Eindexamen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Zwangerschap, Cirkel tussen lijnen, Raaklijn en driehoeken, Een translatie en snijpunten met de x-as, Shovel, Sinusoïde en parabool, Afstand tussen lijnen en punt, Dalen, stijgen en stijgen.

Kort antwoord

Het centraal examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2 loopt tot vraag 19. Van 17 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over meetkunde met coördinaten (6), differentiëren (4) en functies en grafieken (3). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.

Onderwerpen in dit examen

Onderwerp per vraag in het centraal examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2, voor de vragen waarvan het onderwerp bekend is. Elke vraag is eenmalig door een AI-model bij een onderwerp ingedeeld; per vraag kan dat afwijken.
OnderwerpVragenAantal
Meetkunde met coördinaten5-9, 166
Differentiëren3, 15, 17, 194
Functies en grafieken2, 10-113
Vergelijkingen en ongelijkheden12, 182
Goniometrische functies13-142

Vergeleken met andere jaren

Vergeleken met de andere 17 examens wiskunde B havo sinds 2018: dit examen vroeg meer over meetkunde met coördinaten (35% van de vragen, gemiddeld 20%) en differentiëren (24% van de vragen, gemiddeld 12%). Minder over exponentiële en logaritmische functies (0% van de vragen, gemiddeld 16%) en bewijzen (0% van de vragen, gemiddeld 6%).

Opgaven en correctievoorschrift

De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.

Oefenen als leerling

Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.

Nakijken als docent

  1. Start gratis vanaf deze pagina

    Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.

  2. Laat de klas het examen maken

    Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.

  3. Geef de resultaten vrij

    Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.

ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.

Vragen en antwoorden

Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.

Zwangerschap

Een zwangerschapsecho foto 1 is een afbeelding van een ongeboren baby. Zie foto 1. Een echo wordt onder andere gebruikt om vast te stellen hoe lang een vrouw al zwanger is.

Op de echo kan de afstand a van de bovenkant van het hoofdje tot de onderkant van de billen worden gemeten. Met behulp van de volgende formule kan dan de zwangerschapsduur d worden geschat:

d = 8,052 · 1,037a + 23,73 De zwangerschapsduur d is in dagen en de gemeten afstand a in mm. Deze formule is alleen bruikbaar bij een zwangerschapsduur van ongeveer 8,5 tot ongeveer 13 weken.

Bij een vrouw wordt een echo gemaakt. Daarbij wordt a = 55 mm gemeten.

Vraag 1 2 punten

Bereken de geschatte zwangerschapsduur van deze vrouw. Geef je antwoord in hele weken.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • d (55) = 8, 052 · 1, 037 · 55 + 23, 73 = 84,53... (1)
  • ( , dus) de vrouw is naar schatting 12 weken zwanger (1)

Als bekend is hoelang een vrouw zwanger is, kan omgekeerd berekend worden wat de afstand a bij de ongeboren baby is. Hiervoor kan de formule worden herschreven door a in d uit te drukken. Dit geeft een formule van de vorm: a = p · (q · d

  • r ) 2

Mogelijke waarden van p, q en r, afgerond op twee decimalen, zijn: p = 0,96 , q = 0,12 en r = 2,95 .

Vraag 2 3 punten

Bereken deze waarden van p, q en r in drie decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • d = 8, 052 · 1, 037a + 23, 73 geeft = 1, 037 a (1)
  • Hieruit volgt a = (1)
  • Dus p = = 0,964 , q = = 0,124 en r = = 2,947 (1)

Bij een zwangerschapsduur van 8,5 tot 13 weken is de afstand bij de 2 ongeboren baby te bepalen volgens de formule a = 0,96 · (0,12d

  • 2,95) .

