2704$

$x_P=\frac{-2-\sqrt{2704}}{10}=-5\frac{2}{5}$ ($x_P=5$ voldoet niet)

$y_P=10\frac{4}{5}$

De richtingscoëfficiënt van de lijn door $P$ en $Q$ is $\frac{10\frac{4}{5}-15}{-5\frac{2}{5}-0}\,(=\frac{7}{9})$ (of: in driehoek $PP'Q$, met $P'$ de loodrechte projectie van $P$ op de $y$-as, is de tangens van de gevraagde hoek gelijk aan $\frac{4\frac{1}{5}}{5\frac{2}{5}}$)

Een berekening waaruit volgt dat de gevraagde hoek gelijk is aan $38(^\circ)$

De $x$-coördinaten van de snijpunten zijn oplossingen van de vergelijking $2^{3-x^2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2-x^2}$ die is te herleiden tot $2^{3-x^2}=\left(2^{-1}\right)^{2-x^2}$

Dit geeft $2^{3-x^2}=2^{-2+x^2}$ en dus $3-x^2=-2+x^2$

Hieruit volgt $x^2=2\frac{1}{2}$

De $y$-coördinaat is $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$ (of $\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$)

$y_T=h(0)=8{,}25$

Beschrijven hoe met de GR de grafiek van de afgeleide van $h$ kan worden bepaald

Beschrijven hoe met de GR de $x$-coördinaat van een punt op de grafiek van $h$ met helling $2$ kan worden bepaald

$x_A=-0{,}191\ldots$

Het hoogteverschil is $8{,}25-h(-0{,}191\ldots)=0{,}194$

$\frac{3}{x}=3x^{-1}$

$f'(x)=-3x^{-2}\,(=-\frac{3}{x^2})$

$f'(2)=-\frac{3}{4}$

Een exacte toelichting waaruit volgt dat in de vergelijking $y=-\frac{3}{4}x+b$ de waarde van $b$ gelijk is aan $5$

of

(Lijn $k$ is niet horizontaal of verticaal, dus $k$ is een raaklijn aan de hyperbool als geldt:) de vergelijking $\frac{3}{x}+2=-\frac{3}{4}x+5$ moet precies één oplossing hebben

De vergelijking $\frac{3}{4}x^2-3x+3=0$ moet precies één oplossing (ongelijk aan $0$) hebben

De discriminant $D=0$, dus $k$ is een raaklijn aan de hyperbool

(Aantonen dat $P$ op $k$ ligt:) $3\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}\cdot2+5$, dus $k$ raakt de hyperbool in $P$

$PQ=\sqrt{4^2+3^2}=5$

$y_A=-1$ (dus $A(0,-1)$)

Een vergelijking van de horizontale asymptoot is $y=2$

$x_B$ is oplossing van de vergelijking $-\frac{3}{4}x+5=2$ en dit geeft $x=4$ (dus $B(4,2)$)

$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$ (, dus $AB$ en $PQ$ zijn even lang)

of

$y_A=-1$ (dus $A(0,-1)$)

Een vergelijking van de horizontale asymptoot is $y=2$

$x_B$ is oplossing van de vergelijking $-\frac{3}{4}x+5=2$ en dit geeft $x=4$ (dus $B(4,2)$)

De richtingscoëfficiënt van de lijn door $P$ en $Q$ is $\frac{3\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{2--2}=\frac{3}{4}$ en van de lijn door $A$ en $B$ $\frac{2--1}{4-0}=\frac{3}{4}$

De raaklijnen zijn evenwijdig en de lijnen $PQ$ en $AB$ zijn evenwijdig, (of: vierhoek $ABPQ$ is een parallellogram,) dus $AB$ en $PQ$ zijn even lang

of

$y_A=-1$ (dus $A(0,-1)$)

Een vergelijking van de horizontale asymptoot is $y=2$

$x_B$ is oplossing van de vergelijking $-\frac{3}{4}x+5=2$ en dit geeft $x=4$ (dus $B(4,2)$)

