Eindexamen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Alle vragen met het antwoord uit het correctievoorschrift. Opgaven: Kromme K, Vectoren spiegelen, Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie, Bankenformules, Twee wortelgrafieken, Asymptoten en raaklijnen, Driehoek in cirkel.

Kort antwoord

Het centraal examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2 telt 16 vragen. De meeste vragen gaan over parameterkrommen (3), bewijzen (3) en differentiëren (3). De opgaven en het correctievoorschrift staan op examenblad.nl. Met ToetsChecker maakt een klas het examen op papier en doet het AI-model per vraag een nakijkvoorstel met feedback, dat de docent controleert en vrijgeeft.

Onderwerpen in dit examen

Onderwerp per vraag in het centraal examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2. Elke vraag is eenmalig door een AI-model bij een onderwerp ingedeeld; per vraag kan dat afwijken.
OnderwerpVragenAantal
Parameterkrommen1-33
Bewijzen6, 8, 113
Differentiëren9, 14, 163
Vectoren4-52
Integreren7, 122
Exponentiële en logaritmische functies101
Functies en grafieken131
Goniometrische functies151

Vergeleken met andere jaren

Vergeleken met de andere 17 examens wiskunde B vwo sinds 2018: dit examen vroeg meer over parameterkrommen (19% van de vragen, gemiddeld 9%) en bewijzen (19% van de vragen, gemiddeld 9%). Minder over meetkunde met coördinaten (0% van de vragen, gemiddeld 14%) en functies en grafieken (6% van de vragen, gemiddeld 15%).

Opgaven en correctievoorschrift

De documenten staan op examenblad.nl, de officiële site van het College voor Toetsen en Examens. ToetsChecker haalt ze daar op als je het examen in de vragenbank kiest.

Oefenen als leerling

Een oud examen maken is de beste voorbereiding, maar zonder nakijken weet je niet waar je punten verliest. Met ToetsChecker maak je het examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2 op papier, net als het echte examen, of online als je docent het digitaal klaarzet. Het AI-model kijkt het na volgens het officiële correctievoorschrift. Zodra je docent het resultaat vrijgeeft, zie je per vraag wat goed was en wat er ontbrak.

Nakijken als docent

  1. Start gratis vanaf deze pagina

    Maak een gratis account vanaf deze pagina, dan staat het examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2 meteen voor je klaar als correctiemodel, met alle vragen en het correctievoorschrift. Dat kost geen credits.

  2. Laat de klas het examen maken

    Op papier, zoals het echte examen: je scant de stapel in één keer of mailt de scan naar je scanadres. Of online, als digitale toetsafname met toezicht; de opgavetekst staat dan als bron bij elke vraag. Afbeeldingen uit het examen gaan niet mee, die staan in de PDF van de opgaven.

  3. Geef de resultaten vrij

    Het AI-model kijkt elk examen na volgens het correctievoorschrift en schrijft feedback per vraag. Bij een oefenexamen geef je alles in één keer vrij; bij een toets die meetelt loop je het voorstel eerst na. De leerling ziet het resultaat pas na jouw vrijgave.

ToetsChecker is geen examensite: je kijkt er ook je eigen SO's, proefwerken, praktische opdrachten en verslagen mee na, handgeschreven of digitaal, met jouw correctiemodel en feedback per vraag. Een gratis account heeft alle functies en 200 credits per maand, genoeg om ongeveer 100 toetsen te laten nakijken. Maak een gratis account of lees eerst hoe het nakijken werkt.

Vragen en antwoorden

Hieronder staan de opgaven en vragen van het examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2. Onder elke vraag klap je het antwoord uit het correctievoorschrift open. Probeer de vraag eerst zelf.

Kromme K

De kromme K is gegeven door de figuur bewegingsvergelijkingen: x(t ) = cos3 (t ) met 0 < t < 12 π 3 y (t ) = sin (t ) In de figuur is kromme K getekend. Ook is voor een waarde van t in het bijbehorende punt van K de raaklijn aan K getekend.