Vraag 3 3 punten

Toon met behulp van de afgeleide aan dat de afstand toenemend stijgend is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerkingen

  • Als in het eerste antwoordelement de kettingregel is gebruikt, maar niet correct, mag voor dit antwoordelement hoogstens 1 scorepunt worden toegekend op basis van vakspecifieke regel 1.
  • Als gerekend is met nauwkeuriger waarden van p, q en r, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Vanaf 13 weken zwangerschap kan gebruik worden gemaakt van een andere formule voor een schatting van de zwangerschapsduur. Hierbij wordt de hoofdomtrek gebruikt. Op foto 2 is een dwarsdoorsnede te zien van het hoofd.

[foto 2: zie het originele examen]

De formule voor de zwangerschapsduur vanaf 13 weken wordt gegeven door: w = 3,12958 ·1,00244h · h0,2794 Hierin is w de zwangerschapsduur in weken en h de hoofdomtrek in mm.

Vraag 4 3 punten

Bereken de hoofdomtrek in mm die hoort bij een zwangerschap van

14 weken. Geef je eindantwoord als een geheel getal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • 14 = 3,12958 ·1, 00244h · h0,2794 (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR kan worden opgelost (1)
  • (Bij 14 weken zwangerschap hoort h = 93,9... , dus) de hoofdomtrek is 94 (mm) (1)

Cirkel tussen lijnen

De lijn l is gegeven door de vergelijking y = 12 x en de lijn m door de vergelijking y =

  • 12 x . Verder is gegeven de cirkel c met middelpunt M ( 5,0) en straal 1. Lijn l raakt cirkel c. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Vraag 5 5 punten

Bewijs dat lijn l cirkel c raakt.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • • Een cirkelvergelijking van c is ( x − 5) 2 + y 2 = 1 (1) • y = 12 x hierin invullen geeft ( x − 5) 2 + ( 12 x) 2 = 1 (1) • Herschrijven tot 54 x 2 − 2 5 · x + 4 = 0 (of een vergelijkbare vorm) (1) ( ) − 4· ·4 2 • De discriminant van deze vergelijking is D = −2 5 (5) 4 1 • D = 0 (dus de vergelijking heeft één oplossing, dus l raakt c) (1) of • De lijn door M loodrecht op l heeft vergelijking y = −2 x + b (1) • M hierin invullen geeft 0 = −2 · 5 + b , dus b = 2 5 (dus y = −2 x + 2 5 ) (1) • Voor de x-coördinaat van het snijpunt van l en de loodlijn op l door M geldt 12 x = −2 x + 2 5 en dit geeft x = 54 5 (1) • Dus het snijpunt is ( 5, 5 ) 4 5 2 5 1 ( 54 5 − 5 ) + ( 52 5 ) = 1 (dus het snijpunt ligt op c , dus l raakt c) 2 (2) • (1) (5)

De verticale lijn n raakt cirkel c aan de rechterkant. Lijn n snijdt lijn m in punt A en lijn l in punt B. Samen met de oorsprong O vormen de punten A en B de driehoek OAB. Cirkel c past precies in deze driehoek. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Vraag 6 5 punten

Onderzoek op algebraïsche wijze of de oppervlakte van driehoek OAB meer dan twee keer zo groot is als de oppervlakte van cirkel c.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De oppervlakte van cirkel c is (π·12 =) π (1)
  • Een vergelijking van lijn n is x = 5 + 1 ( = 3, 23... ) (1)
  • y B = ( 12 · 3, 23. .. = )1, 61... (1)
  • De oppervlakte van driehoek OAB is 2 · 12 · 3, 23... ·1, 61... = 5, 23... (1)
  • 2 · π(= 6, 28...) > 5, 23... (dus de oppervlakte van driehoek OAB is niet meer dan twee keer zo groot als de oppervlakte van cirkel c ) (1)

Raaklijn en driehoeken

2 De functie f wordt gegeven door f ( x) = 16

  • x . Het punt P ligt op de grafiek van f . De raaklijn aan de grafiek van f in P snijdt de positieve x-as in het punt A en de y-as in het punt B. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Punt P is zo gekozen dat geldt: OB = 3 · OA .

