Eindexamen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Wortelgrafiek en parabool, Zonsopkomst en zonsondergang, Door het snijpunt, Borstcrawl, Twee logaritmische functies, Rondom exponentiële grafieken, Vuurtorens.

Kort antwoord

Het centraal examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2 loopt tot vraag 14. Van 12 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over functies en grafieken (3), meetkunde met coördinaten (3) en goniometrische functies (2). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.

Onderwerpen in dit examen

Onderwerp per vraag in het centraal examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2, voor de vragen waarvan het onderwerp bekend is. Elke vraag is eenmalig door een AI-model bij een onderwerp ingedeeld; per vraag kan dat afwijken.
OnderwerpVragenAantal
Functies en grafieken1, 10-113
Meetkunde met coördinaten2-3, 143
Goniometrische functies4-52
Exponentiële en logaritmische functies12-132
Bewijzen61
Vergelijkingen en ongelijkheden91

Vergeleken met andere jaren

Vergeleken met de andere 17 examens wiskunde B havo sinds 2018: dit examen vroeg minder over differentiëren (0% van de vragen, gemiddeld 13%).

Opgaven en correctievoorschrift

De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.

Oefenen als leerling

Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.

Nakijken als docent

  1. Start gratis vanaf deze pagina

    Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.

  2. Laat de klas het examen maken

    Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.

  3. Geef de resultaten vrij

    Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.

ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.

Vragen en antwoorden

Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.

Wortelgrafiek en parabool

De functies f en g worden gegeven door f ( x) = 2 x + 6 en g ( x) = x 2 + 6 x + 9 .

De grafiek van f heeft een randpunt en de grafiek van g heeft een top.

Vraag 1 4 punten

Onderzoek op exacte wijze of deze top hetzelfde punt is als dat randpunt.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • Voor het randpunt van de grafiek van f geldt ( 2 x + 6 = 0 , dus) x = − 3 (1)
  • Een exacte berekening waaruit volgt: voor de top van de grafiek van g geldt x = − 3 (1)
  • Zowel de y-coördinaat van het randpunt van de grafiek van f als de y-coördinaat van de top van de grafiek van g is 0 (1)
  • Conclusie: de top van de grafiek van g is hetzelfde punt als het randpunt van de grafiek van f (1)

De lijn k met vergelijking y = 4 snijdt de grafiek van g in de punten A en B, waarbij B rechts ligt van A. De lijn k snijdt de grafiek van f in het punt C. Zie de figuur.

figuur

Vraag 2 5 punten

Bereken exact de afstand BC.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • 2 x + 6 = 4 geeft 2 x + 6 = 16 (1)
  • Dus xC = 5 (1)
  • Een exacte berekening met als resultaat de oplossingen van de vergelijking x 2 + 6 x + 9 = 4 (1)
  • Dit geeft xB = −1 (1)
  • De afstand BC is 6 (1)

De lijn l raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 15. De lijn m met vergelijking 6 x + y = −27 raakt de grafiek van g.

Vraag 3 5 punten

Bewijs dat l en m loodrecht op elkaar staan.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Als in het eerste antwoordelement de kettingregel is gebruikt, maar niet correct, mag voor dit antwoordelement hoogstens 1 scorepunt worden toegekend op basis van vakspecifieke regel 1.

Zonsopkomst en zonsondergang

Voor elke dag van het jaar is te bepalen hoe laat de zon opkomt en hoe laat de zon ondergaat.

Op elke dag van het jaar 2015 is volgens de lokale zomertijd bepaald hoe laat de zon in de Australische stad Sidney opkomt1). De 365 meetpunten zijn in een assenstelsel getekend. Ze liggen bij benadering op een sinusoïde. In figuur 1 is deze sinusoïde getekend; een deel daarvan is gestippeld. Onder het gestippelde deel is de grafiek getekend volgens de tijdstippen van zonsopkomst volgens de wintertijd. De zonsopkomst volgens de wintertijd is 1 uur eerder dan volgens de zomertijd.

figuur 1 Zonsopkomst in Sydney

Het laagste punt van de grafiek van de zomertijd is (341; 5,62). Dit betekent dus dat de zon op dagnummer 341 volgens de zomertijd het vroegst opkomt. Dat is op tijdstip 5,62 (dus 5 uur en 37 min). Het hoogste punt van het gestippelde deel van de grafiek van de zomertijd bevindt zich op hoogte 8,00.

noot 1 In Sidney is het zomer als het in Nederland winter is. De periode waarin de zomertijd wordt gebruikt, is daarom in Sidney anders dan in Nederland.

