Eindexamen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3: vragen en antwoorden

Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Zuigflesje, Hyperbool met cirkels, Het rendement van warmtemotoren, Cosinus en lijnen, Wortelfunctie, Brug, Ingeschreven cirkel, Exponentiële functie.

Kort antwoord

Het centraal examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3 loopt tot vraag 18. Van 15 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over functies en grafieken (4), exponentiële en logaritmische functies (3) en differentiëren (2). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.

Onderwerpen in dit examen

Onderwerp per vraag in het centraal examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3, voor de vragen waarvan het onderwerp bekend is. Elke vraag is eenmalig door een AI-model bij een onderwerp ingedeeld; per vraag kan dat afwijken.
OnderwerpVragenAantal
Functies en grafieken2, 12-144
Exponentiële en logaritmische functies9, 17-183
Differentiëren1, 32
Bewijzen4-52
Goniometrische functies10-112
Meetkunde met coördinaten15-162

Vergeleken met andere jaren

Vergeleken met de andere 17 examens wiskunde B havo sinds 2018: dit examen vroeg meer over bewijzen (13% van de vragen, gemiddeld 6%). Minder over vergelijkingen en ongelijkheden (0% van de vragen, gemiddeld 9%) en meetkunde met coördinaten (13% van de vragen, gemiddeld 21%).

Opgaven en correctievoorschrift

De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.

Oefenen als leerling

Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.

Nakijken als docent

  1. Start gratis vanaf deze pagina

    Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.

  2. Laat de klas het examen maken

    Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.

  3. Geef de resultaten vrij

    Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.

ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.

Vragen en antwoorden

Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.

Zuigflesje

Zuigflesjes voor baby’s hebben soms bijzondere vormen. Op de foto is goed de gebogen vorm van zo’n zuigflesje te zien.

foto

In deze opgave bekijken we een model van het vooraanzicht van het doorzichtige deel van het zuigflesje op de foto. In dit model zijn alle maten in cm.

In het model is de bovenrand van het zuigflesje de grafiek van een functie f, en de onderrand van het zuigflesje de grafiek van een functie g. De functies f en g worden voor 0 ≤ x ≤ 11 gegeven door: f ( x ) = −0,01x 3 + 0, 20 x 2

  • 1, 06 x + 6, 44 g ( x ) = −0, 01x 3 + 0,16 x 2
  • 0,50 x + 0, 44 In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend.

[figuur 1: zie het originele examen]

De verticale afstand d ( x) = f ( x)

  • g ( x) is niet voor elke waarde van x gelijk.

Vraag 1 4 punten

Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de verticale afstand d het kleinst is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking In het tweede antwoordalternatief voor het tweede antwoordelement uitsluitend 0 of 2 scorepunten toekennen.

Op de foto is midden op het zuigflesje een gebogen lijn te zien. Hierop zijn maatstreepjes aangebracht. In het model is deze lijn de grafiek van een functie h. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Voor elke x is h ( x ) het gemiddelde van f ( x ) en g ( x ) .

Vraag 2 3 punten

Geef een functievoorschrift van h. Schrijf dit functievoorschrift zo eenvoudig mogelijk.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • f ( x) + g ( x) • Er geldt h ( x ) = (1) 2 −0, 02 x3 + 0,36 x 2 − 1,56 x + 6,88 • Ingevuld wordt dit h ( x ) = (1) 2 • Dit geeft h ( x ) = −0, 01x + 0,18 x − 0, 78 x + 3, 44 3 (2) 1 (3)

Hyperbool met cirkels

−6 De functie f is gegeven door f ( x ) = + 2. 2x

  • 3 Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A ( 3, 0 ) en lijn m is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt B ( 0, 4 ) . Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

De twee raaklijnen hebben allebei richtingscoëfficiënt 43 .

Vraag 3 4 punten

Toon dit met behulp van differentiëren aan.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Voor het eerste antwoordelement uitsluitend 0 of 2 scorepunten toekennen.

Cirkel c1 raakt l in A. Bovendien raakt c1 aan m. Punt M1 is het middelpunt van c1 . Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

De coördinaten van M1 zijn ( 2725 , 3625 ) .