Vraag 7 3 punten

Bereken exact de x-coördinaat van P.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Een vergelijking van de raaklijn is y = −3x + b (1p)

2 (2)

  • (In punt P geldt −3 x + b = 16
    • x , dus) x
    • 3 x + b
    • 16 = 0 (1)

De grafiek van f snijdt de positieve x-as in het punt C en de y-as in het punt D. Het punt Q ligt op de grafiek van f tussen de punten C en D en heeft x-coördinaat q. [figuur 2: zie het originele examen] In figuur 2 zijn de grafiek van f en de grijze driehoeken OCQ en OQD weergegeven.

De oppervlakte van de beide driehoeken kan worden uitgedrukt in q. De oppervlakte van 2 driehoek OCQ is 2(16

  • q ) .

2

Vraag 8 2 punten

Toon aan dat die oppervlakte 2(16

  • q ) is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De grafiek van f snijdt de x-as in punt C bij x = 4 (1)
  • Voor de oppervlakte van de driehoek geldt 12 · 4 · (16 − q 2 )(= 2(16 − q 2 )) (1)

De oppervlakte van driehoek OQD uitgedrukt in q is gelijk aan 8q . Punt Q is zo gekozen dat geldt: de twee driehoeken hebben gelijke oppervlaktes.

Vraag 9 4 punten

Bereken exact de oppervlakte van één zo’n driehoek.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • • De driehoeken hebben gelijke oppervlaktes, dus 2(16 − q 2 ) = 8q (1) • Herleiden op 0 geeft (bijvoorbeeld) q 2 + 4q − 16 = 0 (1) − 4 + 42 − 4 ·1 · −16 −4 + 80 −4 − 80 • Dit geeft q = = (q= 2 2 (2) voldoet niet) (1) • De gevraagde oppervlakte is −16 + 4 80 (1) (4)

Een translatie en snijpunten met de x-as

3 2 De functie f wordt gegeven door f ( x) = x + 6 x

  • 36 x
  • 88 . De punten P en Q zijn de toppen van de grafiek van f . Het middelste snijpunt van de grafiek van f met de x-as is het punt M (−2,0) . Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Punt M ligt midden tussen P en Q.

Vraag 10 5 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • • f ′( x) = 3x 2 + 12 x − 36 (1) • f ′( x) = 0 geeft ( x + 6)( x − 2) = 0 (of gebruik abc-formule) (1) • Dit geeft (respectievelijk voor de x-coördinaten van P en Q) x = − 6 en x=2 (1) • (De y-coördinaten van P en Q zijn respectievelijk) y = ( f (−6) =)128 en y = ( f (2) =) − 128 (1) • Het punt midden tussen P en Q is het punt −6 + 2 128 + −128 , = (−2, 0) (dat is punt M, dus punt M ligt midden 2 (2) tussen P en Q) (1) (5)

Door de grafiek van f twee naar rechts te verschuiven ontstaat de grafiek 3 van de functie g. Een formule voor g is g ( x) = x

  • 48 x .

Vraag 11 4 punten

Bewijs dat dit een formule is voor g.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • g ( x) = f ( x − 2) (1)
  • g ( x) = ( x − 2)3 + 6( x − 2)2 − 36( x − 2) − 88 (1)
  • g ( x) = ( x − 2)( x − 4 x + 4) + 6( x − 4 x + 4) − 36( x − 2) − 88 (1)
  • De verdere herleiding tot g ( x) = x − 48 x (1)

In figuur 2 zijn de grafieken van f en g weergegeven.

[figuur 2: zie het originele examen]

Het middelste snijpunt van de grafiek van g met de x-as ligt in de oorsprong. De grafiek van f heeft behalve punt M nog twee snijpunten met de x-as: het punt A en het punt B. De coördinaten van die snijpunten zijn met de functie f moeilijk te berekenen. Met behulp van de functie g zijn de coördinaten van deze snijpunten wel te berekenen.

