Eindexamen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1: vragen en antwoorden

Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Bewegend punt, Lijn door de toppen, Zwaartepunt en rakende cirkels, Maxima en minima, Sheffield Winter Garden, Natuurlijke logaritme van de wortel, Vierkant onder grafiek, Twee vierkanten op een kwartcirkel.

Kort antwoord

Het centraal examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1 telt 17 vragen. De meeste vragen gaan over differentiëren (3), integreren (3) en meetkunde met coördinaten (3). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.

Onderwerpen in dit examen

Onderwerp per vraag in het centraal examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1. Elke vraag is eenmalig door een AI-model bij een onderwerp ingedeeld; per vraag kan dat afwijken.
OnderwerpVragenAantal
Differentiëren1, 8, 133
Integreren4-5, 103
Meetkunde met coördinaten6-7, 93
Functies en grafieken11, 142
Goniometrische functies16-172
Parameterkrommen21
Bewijzen31
Exponentiële en logaritmische functies121
Vergelijkingen en ongelijkheden151

Vergeleken met andere jaren

De verdeling over de onderwerpen ligt dicht bij het gemiddelde van de andere 17 examens wiskunde B vwo sinds 2018. Geen enkel onderwerp wijkt meer dan zes procentpunten af.

Opgaven en correctievoorschrift

De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.

Oefenen als leerling

Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.

Nakijken als docent

  1. Start gratis vanaf deze pagina

    Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.

  2. Laat de klas het examen maken

    Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.

  3. Geef de resultaten vrij

    Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.

ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.

Vragen en antwoorden

Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.

Bewegend punt

De beweging van een punt P figuur wordt gegeven door de volgende y bewegingsvergelijkingen:

x(t ) = 1

  • t 2 2 y (t ) = (1 + t ) A In de figuur is de baan van P weergegeven.

O x

De baan van P snijdt de y-as in de oorsprong O en in punt A. Zie de figuur.

Vraag 1 4 punten

Bereken exact de snelheid waarmee P door punt A gaat.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • (1− t2 = 0 , dus) bij punt A hoort t = 1 0 geeft t = −1 of t = 1 ; y (−1) = (1)
  • = −2t en = 2(1 + t ) (1)
  •  dt  = −2 en  dt  = 4 (1)
  • De snelheid is ( (−2) 2 + 42 = ) 2 5 (of 20 ) (1)

Voor elke waarde van t bevindt P zich op de kromme met vergelijking: ( x + y )2 = 4 y

Vraag 2 4 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Te bewijzen is (1
    • t 2 + (1 + t ) 2 ) 2 = 4(1 + t ) 2 (voor elke waarde van t) (1)

Lijn door de toppen

Voor elke waarde van a met a > 0 wordt de functie f a gegeven door f a ( x ) = xe a x .

De afgeleide functie f a' wordt gegeven door f a' ( x) = e a x + axe a x . In figuur 1 zie je voor een aantal waarden van a de grafiek van f a . 1 Ook is de lijn l met vergelijking y = x weergegeven. e [figuur 1: zie het originele examen] y

l

O x

Voor elke waarde van a met a > 0 heeft de grafiek van f a precies één top.

Vraag 3 4 punten

Bewijs dat deze top op lijn l ligt.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • f a' ( x) = 0 geeft eax (1 + ax ) = 0 (1)
  • ( eax ≠ 0 ) dus 1 + ax = 0 , dus (voor de x-coördinaat van de top geldt) 1 x= − (1)
  • Voor de y -coördinaat van de top geldt y =f a  −  =− ⋅ e−1 (1)
  • Dit is gelijk aan ⋅ − (dus de top ligt op lijn l) (1)

De functie Fa is gegeven door:

1 ax 1 ax Fa ( x) = xe

  • 2 e a a Fa is een primitieve van f a .

Vraag 4 3 punten

Bewijs dat Fa inderdaad een primitieve van f a is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 1 scorepunt toekennen.

Voor f1 geldt f1 ( x) = xe x . In figuur 2 is de grafiek van f1 getekend, en ook lijn l. Het vlakdeel tussen lijn l en de grafiek van f1 is grijs gemaakt.

