Eindexamen wiskunde B havo 2025, tijdvak 1: vragen en antwoorden

• $2x^2 + 3x - 4 = 2x - 1$ geeft $2x^2 + x - 3 = 0$
• Beschrijven hoe deze vergelijking exact kan worden opgelost
• Hieruit volgt (voor de x-coördinaten van de snijpunten) $x = -1\frac{1}{2}$ en $x = 1$
• De bijbehorende y-coördinaten zijn $y = -4$ en $y = 1$ (dus $A(-1\frac{1}{2}, -4)$ en $B(1, 1)$)

• $f'(x) = 4x + 3$
• De richtingscoëfficiënt van $l$ is 2, dus de richtingscoëfficiënt van $k$ is $-\frac{1}{2}$, dus voor $x_P$ geldt $f'(x) = -\frac{1}{2}$ (dus de vergelijking $4x + 3 = -\frac{1}{2}$ moet worden opgelost)
• Dit geeft $x_P = -\frac{7}{8}$

• Vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$-as met -1 geeft de grafiek van $y = -(2x^2 + 3x - 4)$ (of een gelijkwaardige vorm)
• Daarna vermenigvuldigen ten opzichte van de $y$-as met -1 geeft de grafiek van $g(x) = -(2 \cdot (-x)^2 + 3 \cdot (-x) - 4)$ (of een gelijkwaardige vorm)
• $g(-\frac{1}{4}) = 3\frac{1}{8}$, dus het punt $(-\frac{1}{4}, 3)$ ligt niet op de grafiek van $g$

of

• (Terug)vermenigvuldigen van het punt $(-\frac{1}{4}, 3)$ ten opzichte van de $y$-as met -1 geeft een punt met $x$-coördinaat $\frac{1}{4}$
• (Terug)vermenigvuldigen van het punt $(-\frac{1}{4}, 3)$ (of $(\frac{1}{4}, 3)$) ten opzichte van de $x$-as met -1 geeft een punt met $y$-coördinaat $-3$
• $f(\frac{1}{4}) = -3\frac{1}{8}$, dus het punt $(-\frac{1}{4}, 3)$ ligt niet op de grafiek van $g$

• Een exacte berekening waaruit volgt dat $x_T = -\frac{3}{4}$
• $y_T = f(-\frac{3}{4}) = -5\frac{1}{8}$
• (Op basis van symmetrie geldt) $x_D = -\frac{3}{4} + \frac{2\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2}$ (of $x_C = -\frac{3}{4} - \frac{2\frac{1}{2}}{2} = -2$)
• Dus $y_D = f(\frac{1}{2}) = -2$ (of $y_C = f(-2) = -2$)
• De gevraagde afstand is dus $(-2 - -5\frac{1}{8} =) 3\frac{1}{8}$

of

• Voor $x_C$ geldt $2x^2 + 3x - 4 = 2\left(x + 2\frac{1}{2}\right)^2 + 3(x + 2\frac{1}{2}) - 4$; het rechterlid herleiden tot $2x^2 + 13x + 16$; het oplossen van de vergelijking $2x^2 + 3x - 4 = 2x^2 + 13x + 16$ geeft $x_C = -2$
• Dus $y_C = f(-2) = -2$
• $x_T = -2 + \frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2} = -\frac{3}{4}$
• $y_T = f(-\frac{3}{4}) = -5\frac{1}{8}$
• De gevraagde afstand is dus $(-2 - -5\frac{1}{8} =) 3\frac{1}{8}$

• $d = \frac{26 + 14}{2} = 20$
• $a = 26 - 20 = 6$
• $\frac{226 + 43}{2} = 134{,}5$ dus $c = 135$ (of: $43 + 0{,}25 \cdot 365 = 134{,}25$, dus $c = 134$)
• $b = \frac{2\pi}{365}$ ($= 0{,}017214\ldots$), dus de gevraagde waarde van $b$ is 0,01721

Opmerking: Wanneer de waarde van $b$ wordt berekend op basis van een periode gelijk aan $2 \cdot (226 - 43) = 366$, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Aanvulling: De eerste drie deelscores worden vervangen door: $d = (\frac{26 + 14}{2} =) 20$ (1 scorepunt); $a = (26 - 20 =) 6$ (1 scorepunt); $(\frac{226 + 43}{2} =) 134{,}5$ dus $c = 135$ (of: $43 + 0{,}25 \cdot 365 = 134{,}25$, dus $c = 134$) (1 scorepunt).