Vraag 12 4 punten

Bereken exact de x-coördinaten van A en B.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • x3 − 48 x = 0 (1)
  • Hieruit volgt ( x = 0 of) x 2 − 48 = 0 (1)
  • x 2 − 48 = 0 geeft x = 48 en x = − 48 (1)
  • (De x-coördinaten van A en B zijn) x = −2 − 48 en x = −2 + 48 (1)

Shovel

Een shovel is een machine om zand mee te verplaatsen. In de bak van een shovel zit zand. Om het zand te storten, wordt de bak gekanteld.

In figuur 1 staat de beginsituatie. In deze beginsituatie zijn de bovenrand van de bak en de armen AB en ED horizontaal. Punt B ligt loodrecht boven punt D.

Verder geldt in de beginsituatie:

  • AB = 1,50 m, ED = 1,80 m en BD = 0,25 m;
  • A bevindt zich 0,30 m rechts van E en 0,25 m boven E;
  • ∠AED = 39,8° .

figuur 1 beginsituatie

In figuur 2 staat de situatie als de bak enigszins gekanteld is. Bij het kantelen blijven de punten B, D en E op hun plek. Door de buis bij A uit te schuiven, wordt AB 10 centimeter langer gemaakt. De afstand AE verandert niet. Hierdoor draait punt A om punt E heen. Arm AB loopt dan niet meer horizontaal en ∠ AED wordt groter.

figuur 2 enigszins gekanteld

Op de uitwerkbijlage is figuur 2 met de vierhoek AEDB weergegeven.

Vraag 13 7 punten

Bereken hoeveel graden de bak in figuur 2 gekanteld is ten opzichte van de beginsituatie. Geef je eindantwoord in hele graden.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Neem PE = x , met P de loodrechte projectie van A op de horizontale lijn door D, dan geldt in de rechthoekige driehoek AEP x 2 + AP 2 = 0,302 + 0, 252 (= 0,1525) (1p)
  • In de rechthoekige driehoek AQB, met Q de loodrechte projectie van A op de horizontale lijn door B, zijn de lengten van de rechthoekszijden 1,80
    • x en AP
    • 0, 25 = 0,1525
    • x2
    • 0, 25 (1)
  • Er moet gelden ( 0,1525
    • x2
    • 0, 25)2 + (1,80
    • x)2 = 1,602 (1)
  • Dit geeft x = 0, 20... (1p)

Sinusoïde en parabool

De functie f wordt gegeven door f ( x) = 3 + 3sin( 12 πx) . In de figuur is een deel van de grafiek van f weergegeven. De grafiek van deze functie gaan we in twee delen benaderen, namelijk met een deel van een parabool en met een lijnstuk. Het punt A met x-coördinaat 13 ligt op de grafiek van f . Het punt B met dezelfde y-coördinaat als A ligt ook op de grafiek van f . Het punt T is de top van de grafiek van f . Zie de figuur.

figuur

Het deel van de sinusoïde tussen de punten A en B is te benaderen door de parabool die door de punten A, T en B gaat. 2 Een vergelijking van deze parabool is y = −3 83 x + 6 43 x + 2 85 .

Vraag 14 7 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Een vergelijking van de parabool is y = a( x
    • 1)2 + 6 . De parabool gaat 2 −1 1 2 door A, dus er geldt 4 2 = a ( 3
    • 1) + 6 en dus a =

1 1 =

  • 3 3 (of ( 1
  • 1) 2 8 3 een vergelijkbare berekening waarbij de parabool door (1 3 ,4 12 ) gaat)

2 (1)

