Eindexamen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2: vragen en antwoorden
Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Raken aan de x-as, Sloeproeien, Een exponentiële functie, Een wortelfunctie, Zonnepanelen, Twee driehoeken, Punten op een cirkelboog.
Het centraal examen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2 loopt tot vraag 16. Van 15 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over meetkunde met coördinaten (4), goniometrische functies (4) en exponentiële en logaritmische functies (2). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.
Onderwerpen in dit examen
| Onderwerp | Vragen | Aantal |
|---|---|---|
| Meetkunde met coördinaten | 1-2, 14-15 | 4 |
| Goniometrische functies | 11-13, 16 | 4 |
| Exponentiële en logaritmische functies | 6-7 | 2 |
| Differentiëren | 4 | 1 |
| Bewijzen | 5 | 1 |
| Functies en grafieken | 8 | 1 |
| Vergelijkingen en ongelijkheden | 9 | 1 |
| Vectoren | 10 | 1 |
Vergeleken met andere jaren
Vergeleken met de andere 17 examens wiskunde B havo sinds 2018: dit examen vroeg meer over goniometrische functies (27% van de vragen, gemiddeld 12%) en vectoren (7% van de vragen, gemiddeld 0%). Minder over functies en grafieken (7% van de vragen, gemiddeld 25%).
Opgaven en correctievoorschrift
De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.
Oefenen als leerling
Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.
Nakijken als docent
Start gratis vanaf deze pagina
Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.
Laat de klas het examen maken
Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.
Geef de resultaten vrij
Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.
ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.
Vragen en antwoorden
Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.
Raken aan de x-as
3 2 De functie f wordt gegeven door f ( x) = x
- 9 x + 24 x
- 16 .
De grafiek van f heeft twee toppen.
De rechter top ligt op de x-as.
Vraag 1 5 punten
Bewijs dit.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- f ' ( x) = 3x 2 − 18 x + 24 (1)
- In de toppen geldt 3 x 2 − 18 x + 24 = 0 (of x 2 − 6 x + 8 = 0 ) (1)
- Beschrijven hoe deze vergelijking exact kan worden opgelost (1)
- Dit geeft x = 2 of x = 4 (1)
- De y-coördinaat van de rechter top is f (4) = 0 (dus de rechter top ligt op de x-as) (1)
Verder worden de volgende twee raaklijnen aan de grafiek van f gegeven:
- lijn k met vergelijking y = 9 x
- 41 ;
- lijn l met vergelijking 3 x + y = 11 . Lijnen k en l snijden elkaar in punt S. De cirkel c heeft middelpunt S en raakt de x-as. Zie de figuur.
figuur
Vraag 2 5 punten
Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- • In punt S geldt 3 x + 9 x − 41 = 11 (of 9 x − 41 = − 3 x + 11 ) (1) • Hieruit volgt xS = 133 1 • yS = (9 · 13 3 − 41 = ) − 2 (1) • (c raakt de x-as dus) de straal van c is 2 (1) • ( Een vergelijking van c is x − 3 ) + ( y + 2)2 = 4 13 2 1 (5)
Sloeproeien
Bij een wedstrijd sloeproeien wordt er foto geroeid in houten sloepen. Zie de foto.
Bij zo’n wedstrijd kunnen de vorm en de grootte van de sloepen en het aantal roeiers per sloep verschillen. Hiermee wordt rekening gehouden bij het bepalen van de uitslag van de wedstrijd.
De sloep waarin het gemiddelde geleverde vermogen P per roeier het grootst is, wint. De waarde van P wordt na afloop van de wedstrijd als volgt berekend:
Eerst wordt op basis van de tijd die een sloep nodig had om de wedstrijdafstand af te leggen de gemiddelde snelheid v van de sloep berekend.
Daarna wordt voor de sloep een waarde W berekend die aangeeft hoe makkelijk of moeilijk de sloep door het water glijdt. De waarde van W is afhankelijk van de vorm van de sloep en de gemiddelde snelheid van de sloep. Er geldt: A W= (formule 1)
1
- B · v2 Hierin zijn A en B constanten die afhankelijk zijn van de vorm van de sloep en is v de gemiddelde snelheid van de sloep in m/s.
Ten slotte wordt het gemiddelde geleverde vermogen P per roeier in watt berekend: 1 P= ·W · v3 (formule 2) n Hierin is n het aantal roeiers in de sloep, W de waarde die volgt uit formule 1 en v de gemiddelde snelheid van de sloep in m/s.
