Eindexamen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Loodrecht in de perforatie, IJsbol, Constante verhouding, Gekanteld vierkant, Anderhalf keer zo groot, Een baan, Buiten een vierkant.

Kort antwoord

Het centraal examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2 telt 16 vragen. De meeste vragen gaan over bewijzen (7), vergelijkingen en ongelijkheden (3) en meetkunde met coördinaten (3). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.

Onderwerpen in dit examen

Onderwerp per vraag in het centraal examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2. Elke vraag is eenmalig door een AI-model bij een onderwerp ingedeeld; per vraag kan dat afwijken.
OnderwerpVragenAantal
Bewijzen1-2, 6-7, 11, 15-167
Vergelijkingen en ongelijkheden3-53
Meetkunde met coördinaten8-103
Parameterkrommen12-143

Vergeleken met andere jaren

Vergeleken met de andere 17 examens wiskunde B vwo sinds 2018: dit examen vroeg meer over bewijzen (44% van de vragen, gemiddeld 8%) en vergelijkingen en ongelijkheden (19% van de vragen, gemiddeld 3%). Minder over functies en grafieken (0% van de vragen, gemiddeld 15%) en differentiëren (0% van de vragen, gemiddeld 14%).

Opgaven en correctievoorschrift

De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.

Oefenen als leerling

Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.

Nakijken als docent

  1. Start gratis vanaf deze pagina

    Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.

  2. Laat de klas het examen maken

    Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.

  3. Geef de resultaten vrij

    Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.

ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.

Vragen en antwoorden

Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.

Loodrecht in de perforatie

−2 + 2 x + 1 De functie f is gegeven door f ( x) = . x 2 Ook is gegeven de functie h door h( x) = . 1+ x +1 Voor x ≠ 0 geldt: f ( x) = h( x)

Vraag 1 3 punten

Bewijs dat voor x ≠ 0 geldt: f ( x ) = h( x )

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Als moet gelden f ( x) = h( x) (voor x ≠ 0 ), dan moet gelden (−2 + 2 x + 1) ⋅ (1 + x + 1) =2 x (voor x ≠ 0 ) (1p)
  • Als moet gelden f ( x) = h( x) (voor x ≠ 0 ), dan moet gelden (−2 + 2 x + 1) ⋅ (1 + x + 1) =2 x (voor x ≠ 0 ) (1p)
  • Dit is gelijk aan 2x (dus f ( x) = h( x) ) (voor x ≠ 0 ) (1p)

4 x2 + x Verder is de functie g gegeven door g ( x) = . x Er is een lijn k die voor x ≠ 0 samenvalt met de grafiek van g.

In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven. Punt P (0, 1) is de perforatie van beide grafieken. In figuur 2 zijn de grafiek van h en lijn k weergegeven en ook hun snijpunt P.

figuur 1 figuur 2

y y

g k

P f P h

O x O x

Er geldt: de grafieken van f en g staan in hun perforatie P loodrecht op elkaar als de grafiek van h en lijn k in hun snijpunt P loodrecht op elkaar staan.

Vraag 2 5 punten

Bewijs dat de grafieken van f en g in hun perforatie P loodrecht op elkaar staan.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • h' ( x) = (2) ⋅ (of een gelijkwaardige uitdrukking) (2) (1 + x + 1) 2 x + 1

Opmerking Als de kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal

3 scorepunten toekennen.

IJsbol

De snelheid waarmee een ijsklontje smelt, hangt foto onder andere af van de verhouding tussen de oppervlakte A in cm2 en het volume V in cm3 van het ijsklontje. Deze verhouding wordt uitgedrukt in A het quotiënt . V Voorbeeld: bij een kubusvormig ijsklontje met

27 = 2 . ribben van 3 cm is dit quotiënt gelijk aan 54

Er zijn ook bolvormige ijsklontjes ofwel ijsbollen. Zie de foto.

Voor een bol met straal r gelden voor A en V de formules A = 4π r 2 en V = 43 π r 3 .

Bij een ijsbol met hetzelfde volume als het genoemde kubusvormige A ijsklontje met ribben van 3 cm is het quotiënt kleiner dan 2. V

Vraag 3 4 punten

Bereken algebraïsch dit quotiënt bij deze ijsbol. Rond je eindantwoord af op 2 decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • • Voor het bolvormige ijsklontje met straal r moet gelden 43 πr 3 = 27 (1) • Dit geeft r = 3 481π ( = 1,86... ) (cm) (1) • De oppervlakte van het bolvormige ijsklontje is ( ) (of 4π ⋅1,86...2 ) (cm ) 2 4π ⋅ 481π (2) 3 1 • Het gevraagde quotiënt is 1,61 (1) of • Voor het bolvormige ijsklontje met straal r moet gelden 43 πr 3 = 27 (1) • Dit geeft r = 3 481π ( = 1,86... ) (cm) (1) A 4 πr 2 3 •= = (1) V 43 πr 3 r • (De gevonden waarde van r invullen geeft) 1,61 (1) (4)