• De vergelijking $12 + 6\sin(0{,}0172(t - 150)) = 16$ moet worden opgelost
• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost
• Dit geeft $t = 192{,}4\ldots$ ($t = 290{,}2\ldots$ hoort niet bij de eerste dag)
• Het eindantwoord: (dagnummer) 193

of

• De vergelijking $12 + 6\sin(0{,}0172(t - 150)) = 16$ moet worden opgelost
• Beschrijven hoe een tabel van $Z$ gemaakt kan worden
• Voor $t = 192$ geldt $Z = 15{,}9\ldots$ en voor $t = 193$ geldt $Z = 16{,}0\ldots$
• Het eindantwoord: (dagnummer) 193

Aanvulling: Opmerking: Als een kandidaat het dagnummer 192 als eindantwoord geeft, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Voorbeeld van een juist antwoord:

• Als de waarde van $x$ heel groot wordt, dan wordt de waarde van $\sqrt{6x - 2}$ ook heel groot
• Dan wordt $\frac{1}{\sqrt{6x - 2}}$ bijna 0 (dus is inderdaad de lijn met vergelijking $y = 0$ de horizontale asymptoot van de grafiek van $f$)

• Uit $\frac{1}{\sqrt{6x - 2}} = 2$ volgt $2\sqrt{6x - 2} = 1$ (of $\frac{1}{6x - 2} = 4$)
• Dus $4(6x - 2) = 1$ (of een gelijkwaardige lineaire vergelijking)
• Hieruit volgt $x_P = \frac{3}{8}$

• $f(x) = (6x - 2)^{-\frac{1}{2}}$
• $f'(x) = -\frac{1}{2}(6x - 2)^{-1\frac{1}{2}} \cdot 6$ $(= -3(6x - 2)^{-1\frac{1}{2}})$
• $f'(\frac{1}{2}) = -3$
• Lijn $l$ heeft vergelijking $y = -3x + b$ en gaat door $Q(\frac{1}{2}, 1)$, dus $b = 2\frac{1}{2}$
• Uit $-3x + 2\frac{1}{2} = 0$ volgt $x_A = \frac{5}{6}$
• De oppervlakte van driehoek $OAB$ is dus $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} \cdot 2\frac{1}{2} = \frac{25}{24}$

Opmerking: Voor het tweede antwoordelement mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend, tenzij de enige fout een rekenfout betreft (zie vakspecifieke regel 1). In dat geval mag 1 scorepunt worden toegekend.

• De vergelijking $f(x) = x^2$ moet worden opgelost
• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost
• Dit geeft ($x = 0{,}781\ldots$, dus) de gevraagde waarde $x_R = 0{,}78$

• Een vergelijking van $j$ is $x = 4$
• $y_S = (-\frac{2}{3} \cdot 4 + 8 =) \frac{16}{3}$
• De richtingscoëfficiënt van $m$ is dus gelijk aan $\left(\frac{\frac{16}{3}}{4} =\right) \frac{4}{3}$ (dus een vergelijking van $m$ is $y = \frac{4}{3}x$)
• Voor $Q$ geldt $\frac{4}{3}x = 8$
• Een exacte berekening waaruit volgt $x_Q = 6$

of

• Een vergelijking van $j$ is $x = 4$
• $y_S = (-\frac{2}{3} \cdot 4 + 8 =) \frac{16}{3}$
• $RS = \frac{16}{3}$ met $R$ het snijpunt van $j$ en de $x$-as; $ST = (8 - \frac{16}{3} =) \frac{8}{3}$ met $T$ het snijpunt van $j$ en $l$
• Driehoek $SQT$ is gelijkvormig met driehoek $SOR$ met factor $(\frac{8}{3} : \frac{16}{3} =) \frac{1}{2}$
• $QT = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, waaruit volgt dat $x_Q = (4 + 2) = 6$

of

• Stel de coördinaten van punt $Q$ zijn $(6,8)$, dan is $y = \frac{8}{6}x$ de vergelijking van de lijn door $O$ en $Q$
• Voor het snijpunt van deze lijn met lijn $k$ geldt $\frac{8}{6}x = -\frac{2}{3}x + 8$
• De $x$-coördinaat van het snijpunt is 4
• Een vergelijking van $j$ is $x = 4$
• Het gevonden snijpunt ligt inderdaad op $j$ (dus geldt $Q(6,8)$)