Bij een wedstrijd hebben de roeiers in sloep 1 en sloep 2 een afstand van 17,3 km geroeid. Na afloop van de wedstrijd wordt voor beide sloepen de waarde van P berekend. De sloep met de hoogste waarde wint. Voor sloep 1 is de waarde van P al berekend. Zie de tabel.
tabel sloep n A B v (m/s) P (watt)
1 8 21,36 0,05 2,62 73,1
2 10 23,04 0,08 … …
Sloep 2 heeft de afstand van 17,3 km afgelegd in een tijd van
1 uur, 53 minuten en 58 seconden.
Vraag 3 4 punten
Onderzoek welk van de twee sloepen de wedstrijd heeft gewonnen.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- 1 uur, 53 minuten en 58 seconden komt overeen met 6838 seconden (1)
- Voor sloep 2 geldt v = (= 2,52...) (m/s) (1)
- Invullen geeft W = (= 47, 21...) (1)
- Voor sloep 2 geldt dan P = ( · 47, 21... · 2,52...3 =)76, 4... (watt); (dit is 10 meer dan 73,1 watt en) dus heeft sloep 2 de wedstrijd gewonnen (1)
Stel dat een van de acht roeiers in sloep 1 niet mee roeit maar alleen stuurt en dat voor de overige zeven roeiers het gemiddelde geleverde vermogen P per roeier 73,1 watt blijft. Volgens de formules zou dan de gemiddelde snelheid van deze sloep - met nu dus zeven roeiers - lager zijn dan de 2,62 m/s in de tabel.
Vraag 4 3 punten
Bereken de gemiddelde snelheid van sloep 1 in m/s in deze situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- 1 21,36 • Er geldt 73,1 = · (2) · v3 (1) 7 1 − 0, 05 · v • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1) • (Dit geeft v = 2,533... dus) de gevraagde waarde van v is 2,53 (m/s) (1) (3)
De gemiddelde snelheid v van sloep 1 ligt ook tijdens andere wedstrijden tussen 2 en 3 m/s. Voor de waarde W van sloep 1 geldt: 21,36 W= (formule 3)
1
- 0,05 · v 2 Met formule 3 kan voor sloep 1 beredeneerd worden dat hoe groter de waarde van v is, hoe groter de waarde van W is.
Vraag 5 3 punten
Geef deze redenering. Het geven van een getallenvoorbeeld of een verwijzing naar een grafiek is niet voldoende.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- (In deze situatie geldt:) als v groter wordt, dan wordt v2 ook groter (1)
- Als v2 groter wordt, dan wordt 1 − 0,05 · v2 kleiner (maar blijft in de gegeven situatie wel groter dan nul) (1)
- Als 1 − 0,05 · v2 kleiner wordt, dan wordt groter (en dus 1 − 0, 05 · v 2 wordt de waarde van W groter) (1)
Een exponentiële functie
( 13 ) x −2 De functie f wordt gegeven door f ( x) = .
Op de grafiek van f ligt punt A met y-coördinaat 4. p De x-coördinaat van A kan geschreven worden in de vorm x = log(q) .
Vraag 6 3 punten
Bereken exact mogelijke waarden van p en q.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- ( 13 ) x− 2 = 4 en dit geeft x − 2 = 3 log(4) 1 • In punt A geldt (1) • Hieruit volgt x = 3 log(4) + 2 en dan x = 3 log(4) + 3 log ( 13 ) 1 1 (1) ( ) 2 1 Dit geeft x = 3 log ( 4 · 19 ) = 3 log ( 94 ) (dus p = 13 en q = 94 ) 1 (1) • (1) of ( 13 ) = 4 en dan ( 13 ) · ( 13 ) x− 2 x −2 • In punt A geldt =4 (1) ( ) = 4 volgt ( 13 ) = 94 x x • Uit 9 · 13 (1) Dit geeft x = log ( 94 ) (dus p = 13 en q = 94 ) 1 • (3) 1 of ( 13 ) x− 2 • In punt A geldt = 4 en dan 3− x · 32 = 4 (1) • Uit 9 · 3− x = 4 volgt 3− x = 94 (1) • ( ) ( ) Dit geeft x = − 3 log 94 = 3 log 94 (dus p = 3 en q = 94 ) (1) (3)
Op de grafiek van f ligt het punt B zodanig dat B de rechterbovenhoek is van een vierkant waarvan twee zijden samenvallen met de assen. De oorsprong O (0, 0) is de linkeronderhoek van dit vierkant. Zie de figuur.
figuur
Vraag 7 4 punten
Bereken de oppervlakte van het vierkant. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- In punt B geldt =x (1)
- Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
- Dit geeft x = 1,58... (1)
- 1,58...2 = 2,50... dus de gevraagde waarde van de oppervlakte is 2,5 (1)
x De grafiek van f ontstaat door op de standaardgrafiek met formule y = 3 de volgende twee transformaties toe te passen:
- eerst een horizontale verschuiving 2 naar links;
- dan een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met -1.