Vraag 4 6 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • • ( rcn · 43 = −1 met n de lijn door A loodrecht op m dus) rc n = − 34 (dus n heeft een vergelijking van de vorm y = − 34 x + b ) (1) • Invullen van de coördinaten van A ( 3, 0 ) in y = − 34 x + b geeft b = 94 (dus een vergelijking van n is y = − 34 x + 94 ) (1) • Een vergelijking van m is y = 43 x + 4 (1) • Uit 43 x + 4 = − 43 x + 94 volgt x = − 25 21 (1) • x = − 25 21 invullen in y = − 3 x + 9 (of in y = 4 x + 4 ) geeft y = 72 4 4 3 (25) 1 3 + − 25 21 0 + 72 • Het midden tussen A ( 3, 0 ) en ( − 25 ) 21 , 72 is , (25) (en dit is 25 2 (2) inderdaad M1 ) (1) (6)

M1 ligt op de lijn k met vergelijking y = 43 x .

2 2 Cirkel c2 is gegeven door de vergelijking x + y

  • 3x
  • 4 y = 0 .

Vraag 5 3 punten

Bewijs dat het middelpunt van c2 ook op k ligt.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • ( ) − 94 + ( y − 2)2 − 4 = 0 (dus c2 heeft een 2 • x 2 + y 2 − 3 x − 4 y = 0 geeft x − 32 ( ) + ( y − 2 )2 = r 2 ) 2 vergelijking van de vorm x − 32 (1) • De coördinaten van het middelpunt van c2 zijn dus ( 32 , 2 ) (1) • 4 · 3 = 2 (dus het middelpunt van c ligt op k) (1) 3 2 (2) (3)

Het rendement van warmtemotoren

In een warmtemotor, bijvoorbeeld de motor van een auto, wordt de totale hoeveelheid energie die in brandstof aanwezig is nooit helemaal omgezet in bewegingsenergie. Het rendement van een warmtemotor is het percentage van de totale hoeveelheid energie dat wel wordt omgezet in bewegingsenergie.

Door technische vooruitgang neemt het rendement van warmtemotoren toe. Men gaat ervan uit dat deze ontwikkeling zich de komende jaren blijft voortzetten.

Om deze groei van het rendement in de tijd te onderzoeken, gebruikten de Amerikaan Ausubel en de Italiaan Marchetti de formule R K = log (1)

100

  • R Hierin is R het rendement in procenten.

Vraag 6 3 punten

Leg met behulp van formule (1) uit dat een toename van R zorgt voor een toename van K.

Bekijk het antwoord
  • Als R groter wordt, wordt 100 − R kleiner (1)
  • Omdat de teller groter wordt en de noemer kleiner, wordt de breuk R groter (1)
  • (Het grondtal van de logaritme is groter dan 1) dus log neemt 100 − R toe (dus K neemt toe) (1)

In de figuur hieronder, afkomstig uit een artikel van Ausubel en Marchetti, is voor verschillende warmtemotoren (vaak aangeduid met de naam van de uitvinder) K uitgezet tegen het jaartal waarin deze uitgevonden zijn. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur

In de figuur is te zien dat de warmtemotor die Charles Parsons aan het begin van de twintigste eeuw ontwikkelde een

  • voor die tijd
  • zeer hoog rendement had.

Vraag 7 4 punten

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het rendement van deze warmtemotor in procenten. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Als een kandidaat voor K een andere waarde heeft afgelezen tussen –0,55 en –0,45, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

In de figuur is een lijn weergegeven die de ontwikkeling van het rendement van warmtemotoren benadert. Bij deze lijn hoort de formule K = 0,00667t

  • 2 (2) Hierin is t het aantal jaren na 1700.

Men gaat ervan uit dat in de toekomst een rendement van 70% haalbaar is.

Vraag 8 4 punten

Bereken in welk jaar dit rendement voor het eerst behaald zal worden.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Het antwoord 2055 ook goed rekenen.

Met behulp van formules (1) en (2) kan R uitgedrukt worden in t.

Vraag 9 5 punten

Druk R uit in t.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • (Formules (1) en (2) combineren geeft) log = 0, 00667t − 2 (1)
  • Hieruit volgt = 100,00667t −2 (1)
  • Dit geeft R = (100 − R ) ·100,00667t − 2 (1)
  • ( ) Dus 1 + 100,00667t −2 R = 100 ·100,00667t −2 (1)
  • Hieruit volgt R = 100 · (of een gelijkwaardige 1 + 100,00667t −2 uitdrukking) (1)

Cosinus en lijnen

Op het domein [ 0, 3] is de functie f gegeven door f ( x ) = 2cos ( 3x ) . Het punt A is het meest links gelegen snijpunt van de grafiek van f en de lijn met vergelijking y = 3 . Lijn k gaat door O en A. Zie figuur 1. figuur 1

18 3 De richtingscoëfficiënt van k is . π

Vraag 10 4 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De vergelijking 2 cos ( 3 x ) = 3 moet worden opgelost (1)
  • Dit geeft cos ( 3 x ) = 12 3 waaruit volgt 3x = 16 π ( + k · 2π ) (of 3x = − 16 π ( + k · 2π )) (1)
  • Dus voor de x-coördinaat van A geldt x = 18 1 π (1)
  • De richtingscoëfficiënt van k is 1 π = (1)

Het punt T is de meest rechts gelegen figuur 2 top van de grafiek van f. Lijn l gaat door O en T. Zie figuur 2.