De helling in het punt ( x(t ), y (t )) van K sin(t ) kan worden berekend met:

  • cos(t )

Vraag 1 3 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • x' (t ) = − 3cos 2 (t ) · sin(t ) (1)
  • y' (t ) = 3sin (t ) · cos(t ) (1)
  • De helling is = en de verdere herleiding tot x' (t ) −3cos 2 (t ) · sin(t ) y' (t ) sin(t ) =− (1)

Een vergelijking van de raaklijn in het punt ( x(t ), y (t ) ) van K is:

sin(t ) y=− x + sin(t ) cos(t )

Vraag 2 3 punten

Bewijs dat deze vergelijking juist is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • sin(t ) • Een vergelijking van de raaklijn is y = − x + b en gaat door cos(t ) ( cos (t ), sin (t ) ) 3 (3) 1 • ( Dit geeft: b = sin 3 (t ) + sin(t ) · cos 2 (t ) = sin(t ) · sin 2 (t ) + cos 2 (t ) ) (1) • cos 2 (t ) + sin 2 (t ) = 1 geeft b = sin(t ) (dus is de vergelijking juist) (1) of • cos3 (t ) invullen in de vergelijking geeft: sin(t ) y=− · cos3 (t ) + sin(t ) = − sin(t ) · cos2 (t ) + sin(t ) (1) cos(t ) • ( ) cos 2 (t ) = 1 − sin 2 (t ) geeft y = − sin(t ) 1 − sin 2 (t ) + sin(t ) (1) • ( ) Dit is gelijk aan sin 3 (t ) (dus ligt cos3 (t ), sin 3 (t ) op de lijn) (1) (3)

De raaklijn snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B.

Vraag 3 3 punten

Bewijs dat de lengte van het lijnstuk AB constant is.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • Raaklijn snijden met de y-as geeft yB = sin(t ) (1)
  • Raaklijn snijden met de x-as: − x + sin(t ) = 0 geeft x A = cos(t ) (1)
  • De lengte van het lijnstuk AB is sin 2 (t ) + cos 2 (t ) = 1 (1)

Vectoren spiegelen

Wanneer een vector in een lijn wordt gespiegeld, wordt zowel het beginpunt als het eindpunt van de vector in die lijn gespiegeld. Het resultaat is een nieuwe vector die het gespiegelde beginpunt en het gespiegelde eindpunt verbindt. [figuur 1: zie het originele examen]

In figuur 1 is een voorbeeld υυυρ weergegeven. Daarin wordt vector AB , met A (1, 1) en

B ( 2, 3) , gespiegeld in de lijn met vergelijking υυυρ x = 3 . Het spiegelbeeld is dan vector CD , met C ( 5, 1) en D ( 4, 3) .

υυυρ Gegeven is punt F ( 7, 2 ) en vector OF .

υυυρ υυυρ Vector OF wordt in de x-as gespiegeld. Het spiegelbeeld is vector OG . υυυρ υυυρ 7 Voor één bepaalde combinatie van p en q geldt p · OF + q · OG = . −3

Vraag 4 4 punten

Bereken exact deze waarden van p en q.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • OG = (1)
  • p · OF + q · OG = (1)
  • Beschrijven hoe het stelsel exact kan worden opgelost (1)
  • p = − 14 en q = 54 (1)

x 3 Ook is gegeven de lijn k met vectorvoorstelling = t · . y 4 Zie figuur 2. υυυρ figuur 2 Vector OF wordt gespiegeld in lijn k.

