Eindexamen wiskunde B vwo 2024, tijdvak 1: vragen en antwoorden

Opmerking Als in het derde antwoordelement de positieve x-coördinaat van de top van de grafiek van f wordt berekend, gevolgd door een exact argument, waaruit volgt dat deze x-coördinaat kleiner is dan 1, dan mag het derde scorepunt worden toegekend.

• Als p de x-coördinaat van P is, dan is de x-coördinaat van Q gelijk aan p + 12 (1)
• De vergelijking p5 − 3 p p = ( p + 12 )5 − 3( p + 12 ) p + 12 moet worden opgelost (1)
• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1)
• (Dit geeft p = 0, 6827... , dus) het eindantwoord is 0,683 (1)

• 3 Het gevraagde percentage is ∫ 50e− 2 t dt 1 • (1) 0 Een primitieve van 50e− 2 t is −100e− 2 t 1 (1) • (1) 3 − t − t 3 −1 ∫ 50e 2 dt = −100e 2 0 ( = −100e 2 + 100 = 77, 68... ), dus het 1 1 (1) • 0 eindantwoord is 77,7(%) (1) (3)

• Uit y = t − 2 eat volgt y = t e at − 2 e at (1)
• dy d 1 at 1 d at = t ·e + t · dt dt a a dt a ( ) a e − 2 eat (1)
• = · e + t · e at − 2 e at en dus t − 2 e = te (dus het is dt a a a dt a a een juiste primitieve) (1)

• 20 50 · ∫ t · e − 2 t dt 1 • tgemiddeld = (1) 100 0 Een primitieve van y = t · e− 2 t is (−2t − 4) · e− 2 t 1 (1) • (1) • Invullen van de grenzen in de primitieve geeft −44 · e−10 + 4 (of 3, 99... ) (1) • (Dus tgemiddeld = 1,99... ,) dus het eindantwoord is 2 (minuten) (1) (4)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Het functievoorschrift van g is te schrijven in de vorm g ( x ) = (3( x
  • a )
  • 7) 2 + b (1)
• Er moet gelden g (5) = (3(5
  • 3)
  • 7) 2 + b = 40 (1)
• Dit geeft b = 39 (dus g ( x ) = (3( x
  • 3)
  • 7) 2 + 39 ) (1)

of

• Het functievoorschrift van g is te schrijven in de vorm g ( x) = (3 x
  • a ) 2 + b (1)
• Er moet gelden (3 · 5
  • 16) 2 + b = 40 (1) 2
• Dit geeft b = 39 (dus g ( x ) = (3 x
  • 16) + 39 ) (1)

of

• Het functievoorschrift van g is te schrijven in de vorm g ( x ) = 9 x 2 + ax + b (2p)
• Er moet gelden 9 · 52 + −96 · 5 + b = 40 (1p)
• Dit geeft b = 295 (dus g ( x ) = 9 x 2
  • 96 x + 295 ) (1)

Opmerking Als in het eerste antwoordelement van het eerste antwoordalternatief of in het tweede antwoordelement van het tweede of derde antwoordalternatief de kettingregel niet is gebruikt, mogen voor dit antwoordelement geen scorepunten worden toegekend. Als de kettingregel wel is gebruikt, maar niet correct, mag voor dit antwoordelement hoogstens 1 scorepunt worden toegekend op basis van vakspecifieke regel 1.

• • Voor een punt ( x, y ) op de grafiek van g geldt x = 2 log ( 1+ 8 ) y 1 • Hieruit volgt 22 x = 1 + 8 y (1) • (8) De rest van de herleiding tot y = log 2( 2x ) − 1 (dus ( ) g ( x) = 8 log 22 x − 1 ) (1) • Beschrijven hoe de minimale waarde van f ( x ) − g ( x ) kan worden bepaald (1) • (Dit is 0,956... dus) het eindantwoord is 0,96 (1) (5)

• Er moet gelden f ( p + 1) − f ( p ) = 3 (1)
• Dus 2 log =3 (1)
• Hieruit volgt = 64 (1)
• Hieruit volgt 64 + 64 · 8 p = 1 + 8 p+1 (1)
• Dus 56 · 8 p = −63 (of 7 · 8 p+1 = −63 ) (1)
• Deze vergelijking heeft geen oplossingen, dus er is geen waarde van p waarvoor geldt yQ − y P = 3 (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Een berekening of redenering waaruit volgt t = 12 π of t = 1 12 π (1p)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Op t = 23 π is een richtingsvector van de raaklijn gelijk aan (1) −4 1
• (Een richtingsvector van de x-as is , dus) voor de hoek φ tussen de 0 −4 3 (1) . −4 0 4 3 1 raaklijn en de x-as geldt cos(φ) = = = 3 (1) −4 3 1 8 (2) · −4 (0p)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• OP = 2 12 , MP = 2 en OM = 1 , waarbij M het middelpunt van c is (1p)
• De cosinusregel in driehoek OMP geeft

2 2 = 12 + ( 2 12 )

• 2 ·1 · 2 12 · cos(∠ POM ) , dus 2

22

• 12
• ( 2 12 ) 2 13 cos ( ∠ POM ) = = (1) −2 ·1 · 2 12 (20) xP

• Ook geldt cos(∠POM ) = (1p)

2 12

• Samen geeft dit xP = ( 13 20 · 2 12 = ) 1 85 (1p)