  • Dus y = −3 83 ( x
    • 1) 2 + 6 = −3 83 ( x 2
    • 2 x + 1) + 6 = −3 83 x 2 + 6 43 x + 2 85 (1)

of

  • De periode van de grafiek van f is 1 = 4 (1) 2 π
  • De top ligt op een kwart van de periode (1p)
  • (Er is geen horizontale verschuiving ten opzichte van de grafiek van y = sin( x) , dus) xT = ( 14 · 4 =)1 (1p)
  • Voor de y-coördinaat van de top geldt (vanwege evenwichtsstand 3 en amplitude 3) yT = 6 (1p)
  • De periode van de grafiek van f is 1 = 4 (1) 2 π
  • De top ligt op een kwart van de periode (1p)
  • (Er is geen horizontale verschuiving ten opzichte van de grafiek van y = sin( x) , dus) xT = ( 14 · 4 =)1 (1p)
  • Voor de y-coördinaat van de top geldt (vanwege evenwichtsstand 3 en amplitude 3) yT = 6 (1) 2
  • Een vergelijking van de parabool is y = a( x
    • 1) + 6 . De parabool gaat −1 1 door A, dus er geldt 4 12 = a ( 13
    • 1) 2 + 6 en dus a = (2) = −33 (1) ( 1
    • 1) 2 8 3

2 2 (2)

  • Dus y = −3 8 ( x
    • 1) + 6 = −3 8 ( x
    • 2 x + 1) + 6 = −3 8 x + 6 4 x + 2 85

3 3 3 3 (1)

of

  • Voor de y-coördinaat van de top geldt (vanwege evenwichtsstand 3 en amplitude 3) yT = 6 (1p)
  • Voor de y-coördinaat van de top geldt (vanwege evenwichtsstand 3 en amplitude 3) yT = 6 (1p)
  • Hieruit volgt x = 1 (dus xT = 1 en yT = 6 ) (1p)
  • Een vergelijking van de parabool is y = a( x
    • 1)2 + 6 . De parabool gaat 2 −1 1 2 door A, dus er geldt 4 2 = a ( 3
    • 1) + 6 en dus a =

1 1 = −33 (1) ( 1

  • 1) 2 8 3

2 2 (2)

  • Dus y = −3 83 ( x
    • 1) + 6 = −3 83 ( x
    • 2 x + 1) + 6 = −3 83 x + 6 43 x + 2 85 (1)

De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S. Het deel van de sinusoïde tussen de punten S en A is te benaderen door een lijnstuk met vergelijking y = 4 12 x + 3 . Dit lijnstuk gaat door de punten S en A.

De benadering van de sinusoïde tussen de punten S en B bestaat nu uit twee delen: het lijnstuk SA en het deel van de parabool door A, T en B. Als er in punt A geen knik is, noemen we dit een goede benadering. Dat houdt in dat in A de helling van het lijnstuk SA gelijk is aan de helling van de parabool.

Vraag 15 4 punten

Onderzoek op exacte wijze of er wel of geen knik is in het punt A.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De helling van lijnstuk AS is 4 12 (1)
  • De afgeleide van de formule van de parabool is = −6 34 x + 6 34 (1)
  • De helling van de parabool in het punt A is − 6 34 · 13 + 6 43 = 4 12 (1)
  • (De hellingen zijn gelijk, dus) er is geen knik (1)

Afstand tussen lijnen en punt

De lijn l wordt gegeven door de vergelijking y = 12 x . De lijn k ontstaat door l één recht omhoog te schuiven. Het punt P bevindt zich onder l.

De afstand tussen l en P is 3. Zie de figuur.

figuur

Vraag 16 6 punten

Bereken algebraïsch de afstand tussen k en P. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Gebruik van de rechthoekige driehoek ABC met A en B op l en C op k zodanig dat BC ⊥ AB en AC = 1 (1p)
  • Voor de hellingshoek α van lijn l geldt tan ( α ) = 12 (dus α = 26,565...(°) ) (1p)
  • Dus ∠BAC = 90
    • α = 63, 434...(°) (1) BC
  • Er geldt sin(63, 434...°) = (1) 1

Opmerking Als een kandidaat d(k,l) niet of onjuist heeft berekend, maar wel het inzicht toont dat d(P,k) gelijk is aan d(k,l)+3, mag het laatste scorepunt worden toegekend.