De grafiek van de wintertijd is te benaderen met een formule van de vorm:

2 π (t

  • r )) , met 95 ≤ t ≤ 277 S (t ) = p + q sin( 365 Hierin is S het tijdstip van zonsopkomst en t het dagnummer met t = 1 op

1 januari.

Door gebruik te maken van de grafiek van de zomertijd kunnen mogelijke waarden voor p, q en r worden berekend.

Vraag 4 4 punten

Bereken mogelijke waarden voor p, q en r van S (t ) . Geef je eindantwoorden in twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De evenwichtsstand van de grafiek volgens de zomertijd is 8, 00 + 5, 62 = 6,81 (1)
  • Dus p = (6,81 − 1 =) 5,81 (1)
  • q = 8, 00 − 6,81 = 1,19 (of 6,81 − 5, 62 = 1,19 ) (1)
  • (Een mogelijke waarde voor) r is 341 − 34 · 365 = 67, 25 (1)

Voor een plaats in Nederland zijn op dezelfde manier als voor Sydney volgens de lokale zomertijd de tijdstippen van zonsopkomst bepaald. Ook zijn de tijdstippen van zonsondergang volgens de zomertijd bepaald. De grafieken waarop de meetpunten liggen, zijn in figuur 2 weergegeven.

figuur 2 Zonsopkomst en zonsondergang in Nederland

Bij de grafiek van de zonsopkomst hoort de formule:

2 π (t

  • 270,9)) , met 1 ≤ t ≤ 365 P (t ) = 7,57 + 2, 27sin( 365 en bij de grafiek van de zonsondergang hoort de formule:

2 π (t

  • 74,07)) , met 1 ≤ t ≤ 365 N (t ) = 19,78 + 2,33sin( 365 Hierin is P het tijdstip van zonsopkomst en N het tijdstip van zonsondergang. Opnieuw is t het dagnummer met t = 1 op 1 januari. Voor t kunnen dus alleen gehele waarden worden ingevuld.

Voor elke dag kan de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang worden bepaald. De langste dag is de dag waarop deze tijd zo groot mogelijk is.

Vraag 5 4 punten

Bereken de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang op de langste dag. Geef je eindantwoord in een geheel aantal uren en minuten.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerkingen

  • Als is gerekend met het verschil van het maximum 22,11 van N en het minimum 5,30 van P, dan mogen voor deze vraag maximaal 2 scorepunten worden toegekend.
  • Als niet is gerekend met gehele t-waarden, dan mogen voor deze vraag maximaal 3 scorepunten worden toegekend.

Door het snijpunt

De functie f wordt gegeven door f ( x) = 14 x ( x

  • 2 )( x + 6 ) . De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A(−6, 0) , O(0, 0) en B(2, 0) . Het punt C is het midden van lijnstuk AO. Het punt P ligt recht boven C op de grafiek van f. Zie de figuur.

figuur

De raaklijn aan de grafiek van f in P gaat door B.

Vraag 6 7 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Omdat beide richtingscoëfficiënten gelijk zijn, gaat de raaklijn door B (1p)

Borstcrawl

Bij het zwemmen van de borstcrawl is er een foto verband tussen de handkracht waarmee de handen van de zwemmer tegen het water duwen en de zwemsnelheid. Zie foto en figuur 1.

Het verband tussen de handkracht F en de zwemsnelheid v kan worden benaderd door de formule:

F = 500 · A · C · v 2 figuur 1 Hierin geldt:

  • F is de handkracht in newton (N);
  • v is de zwemsnelheid in meters per seconde (m/s);
  • A is de oppervlakte van het vooraanzicht van de zwemmer in m2 gedurende een zwemslag;

A wordt frontaal oppervlak genoemd;

  • C is een positieve constante die afhankelijk is van de zwemtechniek van de zwemmer.

Tijdens een zwemwedstrijd over 100 m zwemt Ian een persoonlijk record. Tijdens elke zwemslag is zijn handkracht 105 N en zijn frontaal oppervlak is 0,2 m2. Zijn waarde van C is 0,35. Samy wil bij een toekomstige zwemwedstrijd over

100 m 0,5 seconden sneller zwemmen dan de snelste tijd van Ian. Om dit te bereiken, gaat hij extra op handkracht trainen. Het frontaal oppervlak van Samy is 0,21 m2. Zijn waarde van C is 0,33. In dit model nemen we aan dat Samy’s waarden voor A en C gelijk blijven. Verder nemen we aan dat beide zwemmers met constante snelheid zwemmen.