• • Uit de gelijkvormigheid van driehoek BRO en driehoek BSA (want ∠BRO = ∠BSA en ∠OBR = ∠ABS ) (en AB = 4 en OB = 3 ) volgt dat de zijden van driehoek BSA 43 keer zo lang zijn als de zijden van driehoek BRO (1) • Uit de stelling van Pythagoras in driehoek BRO volgt BR = 8 (1) • De oppervlakte van driehoek BRO is 12 ·1 · 8 (= 12 8 ) (1) De oppervlakte van driehoek BSA is ( 43 ) · 12 8 2 • (1) De oppervlakte van vierhoek AORS is ( 43 ) · 12 8 − 12 8 = 18 2 • 7 8 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) of • Uit de gelijkvormigheid van driehoek BRO en driehoek BSA (want ∠BRO = ∠BSA en ∠OBR = ∠ABS ) (en AB = 4 en OB = 3 ) volgt dat de zijden van driehoek BSA 43 keer zo lang zijn als de zijden van driehoek BRO (1) • Uit de stelling van Pythagoras in driehoek BRO volgt BR = 8 (1) • Dus AS = 43 en BS = 43 8 (1) • RS = ( 43 8 − 8 = ) 13 8 (1) 1 + 43 1 • De oppervlakte van vierhoek AORS is · 3 8 = 18 7 8 (of een 2 gelijkwaardige uitdrukking) (1) of • De verdeling van vierhoek AORS in driehoek AOQ en rechthoek QORS, met Q de loodrechte projectie van O op AS (1) • Uit de gelijkvormigheid van driehoek BRO en driehoek OQA (want ∠ BRO = ∠ OQA en ∠ OBR = ∠ AOQ ) (en OB = 3 en AO = 1 ) volgt dat de zijden van driehoek OQA 13 keer zo lang zijn als de zijden van driehoek BRO (1) • Dus AQ = 13 (1) • Uit de stelling van Pythagoras in driehoek OQA volgt OQ = (8) 9 1 • De oppervlakte van vierhoek AORS is 12 · 13 · (8) 9 + 1· (8) 9 = 76 (8) 9 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) of • Uit de stelling van Pythagoras in driehoek BRO volgt BR = 8 (1) • sin(∠OBR) = 13 en cos(∠OBR) = 13 8 (1) • AS = 4 · sin(∠OBR) = 43 en BS = 4 · cos(∠OBR) = 43 8 (1) • RS = ( 43 8 − 8 = ) 13 8 (1) 1 + 43 1 • De oppervlakte van vierhoek AORS is · 8 = 18 7 8 (of een 2 3 gelijkwaardige uitdrukking) (1) (5)

• (Als er een perforatie is, dan moet in dit geval gelden:) teller en noemer moeten (voor dezelfde waarde van x) gelijk zijn aan nul (1)
• De noemer is nul als x2 = −a (1)
• De teller is dan −a 2 − 2 (1)
• Een berekening of redenering waaruit volgt dat de vergelijking −a 2 − 2 = 0 geen oplossingen heeft; dus voor geen waarde van a is er een perforatie (1)

• 2 • yT = ( fa (0) = ) − (1) a 2 2 a− ax − 2 x2 • lim 2 = lim (1) x →∞ x + a x →∞ a 1+ 2 x 2 a • ( lim 2 = 0 en lim 2 = 0 , dus) de limiet is gelijk aan a, dus de x →∞ x x →∞ x horizontale asymptoot is de lijn met vergelijking y = a (of: yS = a ) (1) 2 2 (2) • ( a > 0 en − < 0 , dus) ST = a − − (of ST = a + ) (1) a a a 2 • De afgeleide hiervan is 1 − 2 (1) a 2 • 1 − 2 = 0 geeft a 2 = 2 , dus a = 2 ( a = − 2 voldoet niet) (1) a (6)

Opmerking Als door systematisch zoeken de juiste waarde van n wordt gevonden, dan mogen voor deze vraag 2 scorepunten worden toegekend.

• De cosinusregel in driehoek ZAV geeft 1, 0 2 = 0, 7 2 + d 2 − 2 · 0, 7 · d · cos(α ) (1)
• De cosinusregel in driehoek ZVM geeft 1, 6 2 = 0, 7 2 + d 2 − 2 · 0, 7 · d · cos(180 ° − α ) (1)
• Herleiden van deze twee vergelijkingen geeft respectievelijk 1, 4d · cos(α ) = d 2 − 0,51 en 1, 4d · cos(180 ° − α ) = d 2 − 2, 07 , dus geldt d 2 − 0,51 d 2 − 2, 07 (1, 4d =) = (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• De cosinusregel in driehoek ABZ, met B een hoekpunt van het parallellogram ABMZ, geeft: 1, 6 2 = 1, 02 + 1, 42
  • 2 ·1, 0 ·1, 4 · cos(∠AZB ) ; 1, 62
  • 1, 02
  • 1, 42 hieruit volgt cos(∠AZB) = = 0,1428... (1) −2 ·1, 0 ·1, 4
• De cosinusregel in driehoek AVZ geeft d 2 = 1, 02 + 0, 7 2
  • 2 ·1, 0 · 0, 7 · 0,1428... = 1, 29 (1)

Opmerking Als gewerkt is volgens het eerste antwoordalternatief, mag in het tweede antwoordelement het onderste kental in de vectoren buiten de beoordeling gehouden worden.