$x_B-x_A=4-0=4$ en $y_B-y_A=2--1=3$

$x_P-x_Q=2--2=4=x_B-x_A$ en $y_P-y_Q=3\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=3=y_B-y_A$, (dus $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}$) dus $AB$ en $PQ$ zijn even lang

of

$y_A=-1$ (dus $A(0,-1)$)

Een vergelijking van de horizontale asymptoot is $y=2$

$x_B$ is oplossing van de vergelijking $-\frac{3}{4}x+5=2$ en dit geeft $x=4$ (dus $B(4,2)$)

$x_A-x_Q=0--2=2$ en $x_B-x_P=4-2=2$

De raaklijnen zijn evenwijdig, (dus omdat $x_A-x_Q=x_B-x_P$ geldt ook $y_A-y_Q=y_B-y_P$, dus $\sqrt{(x_A-x_Q)^2+(y_A-y_Q)^2}=\sqrt{(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2}$,) dus $AQ=BP$. Dan zijn $AB$ en $PQ$ ook evenwijdig, (of: vierhoek $ABPQ$ is een parallellogram,) dus $AB$ en $PQ$ zijn even lang

$x_C$ is oplossing van de vergelijking $\frac{3}{x}+2=1$

Dit geeft $x=-3$

$x_D$ is oplossing van de vergelijking $\frac{3}{x}+2=0$

Dit geeft $x=-1\frac{1}{2}$, dus de lengte van $CD$ is $1\frac{1}{2}$

Een vergelijking van de $1\frac{1}{2}$ naar links verschoven grafiek is $y={}^2\log\left(2\left(x+1\frac{1}{2}\right)\right)-{}^2\log\left(x+1\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}\right)$

Herleiden tot $y={}^2\log\left(\frac{2x+3}{x}\right)$ (voor $x>0$)

Teller en noemer van de breuk delen door $x$ geeft $y={}^2\log\left(2+\frac{3}{x}\right)$ (voor $x>0$), dus de bewering is juist

of

Als (het weergegeven deel van) de grafiek van $y={}^2\log\left(\frac{3}{x}+2\right)$ $1\frac{1}{2}$ naar rechts wordt verschoven, dan is $y={}^2\log\left(\frac{3}{x-1\frac{1}{2}}+2\right)$ een vergelijking van deze naar rechts verschoven grafiek

$\frac{3}{x-1\frac{1}{2}}+2=\frac{3}{x-1\frac{1}{2}}+\frac{2(x-1\frac{1}{2})}{x-1\frac{1}{2}}=\frac{2x}{x-1\frac{1}{2}}$

${}^2\log\left(\frac{2x}{x-1\frac{1}{2}}\right)={}^2\log(2x)-{}^2\log\left(x-1\frac{1}{2}\right)$ (voor $x>1\frac{1}{2}$), dus de bewering is juist

(De evenwichtstemperatuur is 20 graden, dus) $a=20$

(De amplitude is 13, dus) $b=13$

(De periode is 24 uur, dus) $\frac{2\pi}{24}=0{,}26\ldots$, dus $c=0{,}3$

(De grafiek gaat op $t=8$ stijgend door de evenwichtsstand, dus) $d=8$ (of een andere correcte waarde)

Opmerking: als uitsluitend de waarden van $a$, $b$, $c$ en $d$ van een andere grafiek dan die op de grond is bepaald, voor deze vraag hoogstens 2 scorepunten toekennen.

De groeifactor per 5 cm is $\frac{2{,}3}{5{,}5}\,(=0{,}418\ldots)$

De groeifactor per 1 cm is $\left(\frac{2{,}3}{5{,}5}\right)^{\frac{1}{5}}\,(=0{,}839\ldots)$

Dat is $16\%$ afname (per cm)

Opmerking: als gebruik is gemaakt van de in vraag 9 bepaalde amplitude op de grond, dan geen scorepunten in mindering brengen.