Vraag 8 3 punten
Bewijs dat de grafiek van f inderdaad ontstaat door op deze standaardgrafiek de twee genoemde transformaties toe te passen.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- Na de verschuiving hoort bij de grafiek de vergelijking y = 3x+2 (1)
- Na de vermenigvuldiging hoort bij de grafiek de vergelijking y = 3− x+2 (1)
- y = 3− x + 2 = 3−1 (en deze vergelijking hoort bij de grafiek van f ) (1)
Een wortelfunctie
De functie f wordt gegeven door f ( x) = −16 + 32 x + 576 .
De grafiek van f heeft randpunt A en snijdt de y-as in het punt B. Verder is gegeven het punt C (0;
- 10,75) . Zie figuur 1.
[figuur 1: zie het originele examen]
Er geldt: AC = BC
Vraag 9 6 punten
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- Voor x A geldt 32 x + 576 = 0 (1)
- Dit geeft x A = −18 (1)
- y A = f (−18) = −16 (1)
- AC = 182 + 5, 252 = 18, 75 (1)
- yB = f (0) = 8 (1)
- BC = ( yB − yC =)8 − −10, 75 = 18, 75 (en dus geldt AC = BC ) (1)
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt D. De lijn l gaat door de punten
C en D en de lijn m raakt de grafiek van f in D. Zie figuur 2.
[figuur 2: zie het originele examen]
De hoek tussen l en m is net geen 90° .
Vraag 10 8 punten
Bereken op algebraïsche wijze de scherpe hoek in graden tussen l en m. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- • Voor xD geldt −16 + 32 x + 576 = 0 en dus 32 x + 576 = 16 (1) • Uit 32 x + 576 = 256 volgt dan xD = −10 (1) • rcl = −10,75 10 1 • De afgeleide van 32 x + 576 is 32 (1) 32 • f ' ( x) = (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) 2 32 x + 576 • rcm = f ' (−10) = 1 (1) • Voor de hoeken α en β die l en m met de x-as maken geldt tan(α ) = −10,75 10 en tan(β) = 1 (1) • (Dit geeft α = −47, 07...° en β = 45 ° en uit 180 − 47, 07... − 45 volgt) de gevraagde hoek: 87,9(°) (1) (8)
Zonnepanelen
De hoeveelheid energie die een zonnepaneel ontvangt, is afhankelijk van de dag in het jaar en de hellingshoek van het paneel.
Gedurende een jaar is door een weerstation elke dag de hoeveelheid ontvangen energie E (in Wh) gemeten. Bij deze metingen is een zo passend mogelijk model opgesteld. In figuur 1 is de bijbehorende grafiek getekend. Hierbij is E uitgezet tegen de tijd t in dagen met t = 0 op
1 januari.
[figuur 1: zie het originele examen]
De formule die bij het model hoort heeft een periode van 365 dagen en ziet er als volgt uit:
E = p · sin( q · (t
- r )) + s (formule 1)
Vraag 11 5 punten
Bepaal mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef de waarde van q in vier decimalen en de waarden van p, r en s als geheel getal.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
Opmerkingen
- Wanneer voor het maximum een andere waarde in het interval [8050,8200] en/of voor het minimum een andere waarde in het interval [1050,1200] wordt afgelezen, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.
- Wanneer voor de waarde van r een andere waarde in het interval [76,86] wordt afgelezen, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.
Zonnepanelen worden ten opzichte van de foto grond onder een bepaalde hellingshoek h geplaatst. Zie de foto.
Om een verband te vinden tussen deze hellingshoek h en de hoeveelheid ontvangen energie, heeft een onderzoeker tien dezelfde zonnepanelen naast elkaar geplaatst, elk onder een verschillende hoek h. Vervolgens heeft hij gemeten hoeveel energie elk zonnepaneel een jaar lang ontvangen heeft. Deze hoeveelheid per zonnepaneel heeft hij vergeleken met de hoeveelheid bij het zonnepaneel met h = 0 . De resultaten van zijn onderzoek zijn weergegeven in figuur 2.
[figuur 2: zie het originele examen]
In figuur 2 is af te lezen dat bij een hellingshoek van 30 graden de zogenaamde ‘tiltfactor’ 1,11 is. Dit betekent dat het zonnepaneel met h = 30 in een jaar tijd 11 procent meer energie heeft ontvangen dan het zonnepaneel met h = 0 .
Het zonnepaneel met h = 90 heeft de minste energie ontvangen.
Vraag 12 3 punten
Bereken met behulp van figuur 2 hoeveel procent minder energie dit zonnepaneel heeft ontvangen ten opzichte van de optimale situatie met h = 30 . Geef je eindantwoord in één decimaal.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
Opmerking Wanneer voor de tiltfactor een andere waarde in het interval [0,75;0,77] wordt afgelezen, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.