Vraag 5 5 punten

Onderzoek met algebraïsche υυυρ berekeningen of het spiegelbeeld van OF links of rechts van de y-as ligt.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • x 7 (4) • Als S de loodrechte projectie van F op k is, dan is = + s · y 2 −3 een vectorvoorstelling van de lijn door F en S (1) 7 4 (3) • S ligt op k en op de lijn door F en S, dus + s · = t · (1) 2 −3 (4) • De oplossing van dit stelsel is s = − 22 25 (en t = 29 25 ) (1) • Dus xS = 3 12 25 1 • Dit is minder dan de helft van xF = 7 , dus ligt het spiegelbeeld links van de y-as (1) of • Een vergelijking van k is y = 43 x (1) • Een vergelijking van de lijn loodrecht op k en door F is y = − 34 ( x − 7) + 2 (1) • De x-coördinaat van het snijpunt S kan worden berekend met 4 x = − 3 ( x − 7) + 2 (1) 3 (4) • Dit geeft xS = 3 12 25 1 • xF' = xF − 2 · ( xF − xS ) = − 25 1 (of: xF' = xS − ( xF − xS ) = − 25 1 ) (met F ' het eindpunt van het spiegelbeeld) en dus ligt het spiegelbeeld links van de y-as (1) of υυυρ • Voor de hoek α tussen OF en lijn k geldt 3 7 · 4 2 cos(α ) = ( = 0, 796... ) (1) 3 7 · 4 2 • Hieruit volgt α = 37,1... ° (1) 3 0 · 4 1 • Voor de hoek β tussen k en de y-as geldt cos(β) = ( = 0,8 ) (1) 3 0 · 4 1 • Hieruit volgt β = 36,8...° (1) • Omdat β < α (en bij spiegeling de hoek tussen de vector en lijn k gelijk blijft) ligt het spiegelbeeld links van de y-as (1) of υυυρ • Voor de hoek α1 tussen OF en de x-as geldt tan(α1 ) = 72 (1) • Voor de hoek α 2 tussen lijn k en de x-as geldt tan(α 2 ) = 43 , dus α = α 2 − α1 = 37,1...° (1) • Voor de hoek β tussen k en de y-as geldt tan(β) = 34 (of β = 90° − α 2 ) (1) • Hieruit volgt β = 36,8...° (1) • Omdat β < α (en bij spiegeling de hoek tussen de vector en lijn k gelijk blijft) ligt het spiegelbeeld links van de y-as (1) of υυυρ • Voor de hoek α1 tussen OF en de x-as geldt tan(α1 ) = 72 (1) • Voor de hoek α 2 tussen lijn k en de x-as geldt tan(α 2 ) = 43 , dus α = α 2 − α1 = 37,1...° (1) • De hoek van de gespiegelde vector met de x-as is α 2 + α (1) • Deze hoek is 53,1... + 37,1... = 90,...(°) (1) • Dit is meer dan 90 (°) dus ligt de gespiegelde vector links van de y-as (1) (5)

Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie

De functie f p is gegeven door: figuur 1

f p ( x) = 14 x 4

  • x3 + px

De lijn k heeft vergelijking y = px . Lijn k raakt de grafiek van f p voor iedere waarde van p in de oorsprong.

De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f p in het punt A met x-coördinaat 2. Lijn l snijdt de y-as voor elke waarde van p in het punt B ( 0, 4 ) .

Punt M is het snijpunt van lijn k en lijn l.

In figuur 1 is de grafiek van f p weergegeven voor een waarde van p. De raaklijnen k en l zijn gestippeld weergegeven.

Vraag 6 4 punten

Bewijs dat M het midden is van lijnstuk AB. figuur 2 De lijn k en de grafiek van f p sluiten een vlakdeel V in. In figuur 2 is voor een waarde van p vlakdeel V grijs weergegeven.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • • f p' ( x) = x3 − 3x 2 + p (1) • f p' (2) = p − 4 dus een vergelijking van l is y = ( p − 4) x + 4 (1) • De oplossing van de vergelijking px = ( p − 4) x + 4 is de x-coördinaat van M 1 • De oplossing is (voor alle p) x = 1 (en dus is M het midden van AB) (1) of • f p (2) = 2 p − 4 dus A ( 2, 2 p − 4 ) (1) • Lijn l door A ( 2, 2 p − 4 ) en B ( 0, 4 ) heeft vergelijking y = ( p − 4) x + 4 (1) • De oplossing van de vergelijking px = ( p − 4) x + 4 is de x-coördinaat van M 1 • De oplossing is (voor alle p) x = 1 (en dus is M het midden van AB) (1) of • f p (2) = 2 p − 4 dus A ( 2, 2 p − 4 ) (1) • Het midden van AB is (1, p ) (1) • (1, p ) ligt op de lijn door A en B en daarmee op lijn l (1) • p ·1 = p dus (1, p ) ligt op k (en dus is het midden van AB het snijpunt van k en l ) (1) (4)

Vraag 7 5 punten

Bereken exact de oppervlakte van V.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • • De vergelijking 14 x 4 − x3 + px = px moet worden opgelost (1) • De oplossingen zijn x = 0 en x = 4 (1) • De oppervlakte van V is gelijk aan 4 (4) ∫ ( px − ( 1 x 4 − x 3 + px ) ) dx = ∫ ( − x + x ) d x 1 4 (3) 4 (4) 1 0 (0) • Een primitieve van − 14 x 4 + x3 is − 20 1 x5 + 1 x 4 4 1 • De oppervlakte van V is 12 54 (1) (5)