Een ijsbol wordt in een glas water gedaan, figuur waarna de ijsbol in het water drijft. Op het y moment dat de ijsbol in het water wordt gedaan, heeft deze een straal van 1,5 cm. Er geldt dat 92% van het volume van de ijsbol onder water zit en 8% erboven. Het volume van de ijsbol is dan

4 π · 1,53 ≈ 14,137 cm3. x

3 O Het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 = 2, 25 om de y-as. Zie de figuur.

Vraag 4 5 punten

Bereken hoeveel cm de ijsbol boven het water uitsteekt op het moment dat hij in het water wordt gedaan. Rond je eindantwoord af op

2 decimalen.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • Het volume van het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is a ( π ∫ 2, 25 − y 2 dy ) (1)
  • ( Er moet gelden π ∫ 2, 25 − y 2 dy = ) 0,92 ⋅14,137 (1)
  • Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost (2)
  • a ≈ 0,98 dus het gevraagde antwoord is 0,52 (cm) (1)

In een wiskundig model van het smelten van een ijsbol wordt ervan uitgegaan dat de ijsbol tijdens het smelten bolvormig blijft. De straal van de ijsbol is afhankelijk van de tijd. De straal van de ijsbol op tijdstip t is r (t ) , met t in minuten. Het volume van de ijsbol op tijdstip t is dan V (t ) = 43 π ( r (t ) ) . In het model 3

wordt er verder van uitgegaan dat de formule van r (t ) lineair is.

Een ijsbol heeft op tijdstip t = 0 een straal van 1,5 cm. Op tijdstip t = 10 is het volume van deze ijsbol gehalveerd. Vanaf een bepaald tijdstip is er geen ijs meer aanwezig.

Vraag 5 5 punten

Bereken vanaf welk geheel aantal minuten er voor het eerst geen ijs meer aanwezig is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De vergelijking 43 π (10a + 1,5)3 = 7, 068... moet worden opgelost (1p)
  • (Na 10 minuten geldt:) 43 π ⋅ r 3 = 1 ⋅ 4 π ⋅1,53

2 3 1

  • Beschrijven hoe hieruit de waarde van r berekend kan worden (1p)
  • r neemt in 10 minuten af met 0,309… (cm), dus 0,0309… cm per minuut (1) 1,5

Constante verhouding

Voor a > 0 wordt de functie f a gegeven door f a ( x) = x

  • x ln(ax) .

Vraag 6 4 punten

Bewijs dat voor elke toegestane waarde van x geldt:

Bekijk het antwoord
  • f a ( x) + f 1 ( x) = x − x ln(ax) + x − x ln( 1a x) = 2 x − x(ln(ax) + ln( 1a x)) (1)
  • ln(ax) + ln( 1a x) =ln( x 2 ) =2 ln( x) (2)
  • Dus a = = x − x ln( x) ( = f1 ( x) ) (1)

f a ( x) + f 1 ( x) a = f1 ( x) 2

Voor elke positieve waarde van a geldt:

  • de grafiek van f a snijdt de x-as in precies één punt S (met x-coördinaat xS );
  • de grafiek van f a heeft één top T (met x-coördinaat xT ).

In de figuur zijn voor een waarde van a de grafiek van f a en de punten S en T weergegeven.

figuur

y

T

fa

S O x

xS

Vraag 7 7 punten

Bewijs dat voor elke positieve waarde van a de verhouding constant is. xT

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Als de product- en/of kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 5 scorepunten toekennen.

Gekanteld vierkant

Gegeven is het vierkant ABCD figuur 1 met hoekpunten A (8, 0) , B (0, 4) , y

C (−4,

  • 4) en D (4,
  • 8) . B Op zijde AB ligt het punt P (2, 3) . P

Zie figuur 1. A De punten B, C en P liggen op O x één cirkel.

Vraag 8 5 punten

Stel een vergelijking op van deze cirkel. C

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • − 12 x
    • 1 De middelloodlijn van lijnstuk BC heeft vergelijking y =  x   −2   2     + s ) (of vectorvoorstelling = (1)  y   0   −1
  • y 2 x + 1 12 De middelloodlijn van lijnstuk PB heeft vergelijking =  x   1  1   3 1  + t   ) (of vectorvoorstelling = (1)  y   2   2
  • Berekenen van het snijpunt van de middelloodlijnen geeft middelpunt M (−1,
    • 12 ) (1)
  • Invullen van de coördinaten van de punten B, C en P geeft a 2 + (4
    • b) 2 = r 2 , (−4
    • a ) 2 + (−4
    • b) 2 =r 2 en (2
    • a ) 2 + (3
    • b) 2 = r2 (1)
  • Beschrijven hoe dit stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden opgelost kan worden (1p)

D Over lijnstuk DP beweegt figuur 2 (van D naar P) een punt Q. y

B Er is een positie van Q waarvoor P lijnstuk CQ loodrecht staat op lijnstuk DP. Zie figuur 2.