Er geldt: $20=4\sqrt{I}$

Hieruit volgt $I=\left(\frac{20}{4}\right)^2=25$

(Er moet gelden $z=0$, dus) $I$ moet $0$ worden

Na 5 hele dagen (omdat $4<\frac{25}{6}<5$) is de vorst uit de grond verdwenen

De afgeleide van $4-x$ is $-1$

$f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{4-x}}\,(=-(4-x)^{-\frac{1}{2}})$

$g'(x)=3a\cdot x^2+2b\cdot x+c$

Uit $f'(0)=g'(0)$ volgt $c=\frac{-1}{\sqrt{4-0}}=-\frac{1}{2}$

De vergelijking $-\frac{1}{256}x^3-\frac{1}{32}x^2-\frac{1}{2}x+5-\left(1+2\sqrt{4-x}\right)=0{,}05$ moet worden opgelost

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

De oplossingen $x=-3{,}37$ en $x=2{,}56$

(Driehoek $ABS$ is gelijkvormig met driehoek $CDS$, dus) $\frac{AB}{5}=\frac{11}{4}$

Dan is $AB=13{,}75$

(Driehoek $AEF$ is gelijkvormig met driehoek $ABS$, dus) $\frac{EF}{11}=\frac{13{,}75-2}{13{,}75}$

Hieruit volgt dat $EF=9{,}4$

Gebruik van de cosinusregel in driehoek $AEF$ geeft $11{,}75^2=9{,}4^2+AF^2-2\cdot9{,}4\cdot AF\cdot\cos(60^\circ)$

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

Het antwoord $AF=13{,}2$

of

(Driehoek $ABS$ is gelijkvormig met driehoek $CDS$, dus) $\frac{AB}{5}=\frac{11}{4}$

Dan is $AB=13{,}75$

Gebruik van de cosinusregel in driehoek $CDS$ geeft $5^2=4^2+CS^2-2\cdot4\cdot CS\cdot\cos(60^\circ)$

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

Hieruit volgt dat $CS=5{,}60\ldots$

(Driehoek $AEF$ is gelijkvormig met driehoek $CDS$, dus) $\frac{AF}{5{,}60\ldots}=\frac{13{,}75-2}{5}$

Het antwoord $AF=13{,}2$

of

Gebruik van de cosinusregel in driehoek $CDS$ geeft $5^2=4^2+CS^2-2\cdot4\cdot CS\cdot\cos(60^\circ)$

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

Hieruit volgt dat $CS=5{,}60\ldots$

(Driehoek $ABS$ is gelijkvormig met driehoek $CDS$, dus) $\frac{AB}{5}=\frac{AS}{5{,}60\ldots}=\frac{11}{4}$

Dan is $AS=15{,}41\ldots$ en $AB=13{,}75$

(Driehoek $ABS$ is gelijkvormig met driehoek $AEF$, dus) $\frac{15{,}41\ldots}{AF}=\frac{13{,}75}{13{,}75-2}$

Het antwoord $AF=13{,}2$

of

Gebruik van de sinusregel in driehoek $CDS$ geeft $\frac{5}{\sin(60^\circ)}=\frac{4}{\sin(\angle C)}$

Dan is $\angle C=43{,}85\ldots^\circ$ en $\angle D=(180^\circ-60^\circ-43{,}85\ldots^\circ)=76{,}14\ldots^\circ$

Gebruik van de cosinusregel in driehoek $CDS$ geeft $CS^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cdot\cos(76{,}14\ldots^\circ)$, dus $CS=5{,}60\ldots$ (of gebruik van de sinusregel in driehoek $CDS$ geeft $\frac{CS}{\sin(76{,}14\ldots^\circ)}=\frac{5}{\sin(60^\circ)}$ (of $\frac{CS}{\sin(76{,}14\ldots^\circ)}=\frac{4}{\sin(43{,}85\ldots^\circ)}$), dus $CS=5{,}60\ldots$)