• De richtingscoëfficiënt van $n$ is gelijk aan $\left(\frac{0 - 8}{12 - 6} =\right) -\frac{4}{3}$
• Lijn $n$ heeft vergelijking $y = -\frac{4}{3}x + b$ en gaat door $P(12, 0)$, dus $b = 16$
• (Substitutie van $y = -\frac{4}{3}x + 16$ in de vergelijking van $c$ geeft) $(x - 4)^2 + (-\frac{4}{3}x + 16 - 4)^2 = 16$
• De herleiding tot een vergelijking van de vorm $ax^2 + bx + c = 0$, zoals $\frac{25}{9}x^2 - 40x + 144 = 0$
• $D = (-40)^2 - 4 \cdot \frac{25}{9} \cdot 144 = 0$ (dus $c$ en $n$ hebben één punt gemeenschappelijk, dus lijn $n$ raakt cirkel $c$)

of

• De richtingscoëfficiënt van $n$ is gelijk aan $\left(\frac{0 - 8}{12 - 6} =\right) -\frac{4}{3}$
• Lijn $n$ heeft vergelijking $y = -\frac{4}{3}x + b$ en gaat door $P(12, 0)$, dus $b = 16$
• Een berekening waaruit volgt dat $y = \frac{3}{4}x + 1$ een vergelijking is van de lijn loodrecht op $n$ door het middelpunt $(4, 4)$ van $c$
• Een berekening van het snijpunt van deze lijn met lijn $n$ geeft $x = \frac{36}{5}$ en $y = \frac{32}{5}$
• $(\frac{36}{5} - 4)^2 + (\frac{32}{5} - 4)^2 = 16$ (dus het snijpunt ligt op $c$, dus lijn $n$ raakt cirkel $c$)

• De groeifactor per jaar is volgens het model 0,95
• De groeifactor per 50 jaar is dan $0{,}95^{50} = 0{,}076\ldots$ (of: na 50 jaar is er $100 \cdot 0{,}95^{50} = 7{,}6\ldots\%$ over)
• $0{,}076\ldots$ is groter dan 0,04 (of: $7{,}6\ldots\%$ is groter dan 4%), dus de uitspraak van de vogelbeschermer is niet juist

of

• De groeifactor per 50 jaar is volgens de vogelbeschermer (kleiner dan) 0,04
• De groeifactor per jaar is dan (kleiner dan) $0{,}04^{\frac{1}{50}} = 0{,}937\ldots$ (dus jaarlijks is de afname groter dan 6,2...%)
• (Een groeifactor per jaar kleiner dan) 0,937... is ongelijk aan 0,95 (of (een afname groter dan) 6,2% is ongelijk aan 5%), dus de uitspraak van de vogelbeschermer is niet juist

of

• De vergelijking $0{,}95^t = 0{,}04$ (met $t$ in jaren vanaf 1990) moet worden opgelost
• Dit geeft $t = 62{,}\ldots$
• Dit is groter dan 50, dus de uitspraak van de vogelbeschermer is niet juist

• Er geldt $58{,}66 = a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + 100$ en $36{,}52 = a \cdot 20^2 + b \cdot 20 + 100$
• Beschrijven hoe dit stelsel van twee vergelijkingen algebraïsch kan worden opgelost
• Hieruit volgt $a = 0{,}096$
• Dit geeft $b = -5{,}094$

• $y_S = f(0) = 7$
• $8 - 2^{3x^2 - 6x} = 7$ geeft $2^{3x^2 - 6x} = 1$
• ($2^0 = 1$, dus) $3x^2 - 6x = 0$
• Een exacte berekening waaruit volgt $x_A = 2$

of

• Voor de $x$-coördinaat van $A$ moet $3x^2 - 6x$ dezelfde uitkomst hebben als voor $x = 0$
• De uitkomst van $3x^2 - 6x$ voor $x = 0$ is gelijk aan 0
• Dus de vergelijking $3x^2 - 6x = 0$ moet worden opgelost
• Een exacte berekening waaruit volgt $x_A = 2$

• Uit $\cos(25^\circ) = \frac{AC}{6}$ volgt $AC = 5{,}43\ldots$
• De cosinusregel in driehoek $ABC$ geeft $AB = \sqrt{5{,}43\ldots^2 + 7^2 - 2 \cdot 5{,}43\ldots \cdot 7 \cdot \cos(25^\circ)} = 3{,}09\ldots$
• De sinusregel in driehoek $ABC$ geeft $\frac{7}{\sin(\angle BAC)} = \frac{3{,}09\ldots}{\sin(25^\circ)}$
• Hieruit volgt $\sin(\angle BAC) = 0{,}95\ldots$
• $\angle BAC = 107{,}03\ldots^\circ$ ($72{,}96\ldots^\circ$ voldoet niet)
• Dus $\angle BAD = 107{,}03\ldots - 90$ ($= 17{,}03\ldots$), dus afgerond $\angle BAD = 17^\circ$