Het verband tussen de tiltfactor T en de hellingshoek h in graden kan voor hellingshoeken tussen 0 en 50 graden benaderd worden door een formule van de vorm: T = a · h2 + b · h + 1 (formule 2) Hierin zijn a en b constanten.
We nemen aan dat de grafiek die bij formule 2 hoort de top (30; 1,11) heeft. Op basis van alleen deze top liggen de waarden van a en b in formule 2 vast. (Verder lezen we dus geen punten af.)
Vraag 13 5 punten
Bereken op algebraïsche wijze deze waarden van a en b. Geef je eindantwoorden in vier decimalen.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- Uit 0 = 2 a · 30 + b volgt (bijvoorbeeld) b =
- 60 a (1)
Twee driehoeken
Gegeven is driehoek ABC met AB = 6 en BC = 5 . Verder is gegeven driehoek CDE met CD = 2 , DE = 3 en CE = 4 . Punt C is het snijpunt van lijnstuk AD en lijnstuk BE. Zie de figuur.
figuur
Zijde AC is de enige zijde waarvan de lengte onbekend is.
Vraag 14 7 punten
Bereken op algebraïsche wijze de lengte van deze zijde AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- ∠DCE = 46,56...(°) en dus ook ∠ACB = 46,56...(°) (1) sin(∠BAC ) sin(46,56...°)
- In driehoek ABC geldt = (1p)
5 (6) sin(46,56...°)
- Uit sin(∠BAC ) = 5 · volgt ∠BAC = 37, 23...(°) (1) 6
- Beschrijven hoe de lengte van zijde AC algebraïsch kan worden berekend (1p)
Punten op een cirkelboog
De functie f wordt gegeven door f ( x) = x(4
- x) .
Op de grafiek van f ligt een punt A met x-coördinaat a. De coördinaten ( ) van punt A zijn dus a, a(4
- a) . Tussen oorsprong O en punt A is een lijnstuk getekend. Zie figuur 1. [figuur 1: zie het originele examen]
De helling van lijnstuk OA is 12 .
Vraag 15 5 punten
Bereken exact de x-coördinaat van A.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
Voorbeeld uit het correctievoorschrift:
- (Een vergelijking van de lijn door O en A is y = 12 x dus) in punt A geldt
1 x= x (4
- x ) (1) 2
De grafiek van f valt samen met de bovenste helft van een cirkel met middelpunt M (2,0) en straal 2. In figuur 2 is de grafiek van f nogmaals weergegeven, maar nu met daarop een ander punt, punt B. Bovendien is hierin het gebied onder de grafiek van f én boven lijnstuk OB grijs gemaakt. Verder geldt α = ∠OMB . [figuur 2: zie het originele examen]
Voor de oppervlakte S van het grijze gebied geldt: S = 2α
- 2sin(α ) met α in radialen De positie van punt B is zo gekozen dat oppervlakte S de helft is van de oppervlakte van de halve cirkel.
Vraag 16 5 punten
Bereken hoek α in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.
Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven
Bekijk het antwoord
- De oppervlakte van een cirkel met straal 2 is π · 2 2 (dus de oppervlakte van de halve cirkel is 2 π ) (1)
- Er geldt dus 2α − 2 sin(α ) = 12 · 2π( = π) (1)
- Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
- Dit geeft α = 2,309... (rad) (1)
- De gevraagde waarde van α is 132 (°) (1)
Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen havo Wiskunde B 2025, tijdvak 2. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2025/havo/documenten/cse-2/ha-1025-a-25-2-o
Andere examens wiskunde B havo
- 2026, tijdvak 1
- 2026, tijdvak 2
- 2025, tijdvak 1
- 2024, tijdvak 1
- 2024, tijdvak 2
- 2023, tijdvak 1
- 2023, tijdvak 2
- 2022, tijdvak 1
- 2022, tijdvak 2
- 2022, tijdvak 3
- 2021, tijdvak 1
- 2021, tijdvak 2
- 2021, tijdvak 3
- 2019, tijdvak 1
- 2019, tijdvak 2
- 2018, tijdvak 1
- 2018, tijdvak 2
Hoe ToetsChecker wiskunde B per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde B toetsen nakijken met AI.
Veelgestelde vragen
Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2?
Het centraal examen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2 loopt tot vraag 16. Van 15 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over meetkunde met coördinaten (4), goniometrische functies (4) en exponentiële en logaritmische functies (2).
Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2?
Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.
Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B havo 2025, tijdvak 2?
Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2025/havo/documenten/cse-2/ha-1025-a-25-2-c). Bij dit examen hoort ook een aanvulling op het correctievoorschrift.
Hoe oefen ik met het examen wiskunde B havo 2025, tijdvak 2 en krijg ik feedback?
Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.