[figuur 2: zie het originele examen] y

f1 l

O x

Vraag 5 5 punten

Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De gevraagde oppervlakte is gelijk aan het verschil van
    • ∫ xe x dx en de −1 oppervlakte van driehoek OPQ met P het snijpunt van l en de grafiek van f1 en Q de loodrechte projectie van P op de x-as (1) 1

Zwaartepunt en rakende cirkels

Gegeven is cirkel c met middelpunt M (14, 8) en straal 10. Deze cirkel snijdt de x-as in de punten A en B met x A < xB . Zie figuur 1. In A bevindt zich een puntmassa met massa 3, in B een puntmassa met massa 1 en in M een puntmassa met massa 2.

[figuur 1: zie het originele examen] y c

M

A B O x

Vraag 6 5 punten

Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie puntmassa’s.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • AP 2 + PM 2 = AM 2 , waarbij P de loodrechte projectie van M op de x-as is (1p)
  • Dus AP 2 + 82 = 102 , waaruit volgt AP ( = BP ) = 6 (1p)
  • ( 14
    • 6 ) = 8 en voor B: x = Hieruit volgt voor A: x = ( 14 + 6 ) = 20 (1) υυυρ 8  20  14 
  • PM = 8 en AM = 10 , waarbij P de loodrechte projectie van M op de x-as is; dus driehoek APM is een 3-4-5-driehoek (1p)
  • Hieruit volgt AP ( = BP ) = 6 (1p)
  • Hieruit volgt voor A: x = ( 14
    • 6 ) = 8 en voor B: x = ( 14 + 6 ) = 20 (1) υυυρ 8  20  14 

Opmerkingen

  • De vectoren mogen ook genoteerd worden als (8, 0) , (20, 0) en (14, 8) .  12 
  • Als het eindantwoord genoteerd wordt als  2  , voor deze vraag 2 3  maximaal 4 scorepunten toekennen.

De cirkel d met middelpunt N raakt de y-as in de oorsprong O en raakt cirkel c zoals weergegeven in figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

[figuur 2: zie het originele examen] y c

M

O N x d

Vraag 7 5 punten

Bereken exact de straal van cirkel d. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • MN = r + 10 , waarbij r de straal van cirkel d is (1)
  • = 14 − r , waarbij P de loodrechte projectie van M op de x-as is NP (1)
  • MP = 8 , dus geldt (14 − r ) + 82 = ( r + 10 ) (1)
  • Herleiden tot een lineaire vergelijking als 260 − 28r = 20r + 100 (1)
  • Oplossen geeft straal 3 13 (1)

Maxima en minima

De functie f wordt gegeven door f ( x ) = 6sin( x )

  • cos(2 x) .

De grafiek van f heeft oneindig veel toppen.

Vraag 8 6 punten

Bereken exact de x-coördinaten van alle toppen van de grafiek van f.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 4 scorepunten toekennen.

( Een van de toppen is het punt P 1 12 π,

  • 5 . ) De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door P.

Boven P wordt een horizontaal lijnstuk van lengte 2 geplaatst, waarvan de eindpunten op de grafiek van f liggen. Zie de figuur.

figuur y 1 x = 1 _2 

O x

P

Vraag 9 4 punten

Bereken de afstand van P tot het horizontale lijnstuk. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De vergelijking f (= x) f ( x + 2) (of f (= x) f ( x
    • 2) ) moet worden opgelost (1)
  • Beschrijven hoe de vergelijking f (= x) f ( x + 2) kan worden opgelost (1p)
  • Dat geeft ( x = 3, 712... met) y = −3, 657... (andere oplossingen voldoen niet) (1p)

Opmerking Voor het eerste antwoordelement van het eerste alternatief uitsluitend

0 of 2 scorepunten toekennen.

Sheffield Winter Garden

Voor elke waarde van k met k > 0 wordt de functie f k gegeven door:

1 kx

  • kx f k ( x) = (e + e ) 2k De grafiek van f k wordt een kettinglijn genoemd.