Vraag 7 6 punten

Bereken de handkracht die Samy nodig heeft om 0,5 seconden sneller te zwemmen dan de snelste tijd van Ian. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • Voor de snelheid van Ian geldt 105 = 500 · 0, 2 · 0, 35 · v 2 (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
  • Dit geeft v = 1, 732... (m/s) (1)
  • De zwemtijd van Ian is = 57, 735... (seconden) (1)
  • De snelheid van Samy moet = 1, 747... (m/s) worden (1)
  • De gevraagde handkracht is 500 · 0, 21 · 0,33 ·1, 747...2 (= 105, 7...) , dus 106 (N) (1)

Van twee zwemmers is 10 keer de handkracht gemeten bij verschillende snelheden. De techniek van de ene zwemmer is beter dan die van de andere zwemmer. Het frontaal oppervlak tijdens een zwemslag is voor beide zwemmers 0,2 m2. In figuur 2 zijn de meetresultaten weergegeven in een assenstelsel, waarbij v 2 is uitgezet tegen F. Voor beide zwemmers is een lijn getekend die de meetresultaten benadert. Bij elke lijn hoort een andere constante waarde van C, passend bij de zwemtechniek van de zwemmer. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 2: zie het originele examen]

Vraag 8 3 punten

Bereken met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage de waarde van C van de zwemmer met de betere techniek. Geef hierbij aan welke lijn je hebt gebruikt en licht deze keuze toe. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Bepalen van de richtingscoëfficiënt van de bovenste lijn geeft 0,03 (1) Δv 2 (1p)
  • (De richtingscoëfficiënt van de lijn is = , dus) de waarde van ΔF 100C

Opmerking Als met het afgelezen punt (of de afgelezen punten) op de doorgetrokken grafiek correct wordt gerekend met als eindantwoord 0,32 of 0,34, dan mogen het tweede en derde scorepunt worden toegekend.

Twee logaritmische functies

Voor x > 0 wordt de functie f gegeven door f ( x) = log( x) . Voor x > −10 wordt de functie g gegeven door g ( x) = 2

  • log( x + 10) . De grafieken van f en g snijden elkaar in het punt A. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

Vraag 9 6 punten

Bereken exact de oplossing van de ongelijkheid f ( x) < g ( x) .

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • Uit log( x) = 2 − log( x + 10) volgt log( x( x + 10)) = 2 (of 100 log( x) = log(102 ) − log( x + 10) = log ) (1)
  • Dit geeft x( x + 10) = 100 (1)
  • Hieruit volgt x 2 + 10 x − 100 = 0 (1)
  • De discriminant van deze vergelijking is D = 102 − 4 ·1· −100 = 500 (1)
  • Dit geeft x = −5 + 12 500 ( x = −5 − 12 500 voldoet niet) (dus de x-coördinaat van punt A is gelijk aan −5 + 12 500 ) (1)
  • Het eindantwoord 0 < x < −5 + 12 500 (1)

De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door een serie transformaties. Hiervoor zijn verschillende mogelijkheden.

Vraag 10 4 punten

Geef één zo’n serie transformaties en geef daarbij aan in welke volgorde ze worden toegepast.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Voor het tweede antwoordelement van beide antwoordalternatieven mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

De grafiek van g snijdt de y-as in het punt B en snijdt de x-as in het punt C. De lijn l gaat door B en C. Lijn l snijdt de grafiek van f in het punt D. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Vraag 11 6 punten

Bereken de coördinaten van D. Geef de coördinaten in je eindantwoord in twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • 2 − log(0 + 10) = 1 (dus B (0,1) ) (1)
  • Een toelichting waaruit volgt dat x = 90 de oplossing is van 2 − log( x + 10) = 0 (dus C (90, 0) ) (1)
  • De richtingscoëfficiënt van l is = − 90 (1)
  • Een vergelijking van l is y = − 90 1 x +1 (1)
  • Beschrijven hoe de vergelijking log( x) = − 90 1 x + 1 kan worden opgelost (1)
  • De coördinaten van D zijn x = 8,12 en y = 0, 91 (1)

Op de grafiek van f wordt een willekeurig punt S gekozen. Punt T, met een x-coördinaat die 7 keer zo groot is als de x-coördinaat van S, ligt ook op de grafiek van f. In figuur 3 is de grafiek van f weergegeven met een mogelijke positie van S en van T.

[figuur 3: zie het originele examen]

In S en T kan met behulp van de grafische rekenmachine de helling worden bepaald. helling in T Voor elke keuze van S is de uitkomst van de breuk hetzelfde. helling in S

Vraag 12 3 punten

Bereken deze uitkomst. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Beschrijven hoe op de GR de afgeleide functie kan worden ingevoerd (1p)
  • In deze afgeleide moet met de helling bij x en bij 7x worden gewerkt (1) f ' (7 x)

Rondom exponentiële grafieken

De functie f wordt gegeven door f ( x) = 2 x .