of

• Uit $\cos(25^\circ) = \frac{AC}{6}$ volgt $AC = 5{,}43\ldots$
• De cosinusregel in driehoek $ABC$ geeft $AB = \sqrt{5{,}43\ldots^2 + 7^2 - 2 \cdot 5{,}43\ldots \cdot 7 \cdot \cos(25^\circ)} = 3{,}09\ldots$
• $\sin(25^\circ) = \frac{AD}{6}$ dus $AD = 2{,}53\ldots$
• De vergelijking $1^2 = 2{,}53\ldots^2 + 3{,}09\ldots^2 - 2 \cdot 2{,}53\ldots \cdot 3{,}09\ldots \cdot \cos(\angle BAD)$ moet worden opgelost
• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost
• Dit geeft $\cos(\angle BAD) = 0{,}95\ldots$ en afgerond $\angle BAD = 17^\circ$

of

• $\angle CDA = 180 - 25 - 90 = 65^\circ$, dus $\angle BDA = 180 - 65 = 115^\circ$
• $\sin(25^\circ) = \frac{AD}{6}$ dus $AD = 2{,}53\ldots$
• De cosinusregel in driehoek $BDA$ geeft $AB = \sqrt{1^2 + 2{,}53\ldots^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2{,}53\ldots \cdot \cos(115^\circ)} = 3{,}09\ldots$
• De sinusregel in driehoek $BDA$ geeft $\frac{1}{\sin(\angle BAD)} = \frac{3{,}09\ldots}{\sin(115^\circ)}$
• Hieruit volgt $\sin \angle BAD = 0{,}29\ldots$
• Dit geeft afgerond $\angle BAD = 17^\circ$

of

• Uit $\cos(25^\circ) = \frac{AC}{6}$ volgt $AC = 5{,}43\ldots$
• $\angle CDA = 180 - 25 - 90 = 65^\circ$, dus $\angle BDA = 180 - 65 = 115^\circ$
• $\angle ABD = 180 - 115 - \alpha = 65^\circ - \alpha$ (met $\angle BAD = \alpha$)
• De sinusregel in driehoek $ABC$ geeft $\frac{5{,}43\ldots}{\sin(65^\circ - \alpha)} = \frac{7}{\sin(90^\circ + \alpha)}$
• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost
• Dit geeft ($\alpha = 17{,}03\ldots^\circ$, dus) afgerond $\angle BAD = 17^\circ$

of

• Uit $\cos(25^\circ) = \frac{AC}{6}$ volgt $AC = 5{,}43\ldots$
• De cosinusregel in driehoek $ABC$ geeft $AB = \sqrt{5{,}43\ldots^2 + 7^2 - 2 \cdot 5{,}43\ldots \cdot 7 \cdot \cos(25^\circ)} = 3{,}09\ldots$
• De sinusregel in driehoek $ABC$ geeft $\frac{7}{\sin(\angle BAC)} = \frac{3{,}09\ldots}{\sin(25^\circ)}$
• $\angle BAC = \angle BAD + 90^\circ$
• Beschrijven hoe de vergelijking $\frac{7}{\sin(x + 90^\circ)} = \frac{3{,}09\ldots}{\sin(25^\circ)}$ (met $\angle BAD = x$) kan worden opgelost
• Dit geeft ($x = 17{,}03\ldots^\circ$, dus) afgerond $\angle BAD = 17^\circ$

• $S_{50} = \log_{0{,}427}(50) + 12{,}9 = 8{,}30\ldots$
• De vergelijking $\log_{0{,}427}(t) + 12{,}9 = 1{,}2 \cdot 8{,}30\ldots$ $(= 9{,}96\ldots)$ moet worden opgelost
• $\log_{0{,}427}(t) = -2{,}93\ldots$
• $t = 0{,}427^{-2{,}93\ldots} = 12{,}16\ldots$, dus het eindantwoord is: (na) 12,2 (jaar)

Opmerking: Als de berekende waarde voor $t$ wordt afgerond naar 12,1, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

• $D = 312{,}9 + 2w$
• Invullen geeft $w = \frac{1{,}75 \cdot (312{,}9 + 2w)}{14 + 1{,}75}$
• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost
• (Dit geeft $w = 44{,}7$ dus) de gevraagde wanddikte is 45 (mm)

Opmerking: Als de berekende waarde voor $w$ wordt afgerond naar beneden, hiervoor 1 scorepunt in mindering brengen.