Bankenformules

Op een spaarrekening wordt een bedrag gestort. Het jaarlijkse rentepercentage op deze spaarrekening is constant. Hierdoor groeit het bedrag op de spaarrekening exponentieel. Voor de spaarder is het interessant om te weten na hoeveel jaar het bedrag is verdubbeld. ln(2) De verdubbelingstijd is exact te berekenen met de formule T = . ( p ln 1 + 100 ) Hierin is T de verdubbelingstijd in jaren en p het jaarlijkse rentepercentage.

Vraag 8 4 punten

Bewijs dat deze formule voor T correct is.

Bekijk het antwoord
  • p • Bij groeipercentage p hoort groeifactor 1 + 100 (1) ( ) =2 p T • Bij verdubbelingstijd T geldt 1 + 100 (1) • ( ln 1 + 100 ) p T ( p = T · ln 1 + 100 ) (1) • ( p Hieruit volgt T · ln 1 + 100 ) = ln ( 2 ) dus T = ln(2) 1 ( p ln 1 + 100 ) of • Uit g T = 2 volgt T = g log(2) (1) ln(2) • Dus T = (1) ln( g ) p • Bij groeipercentage p hoort groeifactor ( g = ) 1 + 100 (1) ln(2) • Dus T = (1) ( p ln 1 + 100 ) (4)

Als je geen rekenmachine gebruikt, is de formule voor T onhandig. Daarom gebruiken bankmedewerkers, als zij de verdubbelingstijd willen weten, formules die de exacte verdubbelingstijd benaderen. Zulke formules noemen we bankenformules. Om zo’n bankenformule te vinden onderzoeken we eerst de noemer van de formule voor T. We bekijken dus de functie N gegeven door:

( ) x N ( x) = ln 1 + 100 (met x ≥ 0 )

In de figuur is de grafiek van N getekend. Ook is de raaklijn k aan de grafiek van N in O getekend.

figuur

1 Een vergelijking van k is y = 100 x . Als x > 0 ligt de grafiek van N onder lijn k. Verder geldt: als x groter wordt, dan wordt de verticale afstand tussen de grafiek van N en lijn k groter.

Vraag 9 4 punten

Bewijs met behulp van differentiëren dat de verticale afstand tussen de grafiek van N en lijn k inderdaad groter wordt als x groter wordt.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Voor het tweede antwoordelement mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

Voor kleine positieve waarden van x ligt lijn k dicht bij de grafiek van N. Je kunt dus zeggen dat voor kleine positieve waarden van p geldt dat ( p ln 1 + 100 ) 1 ongeveer gelijk is aan 100 p . Dan geldt dus:

ln(2) 100 · ln(2) 70 T≈ 1 ofwel T ≈ ≈ 100 p p p

Daarmee is een voorbeeld gevonden van een bankenformule: de exacte verdubbelingstijd T kan voor kleine positieve waarden van p benaderd 70 worden door p te berekenen. Deze benadering noemen we T1 .

70 De benadering met de formule T1 = p verschilt voor toenemende waarden van p steeds meer van de waarde volgens de exacte formule, waarmee de benadering dus steeds slechter wordt. Daarom wordt in de praktijk het getal 70 in de teller aangepast als p groter wordt, bijvoorbeeld naar 72. Deze benadering noemen we T2 .

In de tabel wordt voor twee waarden van p de verdubbelingstijd in jaren

70 72 volgens de bankenformules T1 = p en T2 = p vergeleken met de verdubbelingstijd volgens de exacte formule.

tabel rentepercentage p = 1,5 p = 5,5 ln(2) exacte formule T = ( p ln 1 + 100 ) 46,56 12,95

70 bankenformule T1 = p 46,67 12,73 72 bankenformule T2 = p 48,00 13,09

70 In de tabel is te zien dat voor p = 1,5 de bankenformule T1 = p een 72 betere benadering geeft dan de bankenformule T2 = p . In de tabel is ook 72 te zien dat voor p = 5,5 de benadering met T2 = p beter is dan met

T1 = 70p . 72 Vanaf een bepaald rentepercentage p geeft de formule T2 = p een betere 70 benadering van de exacte verdubbelingstijd dan de formule T1 = p .