( 2) x2

  • x De functie g wordt gegeven door g ( x) = . De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A(0,1) en B (3, 8) . In figuur 1 zijn de grafieken van f en g en de punten A en B weergegeven.

[figuur 1: zie het originele examen]

De punten A en B zijn de enige snijpunten van de grafieken van f en g.

Vraag 13 3 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • ( 2) x2 − x herleiden tot ( 2 x = (2 2 ) x − x , dus) 2 x = 2 2 x − 2 x 2 (2) 2x = 1 1 (1) • (1) • Dit geeft x = 12 x 2 − 12 x , dus 12 x 2 − 1 12 x = 0 (1) • Hieruit volgt 12 x( x − 3) = 0 , dus x = 0 of x = 3 (en dus zijn A en B de enige snijpunten) (1) of ( 2) x2 − x herleiden tot ( 2 x = (2 2 ) x − x , dus) 2 x = 2 2 x − 2 x 2 (2) x 1 1 (1) • 2 = (1) • Dit geeft x = 12 x 2 − 12 x , dus een kwadratische vergelijking (1) • Een kwadratische vergelijking heeft maximaal twee oplossingen, dus de twee gegeven oplossingen zijn de enige oplossingen (en dus zijn A en B de enige snijpunten) (1) (3)

In figuur 2 zijn opnieuw de grafieken van f en g met hun snijpunten A en B weergegeven. Ook zijn twee cirkels c1 en c2 weergegeven. Het lijnstuk AB is een middellijn van c1 . Cirkel c2 heeft hetzelfde middelpunt als c1 . De oppervlakte van c2 is drie keer zo groot als de oppervlakte van c1 .

[figuur 2: zie het originele examen]

Vraag 14 5 punten

Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c2 .

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • Het middelpunt van c1 is (( 0+2 3 , 1+28 ) =) (1 12 , 4 12 ) (1)
  • Een exacte berekening waaruit volgt dat de straal van c1 12 58 (of 58 4 ) is (1)
  • Het inzicht dat, als de oppervlakte van c1 3 keer zo groot wordt, de straal van c1 3 keer zo groot wordt (of een berekening met als resultaat dat de oppervlakte van c2 gelijk is aan 43 12 π ) (1)
  • De straal van c2 is 3 · 12 58 = 43 12 (of het kwadraat van de straal van c2 is 43 12 ) (1)
  • Een vergelijking van c2 is ( x − 1 12 ) 2 + ( x − 4 12 ) 2 = 43 12 (1)

Vuurtorens

In figuur 1 is een rechte kustlijn weergegeven die van west naar oost loopt. Op deze kustlijn staat in punt O een vuurtoren. In punt S bevindt zich een schip op 9 km van de kustlijn. Het schip vaart evenwijdig aan de kustlijn. De horizontale afstand tussen O en S is 20 km. Het licht van de vuurtoren is zichtbaar binnen een straal van 11 km rondom de vuurtoren. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 1: zie het originele examen]

In positie S is het licht van de vuurtoren nog niet zichtbaar voor de kapitein van het schip.

Vraag 15 5 punten

Bereken na hoeveel kilometer varen het licht van de vuurtoren zichtbaar wordt. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De keuze van een geschikt assenstelsel, bijvoorbeeld met O als oorsprong en de kust als horizontale as (1p)
  • Een vergelijking van de cirkel is dan x 2 + y 2 = 112 (1p)
  • Het inzicht dat de x-coördinaat van een snijpunt van de lijn met vergelijking y = (−)9 en de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 = 112 moet worden berekend (1p)

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen havo Wiskunde B 2024, tijdvak 2. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2024/havo/documenten/cse-2/ha-1025-a-24-2-o

Andere examens wiskunde B havo

Hoe ToetsChecker wiskunde B per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde B toetsen nakijken met AI.

Veelgestelde vragen

Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2?

Het centraal examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2 loopt tot vraag 14. Van 12 vragen staat het onderwerp in de vragenbank. De meeste vragen gaan over functies en grafieken (3), meetkunde met coördinaten (3) en goniometrische functies (2).

Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2?

Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.

Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B havo 2024, tijdvak 2?

Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2024/havo/documenten/cse-2/ha-1025-a-24-2-c). Bij dit examen hoort ook een aanvulling op het correctievoorschrift.

Hoe oefen ik met het examen wiskunde B havo 2024, tijdvak 2 en krijg ik feedback?

Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.