Vraag 9 5 punten

Bereken voor deze positie exact de A O x coördinaten van Q. Q C

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • CQ =   (1)  7
    • 11t  υυυρ υυυρ  2   6 + 2t 
  • 90ο is PC een middellijn van de cirkel (Thales), dus ligt Omdat ∠PQC = Q op de cirkel door P, B en C met vergelijking ( x + 1) 2 + ( y + 12 ) 2 =

21 14 (1)  x   2  2 

  • (2t + 3) 2 + (−11t + 3 12 ) 2 =21 14 geeft 125t 2
    • 65t = 0 (1)
  • 90ο is PC een middellijn van de cirkel (Thales), dus ligt Omdat ∠PQC = Q op de cirkel door P, B en C met vergelijking ( x + 1) 2 + ( y + 12 ) 2 =

21 14 (1)

  • ( x + 1) 2 + (−5 12 x + 14 12 ) 2 =21 14 geeft 31 14 x 2
    • 157 12 x + 190 =

0 (1)

  • 1 ( x = 2 voldoet Dit geeft (bijvoorbeeld met de abc-formule) x = 3 25 niet) (1p)
  • Dus Q heeft coördinaten (2 + 2t , 3
    • 11t ) (1)

2 2 2 2 2 2 2 2 (2)

  • CP = CQ + PQ geeft 6 + 7 = (6 + 2t ) + (7
    • 11t ) + (2t ) + (−11t ) (1)

D

In figuur 3 is driehoek CDQ grijs figuur 3 gemaakt. y Er is een positie van Q waarbij de B oppervlakte van driehoek CDQ een P derde deel is van de oppervlakte van vierkant ABCD.

Vraag 10 5 punten

Bereken voor deze positie exact de A O Q x coördinaten van Q.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • De hoogte van driehoek CDQ, met basis CD, moet 23 deel zijn van de zijde van het vierkant (1)
  • Dus DQ : PQ = 2 :1 (1)
  • ( OQ= OD + 23 ⋅ DP geeft) OQ =   + 32 ⋅   (2)
  • Het antwoord Q ( 83 , − 32 ) (1)

Anderhalf keer zo groot

De functie f is gegeven door f ( x) = x 2 . De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P ( p, p 2 ) met p > 0 snijdt de x-as in een punt A. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijn OP. Zie de figuur.

figuur

y

P(p, p2)

V f

O A x

Vraag 11 8 punten

Bewijs dat de oppervlakte van driehoek OAP anderhalf keer zo groot is als de oppervlakte van V.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • • f ' ( x) = 2 x , dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 2 p (1) 2 • Een vergelijking van de raaklijn is y= 2 p ( x − p ) + p (of een vergelijkbare uitdrukking) (1) • Hieruit volgt dat de x-coördinaat van A gelijk is aan 12 p (1) • De oppervlakte van driehoek OAP is 12 ⋅ 12 p ⋅ p 2 = 1 p3 4 1 • Een vergelijking van de lijn door O en P is y = px (1) p • ( De oppervlakte van V is ∫ px − x 2 dx ) (1) 0 • Een primitieve van px − x is 12 px 2 − 13 x3 2 1 • De oppervlakte van V is 16 p 3 , dus de oppervlakte van driehoek OAP is anderhalf keer zo groot als de oppervlakte van V (1) of • De oppervlakte van driehoek OPP ' , met P '( p, 0) , is 12 ⋅ p ⋅ p 2 =1 p3 2 1 p 1 p3 − (2) • De oppervlakte van V is 2 ∫ x dx (1) 0 • Een primitieve van x 2 is 13 x3 (1) • De oppervlakte van V is 12 p 3 − 13 p 3 = 1 p3 6 1 • f ' ( x) = 2 x , dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 2 p (1) P'P p2 • = 2 p , dus = 2p (1) AP ' AP ' p2 1 • Hieruit volgt AP =' = 2 p , dus OA =OP '− AP ' =p − 12 p =12 p (1) 2p • De oppervlakte van driehoek OAP is 12 ⋅ 12 p ⋅ p 2 = 1 p 3 , dus de 4 oppervlakte van driehoek OAP is anderhalf keer zo groot als de oppervlakte van V (1) (8)

Een baan

Een punt beweegt voor 0 ≤ t ≤ 2π figuur 1 volgens de bewegingsvergelijkingen: y

x(t ) = cos(t )sin(2t )

y (t ) = cos(t ) O x De baan van het bewegende punt is weergegeven in figuur 1.