Vraag 10 5 punten

Bereken dit rentepercentage p. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Beschrijven hoe bovenstaande verschilformules in een tabel kunnen worden weergegeven (1p)
  • p = 4,9 geeft 0,203… respectievelijk 0,204… en p = 5, 0 geeft 0,206… respectievelijk 0,193… (1p)

Opmerking Als in de verschilformules de termen zijn verwisseld, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Twee wortelgrafieken

De functies f en g zijn gegeven door f ( x) = 2 x en g ( x) = 2x . ( Op de grafiek van f ligt het punt P p, 2 p . ) 1 De helling van de grafiek van f in P is gelijk aan . p De lijn door O en P snijdt de grafiek van g in het punt Q. Deze situatie is weergegeven in figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

De helling van de grafiek van g in punt Q is voor elke waarde van p gelijk aan de helling van de grafiek van f in punt P.

Vraag 11 6 punten

Bewijs dit.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • g' ( x) = (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1)
  • De lijn door O en P heeft vergelijking y = x (1)
  • Voor punt Q moet gelden x = 2x (1)
  • Dan volgt ( x = 0 of) · x = 2 (1)
  • Dit geeft xQ = 12 p (1)
  • g' ( 12 p ) = ( =) (en dat is gelijk aan f ' ( p) ) (1)

We kiezen nu p = 4 . Punt R ligt op de grafiek van g recht onder punt P. De raaklijnen in P en R snijden elkaar in het punt S (

  • 4, 0 ) . Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

Het lijnstuk PR en de grafieken van f en g sluiten een vlakdeel in. Dit vlakdeel is in figuur 2 grijsgemaakt.

Vraag 12 6 punten

Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte van dit vlakdeel en de oppervlakte van driehoek PRS.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • De y-coördinaat van P is 4 en de y-coördinaat van R is 8 (=2 2) (1)
  • ( De oppervlakte van driehoek PRS is 12 · 8 · 4 − 2 2 = 8 2 − 2 ) ( ) (1)
  • De oppervlakte van het vlakdeel is ∫ 2 x − 2 x dx ( ) 0 4 ( (of ∫ 2 − 2 ) x dx ) (1)
  • Een primitieve van 2 x − 2 x is 43 x x − 23 x 2 x (of 23 2 − 2 x x ) ( ) (1)
  • De oppervlakte van het vlakdeel is 32 3 − 163 2 (of 163 2 − 2 ) ( ) (1)
  • De verhouding tussen de oppervlakte van het vlakdeel en de oppervlakte van driehoek PRS is 2 : 3 (of een gelijkwaardige verhouding) (of: de oppervlakte van driehoek PRS is 1,5 keer zo groot als de oppervlakte van het vlakdeel) (1)

Asymptoten en raaklijnen

1

  • x De functie f is gegeven door f ( x) = e . In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven.

[figuur 1: zie het originele examen]

De grafiek van f heeft twee asymptoten. Daarom heeft de grafiek van de inverse functie van f ook twee asymptoten.

Vraag 13 3 punten

Stel met behulp van exacte berekeningen vergelijkingen op van de asymptoten van de grafiek van de inverse functie van f.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • De inverse functie van f is gegeven door f inv ( x) = (1) ln( x) −1

Opmerking Als de kandidaat bij het tweede antwoordelement van het eerste antwoordalternatief geen limiet gebruikt, maar een argument noemt als 1 ‘voor x = 0 is en dus f niet gedefinieerd’, hiervoor geen scorepunten in x mindering brengen.

1

1

  • De afgeleide functie van f wordt gegeven door f ' ( x) = 2 · e x . x In de rest van de opgave is het domein van f beperkt tot x > 0 . De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P snijdt de x-as in een punt S. Zie figuur 2.

[figuur 2: zie het originele examen]

De x-coördinaat van S hangt af van de positie van P op de grafiek van f. Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is.

Vraag 14 7 punten

Bereken exact deze maximale waarde van de x-coördinaat van S.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Opmerking Voor het eerste antwoordelement van het eerste antwoordalternatief mogen uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

Driehoek in cirkel

[figuur 1: zie het originele examen] Een lijn k gaat door de oorsprong O en maakt een hoek α met de positieve x-as, met 0° < α < 90° .