Vraag 11 7 punten

Bereken algebraïsch ∠AOT in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De tangens van de hoek die k maakt met de x-as is (1)
  • De hoek die k maakt met de x-as is 84, 24...° (1)
  • (De periode van f is 23 π dus) de x-coördinaat van T is 23 π (1)
  • (De amplitude van de grafiek van f is 2 dus) de y-coördinaat van T is 2 (1)
  • De richtingscoëfficiënt van l is 2 (1)
  • De hoek die l maakt met de x-as is 43,67...° (1)
  • Dan is de gevraagde hoek ( 84, 24...° − 43,67...° = 40,56...° , dit is afgerond op hele graden) 41° (1)

Wortelfunctie

De functie f is gegeven door f ( x ) = x . Het punt A (1, 1) ligt op de grafiek van f. Lijn k is de horizontale lijn door A. Deze lijn snijdt de y-as in het punt S.

We bekijken nu een functie g met de volgende kenmerken:

  • de grafiek van g gaat door het midden M van lijnstuk AS;
  • de grafiek van g kan uit de grafiek van f ontstaan door middel van een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as;
  • de grafiek van g kan ook uit de grafiek van f ontstaan door middel van een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as. Lijn l is de verticale lijn door A. Deze lijn snijdt de grafiek van g in het punt N. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Vraag 12 4 punten

Bereken exact de y-coördinaat van N.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • • De coördinaten van M zijn ( 12 , 1) (1) • Er geldt g ( x ) = a · f ( x ) = a x (1) a 1 =1 • (2) 1 • Hieruit volgt a = 2 (of een gelijkwaardige uitdrukking), dus de y-coördinaat van N is ( 2 ·1 = ) 2 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) of • De coördinaten van M zijn ( 12 , 1) (1) • Er geldt g ( x ) = f ( a · x ) = a · x (1) 1 • a = 1 (= 2) (1) 2 • Dus de y-coördinaat van N is ( 2 ·1 = ) 2 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) (4)

( ) Punt B b, b met b > 0 ligt op de grafiek van f, zodanig dat OA = AB . Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Vraag 13 4 punten

Bereken b. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • OA = 12 + 12 = 2 (1)
  • AB = ( (1)
  • Beschrijven hoe de vergelijking worden (1)
  • Het gevraagde antwoord is 2,31 (1)

Brug

Op de foto is een boogbrug te zien. De vorm van de onderrand van de boog van de brug wordt benaderd met behulp van een wiskundig model.

foto

In de figuur hieronder is de onderrand van de boog schematisch weergegeven.

figuur

In deze figuur is x de lengte in meters van het wegdek gemeten vanaf het meest linkse punt van de brug en y de hoogte in meters van de onderrand van de boog ten opzichte van het wegdek. We nemen aan dat de onderrand van de boog begint en eindigt op het wegdek.

De onderrand van de boog begint bij x = 1, 4 in punt P en eindigt bij x = 12,0 in punt Q. Het hoogste punt is T bij x = 4,1 en y = 2, 4 .