Voor t = 12 π en t = 1 12 π bevindt het bewegende punt zich in O. Deze situatie laten we in de gehele opgave verder buiten beschouwing.

Pt is de positie van het bewegende punt op tijdstip t.

Er geldt: de lijn door Pa en Pπ−a is voor elke in deze situatie mogelijke waarde van a verticaal.

Vraag 12 3 punten

Bewijs dat die lijn inderdaad verticaal is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De lijn door Pa en Pπ−a is verticaal als de x-coördinaten van Pa en Pπ−a gelijk zijn (1p)
  • Er moet dus gelden dat cos ( π
    • a ) sin ( 2 ( π
    • a ) ) = cos ( a ) sin ( 2a ) (1)
  • − cos ( a ) ⋅
    • sin= ( 2a ) cos ( a ) ⋅ sin ( 2a ) en dus bevinden beide punten zich recht boven elkaar, waarmee het gestelde bewezen is (1) of
  • Er moet bewezen worden dat cos ( π
    • a ) sin ( 2 ( π
    • a ) ) = cos ( a ) sin ( 2a ) (1)
  • Omdat cos ( π
    • a ) =
    • cos ( a ) geldt nu cos ( π
    • a ) ⋅ sin ( 2 ( π
    • a ) ) =
    • cos ( a ) ⋅
    • sin ( 2a ) = cos ( a ) ⋅ sin ( 2a ) en dus bevinden beide punten zich recht boven elkaar, waarmee het gestelde bewezen is (1)

Er zijn meerdere tijdstippen waarvoor geldt dat de afstand van Pt tot de x-as twee keer zo groot is als de afstand van Pt tot de y-as.

Vraag 13 5 punten

Bereken exact het vierde tijdstip waarvoor dit het geval is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerkingen

  • Als gerekend is met x ( t ) = 2 ⋅ y ( t ) voor deze vraag maximaal

2 scorepunten toekennen.

  • Als gerekend is met y ( t )= 2 ⋅ x ( t ) voor deze vraag maximaal

3 scorepunten toekennen.

  • Als gerekend is met x ( t )= 2 ⋅ y ( t ) voor deze vraag maximaal

1 scorepunt toekennen.

Voor iedere waarde van t kunnen de figuur 2 ρ snelheidsvector v vanuit punt Pt en y υυυρ de vector OPt worden getekend. υυυρ In figuur 2 zijn punt Pt , vector OPt en ρ vector v getekend voor t = 34 π . υυυρ ρ O x

Vraag 14 5 punten

Bewijs dat voor t = 34 π geldt: OPt = v

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Als de product- en/of kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.

Buiten een vierkant

Gegeven is het vierkant OABC met O (0, 0) , A (4, 0) en C (0, 4) . Het snijpunt van OB en AC is het punt S. Het punt M (3, 2) is het middelpunt van een cirkel door A en B. De punten F en G zijn de snijpunten van deze cirkel met CS respectievelijk OS. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

C B

F

M S

G

O A

Er geldt: F is het midden van CS.

Vraag 15 5 punten

Bewijs dat F inderdaad het midden is van CS.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De afstand tussen (1, 3) en (3, 2) is 5 (1p)

Verder geldt: G is het midden van OS. In figuur 2 zijn de cirkelsectoren BMF en GMA grijs gemaakt.

[figuur 2: zie het originele examen]

C B

F

M S

G

O A

De oppervlakte van deze twee sectoren samen is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de cirkel.

Vraag 16 3 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • rc MA = −2 en rcGM = 12 dus rc MA ⋅ rcGM = −1 en dus MA ⊥ MG (1p)
  • cos(∠( MF , MG ))=     = (1)  −2   −2  5  ⋅   1   −1  1  1  υυυρ υυυρ  ⋅ 
  • cos(∠( MB, MA)) =  2   −2  =− 3 1 1  1  (5)  ⋅   2   −2  υυυρ υυυυρ υυυρ υυυρ

Opmerking Wanneer de hoeken zijn benaderd voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo Wiskunde B 2018, tijdvak 2. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-2/vw-1025-a-18-2-o

Andere examens wiskunde B vwo

Hoe ToetsChecker wiskunde B per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde B toetsen nakijken met AI.

Veelgestelde vragen

Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2?

Het centraal examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2 telt 16 vragen. De meeste vragen gaan over bewijzen (7), vergelijkingen en ongelijkheden (3) en meetkunde met coördinaten (3).

Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2?

Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.

Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2?

Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2018/vwo/documenten/cse-2/vw-1025-a-18-2-c).

Hoe oefen ik met het examen wiskunde B vwo 2018, tijdvak 2 en krijg ik feedback?

Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.