Op de grafiek van f k worden twee punten P en Q met gelijke y-coördinaat gekozen. De lengte van het deel van de kettinglijn tussen P en Q noemen we l. De top T van de kettinglijn ligt op de y-as. De afstand van T tot de horizontale lijn PQ noemen we d. Zie figuur 1.

8d Er geldt: k = figuur 1 l 2

  • 4d 2 y P Q In figuur 1 is voor k = 0,7 , xP = −3 en xQ = 3 het bijbehorende deel van de kettinglijn getekend. d

Vraag 10 4 punten

Bereken voor de situatie van figuur 1 de lengte van het deel van de kettinglijn tussen P en Q. f0,7 Rond je eindantwoord af op twee decimalen. T

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • =d f 0,7 (3) − f 0,7 (0) (1)
  • d = 4, 49... (1)
  • De vergelijking 0, 7 = 2 moet worden opgelost (1)
  • (Dit geeft l = 11, 491... dus) de gevraagde lengte is 11, 49 (1)

−3 O 3 x

Als het deel van de grafiek van f k foto tussen P en Q wordt gespiegeld in de x-as en vervolgens omhoog wordt geschoven, ontstaat een boog.

Bij de bouw van de Sheffield Winter Garden, een in 2003 geopende plantenkas, is gebruikgemaakt van dergelijke bogen. Zie de foto.

De ontwerpers hebben een tekening figuur 2 gemaakt van het vooraanzicht van het gebouw. Dit vooraanzicht bestaat uit acht bogen. Zie figuur 2. In de rest van deze opgave kijken we naar de grootste boog. Deze boog is in figuur 2 dikker gedrukt.

Voor de grootste boog in deze tekening geldt:

  • de lengte van de boog is 49,63 meter;
  • het hoogste punt van de boog bevindt zich 20,51 meter boven de grond.

Bij deze grootste boog gaan we een functievoorschrift opstellen. We kiezen daartoe een assenstelsel waarbij de x-as door de onderste punten van de boog gaat en de top van de boog op de y-as ligt. De eenheden langs de assen zijn meters.

In dit assenstelsel wordt de boog weergegeven door de grafiek van een functie h. De grafiek van deze functie h ontstaat door de grafiek van een functie f k te spiegelen in de x-as en de beeldgrafiek vervolgens omhoog te schuiven. Er is precies één waarde van k waarvoor de beeldgrafiek de juiste lengte en hoogte heeft.

Vraag 11 5 punten

Stel een functievoorschrift op van h. Rond de getallen in je eindantwoord af op twee decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Opmerking Als in het eindantwoord ook e op twee decimalen (correct) wordt afgerond, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Natuurlijke logaritme van de wortel

De functie f wordt gegeven door f ( x) = ln ( x ). Deze functie heeft een inverse functie f inv . Er geldt: f inv ( x) = e2 x .

Vraag 12 3 punten

Bewijs dat inderdaad geldt f inv ( x) = e 2 x .

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • f is de samengestelde functie van y = x en y = ln( x) (1) inv x (2p)

De grafiek van f inv wordt ten opzichte van de x-as met factor 12 vermenigvuldigd. Zo ontstaat de grafiek van de functie g. Elke verticale lijn rechts van de y-as snijdt de grafiek van f in één punt en de grafiek van g in één punt. Het lijnstuk tussen deze twee punten heeft een lengte die afhangt van de plaats van de verticale lijn. Zie de figuur.

figuur y g

f

O x

Vraag 13 4 punten

Bereken de minimale lengte van het lijnstuk. Rond je eindantwoord af op drie decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • De lengte van het lijnstuk is g ( x) − f ( x) (1)
  • g ( x)= 1 ⋅ e2 x (1)
  • Beschrijven hoe het minimum van g ( x) − f ( x) berekend kan worden (1)
  • De minimale lengte van het lijnstuk is 1,512 (1)

De functie h wordt gegeven door:

h( x ) = ln ( x) ln( x) De grafiek van h heeft rechts van de y-as één perforatie.