De boog kan benaderd worden met een formule van de vorm c y = a x + b + . x

Vraag 14 7 punten

Bereken algebraïsch de waarden van a, b en c. Geef je eindantwoord zo nodig in twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • • P en Q invullen in de formule geeft het stelsel c 0 = 1, 4 + b + 1, 4 1 0 = 12, 0 + b + c 12, 0 c c • Hieruit volgt 1, 4 + = 12, 0 + (1) 1, 4 12, 0 • Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden (1) • Dit geeft c = 16,8 (1) • Hieruit volgt b = −13, 4 (1) 16,8 • Het punt T ( 4,1; 2, 4 ) invullen in y = a x − 13, 4 + geeft x 16,8 2, 4 = a 4,1 − 13, 4 + (1) 4,1 • (Hieruit volgt a = −0, 46... ) dus de gevraagde waarde van a is −0,5 (1) of dy ac • =a− 2 (1) dx x dy • = 0 geeft x = c (1) dx • (Omdat het hoogste punt T is, volgt c = 4,1 dus c = 16,81 , dus) de gevraagde waarde van c is 16,8 (1) 16,81 • P invullen in de formule geeft a 1, 4 + b + =0 (1) 1, 4 • ( b = −13, 40... ) dus de gevraagde waarde van b is −13, 4 (1) 16,81 • Het punt T ( 4,1; 2, 4 ) invullen geeft 2, 4 = a 4,1 − 13, 40... + (1) 4,1 • (Hieruit volgt a = −0, 46... ) dus de gevraagde waarde van a is −0,5 (1) of dy ac • =a− 2 (1) dx x dy • = 0 geeft x = c (1) dx • (Omdat het hoogste punt T is, volgt c = 4,1 dus c = 16,81 , dus) de gevraagde waarde van c is 16,8 (1) 16,81 • Q invullen in de formule geeft a 12, 0 + b + =0 (1) 12, 0 • ( b = −13, 40... ) dus de gevraagde waarde van b is −13, 4 (1) 16,81 • Het punt T ( 4,1; 2, 4 ) invullen geeft 2, 4 = a 4,1 − 13, 40... + (1) 4,1 • (Hieruit volgt a = −0, 46... ) dus de gevraagde waarde van a is −0,5 (1) (7)

Ingeschreven cirkel

De ingeschreven cirkel van een driehoek ABC is de cirkel die raakt aan alle zijden van de driehoek. Het punt M is het middelpunt van deze cirkel en r is de straal van deze cirkel. Zie figuur 1.

figuur 1 figuur 2

Elke driehoek ABC kan met behulp van punt M in drie aparte driehoeken AMB, BMC en AMC worden verdeeld. Zie figuur 2.

Wanneer we de zijden AB, BC en AC als basis kiezen voor respectievelijk de driehoeken AMB, BMC en AMC, dan is r de bijbehorende hoogte van elk van deze driehoeken. Voor elke driehoek ABC kan de oppervlakte G daarom worden uitgedrukt in de omtrek P van de driehoek en de straal r van de ingeschreven cirkel van de driehoek.

Er geldt: G = 12 · P · r

Vraag 15 3 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • Er geldt G = 12 · AB · r + 12 · BC · r + 12 · AC · r (1)
  • P = AB + BC + AC (1)
  • G = 12 · ( AB + BC + AC ) · r (dus G = 12 · P · r ) (1)

We bekijken nu een driehoek ABC met zijden AB = 14 , BC = 13 en AC = 15 .

Vraag 16 6 punten

Bereken de straal van de ingeschreven cirkel van deze driehoek. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • Er geldt 132 = 14 2 + 152 − 2 ·14 ·15 · cos ( ∠ A ) (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden (1)
  • Dit geeft ∠A = 53,13...° (1)
  • De oppervlakte van driehoek ABC is 12 ·14 · sin ( ∠A) ·15 (1)
  • Dit geeft G = 84 (of G ≈ 84 ) (1)
  • Hieruit volgt r = = =4 (1)

Exponentiële functie

( De functie f is gegeven door f ( x ) = 19 · 3 2 + 27 . Zie de figuur. −1 x ) figuur

Op het domein [ a, −4] is het bereik van f gelijk aan [ 4, 16] .

Er geldt, afgerond op twee decimalen: a ≈ −8,67 .

Vraag 17 4 punten

Bereken a exact.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Als een kandidaat rekent met f ( a ) = 4 , voor deze vraag ten hoogste

1 scorepunt toekennen.

x+ 4 1 Een ander functievoorschrift voor f is f ( x ) = + 3. 3

Vraag 18 5 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking x+ 4 1 Als zowel 9 (

1 · 3− 12 x + 27 als 3 ) + 3 herschreven worden, waarbij de kandidaat twee keer op dezelfde uitdrukking uitkomt, bijvoorbeeld 3− 2 x−2 + 3 , hiervoor uiteraard geen scorepunten in mindering brengen. 1

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen havo Wiskunde B 2022, tijdvak 3. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2022/havo/documenten/cse-3/ha-1025-a-22-3-o

Andere examens wiskunde B havo

Hoe ToetsChecker wiskunde B per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde B toetsen nakijken met AI.

Veelgestelde vragen

Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3?

Het centraal examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3 loopt tot vraag 18. Van 15 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over functies en grafieken (4), exponentiële en logaritmische functies (3) en differentiëren (2).

Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3?

Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.

Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B havo 2022, tijdvak 3?

Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2022/havo/documenten/cse-3/ha-1025-a-22-3-c).

Hoe oefen ik met het examen wiskunde B havo 2022, tijdvak 3 en krijg ik feedback?

Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.