Dalen, stijgen en stijgen

x De functie f wordt gegeven door f ( x) = 3 ·1,12 + 5sin(2π( x + 14 )) . De functie f is de som van de exponentiële functie g, gegeven door g ( x) = 3 ·1,12 x , en de periodieke functie h, gegeven door h( x) = 5sin(2π( x + 14 )) .

In figuur 1 zijn voor x ≥ 0 de grafieken van f en h weergegeven met daarop de punten A en B.

[figuur 1: zie het originele examen]

De functie h heeft maxima en minima. Hierdoor heeft de functie f ook maxima en minima.

Geteld vanaf de y-as wordt in punt A het 14e minimum van f bereikt en in punt B het 14e minimum van h. De x-coördinaat van A is afgerond op drie decimalen 13,492.

Het lijkt alsof de x-coördinaten van A en B gelijk zijn.

Vraag 17 5 punten

Onderzoek op algebraïsche wijze of dit zo is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De periode van h is ( 22 ππ =)1 (1p)
  • Bij x =
    • 14 gaat de grafiek van h door de evenwichtsstand (1)
  • Het uitrekenen van een x-coördinaat horende bij een minimum van h (bijvoorbeeld bij het eerste minimum
    • 14 + 34 ·1 = 12 ) (1)

Het snijpunt van de grafiek van f met de y-as is (0, f (0)) en dus is de vergelijking van de horizontale lijn door dit punt y = f (0) . Voor x > 0 zal de grafiek van f de lijn met vergelijking y = f (0) op meerdere plaatsen snijden. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Vanaf een bepaalde waarde van x snijden de grafiek van f en de lijn elkaar niet meer. Het snijpunt met de grootste x-coördinaat bevindt zich links van punt A.

Vraag 18 3 punten

Bereken de x-coördinaat van dit snijpunt. Geef je antwoord in twee decimalen. figuur 3 In eerste instantie is de grafiek van f afwisselend dalend en stijgend. Vanaf een bepaalde waarde van x is de grafiek van f alleen nog maar stijgend. De laatste twee dalingen vinden in het interval [38, 40] plaats.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De vergelijking f ( x) = f (0) (of f ( x) = 8 ) moet worden opgelost (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
  • De gevraagde x -coördinaat is 12,57 (1)

Tijdens elke daling van hoogste naar laagste punt is er een punt op de grafiek van f waar de grafiek het sterkst daalt. In zo’n punt is de helling op dat dalende stuk dus minimaal. Op het laatste dalende stuk is dat in het punt P. Zie figuur 3.

Vraag 19 3 punten

Bereken de x-coördinaat van P. Licht je werkwijze toe. Geef je antwoord in één decimaal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • Een toelichting hoe met de GR de grafiek van de afgeleide van f kan worden geplot (1)
  • Beschrijven hoe met de GR de x-coördinaat van P kan worden gevonden (1)
  • De x-coördinaat van P is 39,2 (1)

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen havo Wiskunde B 2023, tijdvak 2. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2023/havo/documenten/cse-2/ha-1025-a-23-2-o

Andere examens wiskunde B havo

Hoe ToetsChecker wiskunde B per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde B toetsen nakijken met AI.

Veelgestelde vragen

Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2?

Het centraal examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2 loopt tot vraag 19. Van 17 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over meetkunde met coördinaten (6), differentiëren (4) en functies en grafieken (3).

Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2?

Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.

Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B havo 2023, tijdvak 2?

Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2023/havo/documenten/cse-2/ha-1025-a-23-2-c).

Hoe oefen ik met het examen wiskunde B havo 2023, tijdvak 2 en krijg ik feedback?

Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.