Op de positieve x-as ligt een punt M zo dat de cirkel met middelpunt M en straal 1 lijn k raakt. Punt A is het raakpunt en hoek OAM is dus 90° .

In figuur 1 is de situatie voor een bepaalde waarde van α weergegeven.

De coördinaten van A ( x A , y A ) kunnen worden uitgedrukt in α .

Vraag 15 5 punten

Bereken de waarde van α waarvoor x A = 12 . Geef je eindantwoord in hele graden.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

  • Met A ' de loodrechte projectie van A op de x-as geldt: MA ' = sin(α) (1) 1
  • Met A ' de loodrechte projectie van A op de x-as geldt: tan ( α ) = (1) OA ' 1
  • In driehoek OAA ' is AA ' = 2 tan(α) (1p)
  • Voor lijn k geldt: y = ax dus voor punt A geldt: ( 12 , 12 a ) (1p)
  • Uit rck = a volgt dat rc AM =
    • 1a en een vergelijking van de lijn door A en M is y =
    • 1a x + 12 a + 21a (1)
  • ( a + , 0) en dan volgt Het snijpunt van deze lijn met de x-as is M (1) 2

2 (1) 2

(met behulp van de stelling van Pythagoras) ( a ) + ( a ) = 12 2

1 1 (2)

2 (2) 1

  • sin(∠AMO ) = sin ( 90°
    • α ) = (= y A ) (1) 1

Voor elke hoek α (met 0 ° < α < 90 ° ) raakt lijn k de cirkel in punt A. Verder snijdt de cirkel de x-as rechts van het middelpunt in een punt B. Op de cirkel ligt een punt C boven de x-as, zo dat de lijn door M en C hoek AMB middendoor deelt. De positie van M, en dus ook de oppervlakte van driehoek MBC, hangt af van hoek α . In figuur 2 en 3 is voor twee verschillende waarden van α de situatie weergegeven.

figuur 2 figuur 3

Als α nadert naar 0, neemt de oppervlakte van driehoek MBC af tot een grenswaarde.

Vraag 16 5 punten

Bereken exact deze grenswaarde.

Bij deze vraag hoort een afbeelding. Bekijk hem in: Opgaven

Bekijk het antwoord
  • ∠BMA = (180° − ( 90° − α ) =) α + 90° (1)
  • ∠BMC = ( 12 ∠BMA =) 12 α + 45° (1)
  • Als α naar 0 nadert, nadert ∠ BMC naar 45° (1)
  • Met C ' de loodrechte projectie van C op de x-as geldt: CC ' = sin(∠BMC ) . Dus (omdat BM = 1 ) de oppervlakte van driehoek MBC is 12 sin(45°) (1)
  • Als α naar 0 nadert, nadert de oppervlakte naar 14 2 (en dus is de gevraagde grenswaarde 14 2 ) (1)

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo Wiskunde B 2021, tijdvak 2. Afbeeldingen en de exacte opmaak staan in het originele examen: https://www.examenblad.nl/2021/vwo/documenten/cse-2/vw-1025-a-21-2-o

Andere examens wiskunde B vwo

Hoe ToetsChecker wiskunde B per vraagtype nakijkt, lees je op wiskunde B toetsen nakijken met AI.

Veelgestelde vragen

Hoeveel vragen heeft het eindexamen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2?

Het centraal examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2 telt 16 vragen. De meeste vragen gaan over parameterkrommen (3), bewijzen (3) en differentiëren (3).

Wat zijn de antwoorden van het examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2?

Op deze pagina staat bij elke vraag het antwoord uit het officiële correctievoorschrift van het College voor Toetsen en Examens, met de punten per onderdeel. Bij meerkeuzevragen staat de juiste letter erbij.

Waar vind ik het correctievoorschrift van wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2?

Het correctievoorschrift staat op examenblad.nl, de site van het College voor Toetsen en Examens (https://www.examenblad.nl/2021/vwo/documenten/cse-2/vw-1025-a-21-2-c).

Hoe oefen ik met het examen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 2 en krijg ik feedback?

Vraag je docent om het examen als oefentoets klaar te zetten in ToetsChecker. Je maakt het op papier of online, en het AI-model kijkt het na volgens het correctievoorschrift, met feedback per vraag. Je docent geeft het resultaat daarna vrij.