(Driehoek $ABS$ is gelijkvormig met driehoek $CDS$, dus) $\frac{AB}{5}=\frac{AS}{5{,}60\ldots}=\frac{11}{4}$

Dan is $AS=15{,}41\ldots$ en $AB=13{,}75$

(Driehoek $ABS$ is gelijkvormig met driehoek $AEF$, dus) $\frac{15{,}41\ldots}{AF}=\frac{13{,}75}{13{,}75-2}$

Het antwoord $AF=13{,}2$

Er geldt $g=4k$ (of $k=\frac{1}{4}g$)

Invullen geeft $e=\frac{4k-k}{4k+k}$ (of $e=\frac{g-\frac{1}{4}g}{g+\frac{1}{4}g}$)

Teller en noemer delen door $k$ (of $g$) geeft een constante waarde $\left(e=\frac{3}{5}\right)$, dus deze banen hebben allemaal dezelfde excentriciteit

In de figuur op de uitwerkbijlage geldt $g+k=10$

Ook geldt $\frac{g-k}{g+k}=0{,}553$, dus $g-k=5{,}53$

Beschrijven hoe het stelsel van vergelijkingen kan worden opgelost

Dit geeft $g=7{,}8$ (of nauwkeuriger) (of $k=2{,}2$ (of nauwkeuriger))

Het tekenen van de correcte plaats van de zon met een marge van 2 mm

of

In de figuur op de uitwerkbijlage geldt $g+k=10$

Ook geldt $\frac{g-k}{g+k}=0{,}553$, dus $g-k=5{,}53$

(Uit de symmetrie van de komeetbaan in de korte as volgt) $k=\frac{10-(g-k)}{2}$

Dit geeft $k=2{,}2$ (of nauwkeuriger) (of $g=7{,}8$ (of nauwkeuriger))

Het tekenen van de correcte plaats van de zon met een marge van 2 mm

Er geldt $a^3=c\cdot T^2$ (, met $c$ de evenredigheidsconstante)

Aflezen van de coördinaten van één punt op de lijn (bijvoorbeeld $(190;0{,}64)$) (uitgezonderd $(0,0)$)

Dit geeft $c=0{,}003368\ldots$

Voor 55P geldt $a^3=0{,}003368\ldots\cdot33{,}2226^2\,(=3{,}7178\ldots)$

Dit geeft $a=\sqrt[3]{0{,}003368\ldots\cdot33{,}2226^2}$, dus het eindantwoord is $1{,}55$

of

Er geldt $T^2=c\cdot a^3$ (, met $c$ de evenredigheidsconstante)

Aflezen van de coördinaten van één punt op de lijn (bijvoorbeeld $(190;0{,}64)$) (uitgezonderd $(0,0)$)

Dit geeft $c=296{,}875$

Voor 55P geldt $33{,}2226^2=296{,}875a^3$

Dit geeft $a=\sqrt[3]{\frac{33{,}2226^2}{296{,}875}}$, dus het eindantwoord is $1{,}55$

of

Voor twee punten $(T_1^2,a_1^3)$ en $(T_2^2,a_2^3)$ op de lijn geldt $\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{a_2^3}{T_2^2}$

Aflezen van de coördinaten van één punt op de lijn (bijvoorbeeld $(190;0{,}64)$) (uitgezonderd $(0,0)$)

Voor 55P geldt $\frac{a^3}{33{,}2226^2}=\frac{0{,}64}{190}$

Dit geeft voor $a$ het eindantwoord $1{,}55$

Opmerkingen: als bij de drie antwoordalternatieven het aflezen leidt tot een eindantwoord voor $a$ buiten het interval $[1{,}54;1{,}56]$, via een correcte berekening, dan 1 scorepunt in mindering brengen. Voor het eerste antwoordelement van het derde antwoordalternatief mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.