Vraag 14 4 punten

Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord
  • • Het bepalen van de x-coördinaat van de perforatie: ( ) uit ln( x) = 0 volgt x = 1 (en er geldt ln 1 = 0 ) of: uit ln( x ) = 0 volgt x = 1 (en er geldt ln (1) = 0 ) of: uit ln( x) = 0 en ln ( x ) = 0 volgt x = 1 (1) Er geldt ln ( x ) = ln ( x ) 1 • 2 1 (1) 2 ln ( x ) 1 ln ( x ) 2 (1) 2 (1) • (Voor x ≠ 1 en x > 0 ) geldt h( x) ( = = ) = (1) ln ( x ) ln ( x ) (2) • De coördinaten van de perforatie zijn dus (1, 12 ) (1) (4)

Vierkant onder grafiek

1 Voor x > 0 wordt de functie f gegeven door f ( x) = . x In de figuur is de grafiek van f getekend. Onder de grafiek is een vierkant getekend met twee zijden evenwijdig aan de x-as en twee zijden evenwijdig aan de y-as.

figuur y

f

O 1 x

Het vierkant heeft linksonder hoekpunt (1, 0) . Het hoekpunt rechtsboven ligt op de grafiek van f.

Vraag 15 4 punten

Bereken exact de lengte van de zijde van het vierkant.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Er moet gelden f (q )= q
    • 1 , met q de x-coördinaat van het hoekpunt rechtsonder (1)
  • De diagonaal van het vierkant door het hoekpunt rechtsboven ligt op de lijn met vergelijking y= x
    • 1 (1)
  • Voor de x-coördinaat van het hoekpunt rechtsboven geldt x
    • 1 =1x , ofwel x 2
    • x
    • 1 =0 (1)

Twee vierkanten op een kwartcirkel

Gegeven zijn de punten A (1, 0) en B (0, 1). Punt C bevindt zich op de kwartcirkel door A en B met middelpunt O (0, 0) . Op de lijnstukken AC en BC worden twee vierkanten ADEC en BCFG getekend. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen] y G

F E

B

C D

t O A x

De grootte van hoek AOC (in radialen) noemen we t, met 0 < t < 12 π . Punt C heeft dus coördinaten (cos(t ), sin(t )) .

Er is een waarde van t waarvoor de oppervlakte van vierkant ADEC twee keer zo groot is als de oppervlakte van vierkant BCFG.

Vraag 16 5 punten

Bereken deze waarde van t. Rond je eindantwoord af op twee decimalen. υυυρ In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid met vector OF . Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • sin( 12 t ) = 2 , ofwel sin( 12 t ) = 12 AC , dus AC = 2sin( 12 t ) (1) OC

1 BC 2

  • sin( 12 ∠BOC ) = , ofwel sin( 12 ( 12 π
    • t )) = 12 BC , dus OC =BC 2sin( 14 π
    • 12 t ) (1)

[figuur 2: zie het originele examen] y G F E

B

C D t O A x

υυυρ 1

  • sin(t ) + cos(t ) Voor elke waarde van t met 0 < t < 12 π geldt: OF = sin(t ) + cos(t )

Vraag 17 4 punten

Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven · Uitwerkbijlage

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • OF= OC + CF (1) υυυρ υυυρ υυυρ  0   cos(t )  
    • cos(t ) 
  • OF =  + =   (1)  sin(t )   cos(t )   sin(t ) + cos(t )  of
  • xF cos(t ) + 1
    • sin(t ) = (1)
  • yF = yC + ( yF
    • yC ) = yC + ( xC
    • xB ) (1) υυυρ yF sin(t ) + cos(t ) (dus de formule voor OF is juist)

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo Wiskunde B 2018, tijdvak 1. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-1/vw-1025-a-18-1-o

Andere examens wiskunde B vwo

Hoe ToetsChecker wiskunde B per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde B toetsen nakijken met AI.

Veelgestelde vragen

Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1?

Het centraal examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1 telt 17 vragen. De meeste vragen gaan over differentiëren (3), integreren (3) en meetkunde met coördinaten (3).

Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1?

Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.

Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1?

Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-1/vw-1025-a-18-1-c). Bij dit examen hoort ook een aanvulling op het correctievoorschrift.

Hoe oefen ik met het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 1 en krijg ik feedback?

Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.