Eindexamen wiskunde B vwo 2026, tijdvak 2: vragen en antwoorden

• (1)

• (1)

• (1)

• (1)

• (1)

• (1)

• De knik bevindt zich bij x = 1 2 2 (en y = 1 2 2 ), dus p ⋅ ¹₂ 2 −= 1 0 (1)
• Dit geeft p = 2 (1)
• In de knik zijn de hellingen (in het linker- en rechterdeel) 1 − 2 en 1 + 2 (1)
• (1 − 2)(1 + 2) =− (dus de hoek die de knik maakt is 90°) 1 (1)

of

• In de knik zijn de hellingen (in het linker- en rechterdeel) 1 − p en 1 + p (1)
• De hoek die de knik maakt is 90° als (1 − p + p ) =− 1 (1)
• Dit is (voor p > 0 ) gelijkwaardig met p = )(1/2 (1)
• Dit is het geval als de knik zich in A bevindt, want 2 ⋅ ¹₂ 2 −= 1 0 (1)

• Een voorwaarde voor een perforatie is dat de teller én de noemer gelijk zijn aan 0, dus sin( ) x = 1 2 (1)
• sin( ) x = 1 ₂ als x =¹₆ π en x = ₆⁵ π (1)
• f x () = 4sin²( x) −1 2sin( x) −1 = ( 2sin( x) −1 2sin( x) −1 )( 2sin( x) +1 ) (1)
• x lim →π¹₆ f x () = _xlim_→π₁₆ 1/x2sin( ) +1 =¹₂ en x lim →π⁵₆ f x () = _xlim_→π₅₆ 1/x2sin( ) +1 =¹₂, dus

de coördinaten van de perforaties zijn (¹₆π,¹₂) en (⁵₆π,¹₂) (1)

67 = A + (87 − A )e^− ⋅ c 2,5

• De gegevens invullen geeft het stelsel (1)

53 = A + (87 − A )e^− ⋅ c 5

A − A ⋅ e⁻ 2,5 c = 67 − 87e⁻ 2,5 c

• Hieruit volgt het stelsel (1)

A − A ⋅ e⁻ 5 c = 53 − 87e⁻ 5 c

• Herleiden tot een vorm zonder A geeft 67 1 −e⁻ − 87e⁻ 2,5 2,5 c c = 53 1 −e⁻ − 87e⁻ 5 c 5 c (1)
• De oplossing van deze vergelijking is c = 0,14... (1)
• Dit geeft A = 20,33... ( oC) (1)
• De temperatuur om 15.00 uur is 49 ( oC) (1)

of 67 = A + (87 − A )e^− ⋅ c 2,5

• De gegevens invullen geeft het stelsel (1)

53 = A + (87 − A )e^− ⋅ c 5

67 − A = e⁻ 2,5 c

• Hieruit volgt het stelsel 87 − A (1)

53 − A = e⁻ 5 c 87 − A

• Herleiden tot een vorm zonder c geeft 67 − A =² 53 − A (1)

87 − A 87 − A

• De oplossing van deze vergelijking is A = 20,33... ( oC) (1)
• Oplossen van de vergelijking 53 − 20,33... = e⁻ 5 c geeft c = 0,14... (1)

87 − 20,33...

• De temperatuur om 15.00 uur is 49 ( oC) (1)

• Voor het temperatuurverschil V geldt V t ( ) = 75e⁻ 0,15 t − 75e⁻ 0,2 t (1)
• V ' t ( ) =− 0,15 ⋅ 75e⁻ 0,15 t −− 0,2 ⋅ 75e⁻ 0,2 t (1)
• Uit V ' t = ( ) 0 volgt 15e⁻ 0,2 t = 11,25e⁻ 0,15 t (1)
• Dit geeft e⁻ 0,05 t = 11,25/15 ( = 0,75 ) (1)
• Hieruit volgt t =− 1/0,05 ⋅ ln(0,75) ( = 5,7... ) (1)
• Het maximale temperatuurverschil is 8 ( oC) (1)

υυυρ − p υυυρ 2 p − 5

• CA = 2 p − 5 en CB = p − 5 (1)
• De vectoren zijn evenwijdig als 2 p − 5 = p − 5 (1)

− p 2 p − 5

• Dit herleiden tot een kwadratische vergelijking zoals 5 p² − 25 p + 25 = 0 (1)
• Dit geeft p = (−)/2 5 5 (of p = 1,381... ) en p = (+)/2 5 5 (of p = 3,618... ) (1)
• Een toelichting waaruit volgt dat voor p = 1,38 de vectoren gelijke richting hebben (1)

υυυρ υυυρ υυυρ

• De wegingsfactoren van de plaatsvectoren OA , OB en OC zijn respectievelijk² ₅ ,² ₅ en¹ 5 (1)
• OZ υυυρ = ₅² ⋅ 5 − p + ₅² ⋅ 2 p + ⋅ ¹₅ 5 = 3 + 5 2 p (1)

2 p p 5 1 + 6 5 p

• Uit 3 + 5 2 p =+ 1 6 5 p volgt p = 2 12 (1)
• De coördinaten zijn (4, 4) (1)

of υυυρ υυυρ υυυρ

• De wegingsfactoren van de plaatsvectoren OA , OB en OC zijn respectievelijk² ₅ ,² ₅ en¹ 5 (1)
• OZ υυυρ = ₅² ⋅ 5 − p + ₅² ⋅ 2 p + ⋅ ¹₅ 5 = 3 + 5 2 p (1)

2 p p 5 1 + 6 5 p

• De lijn l gaat door het punt (3,1) en heeft richtingscoëfficiënt 3, dus een vergelijking van l is y = 3 x − 8 (1)
• Ook geldt y = x , dus de coördinaten zijn (4, 4) (1)

of

• De wegingsfactoren van de puntmassa’s A, B en C zijn respectievelijk ₅² ,² ₅ en¹ 5 (1)
• Een correcte berekening van de coördinaten van het zwaartepunt voor twee verschillende waarden van p. Bijvoorbeeld: voor p = 0 geldt Z = ((₅² ⋅ + 5 ₅² ⋅ + ⋅ ¹₅ 0 5,₅² ⋅ + 0 ₅² ⋅ +¹₅ 0 ⋅ 5) = )(3,1) en voor p = 5 geldt Z = ((₅² ⋅ + 0 ₅² ⋅ 10 + ⋅ ¹₅ 5,₅² ⋅ 10 + ₅² ⋅ + ⋅ ¹₅ 5 5) =)(5,7) (1)

x 3 1

• Een vectorvoorstelling van l is = + t (1)

y 1 3

• Uit 3 +=+ t 1 3 t volgt t =1, dus de coördinaten zijn (4, 4) (1)

• Uit ( ) x t = 0 volgt sin(t ) = cos(3 )t (1)
• sin(t ) = sin(3 t +¹₂π) (1)
• t = 3 t +¹₂π + k ⋅ 2π of t = π −(3t+¹₂ π)+ ⋅ k 2π (1)
• t = ₄³ π , t = 1³₄π , t = ₈¹ π , t = ₈⁵ π , t = 1¹₈π en t = 1 ₈⁵π (1)

• x' t ( ) = cos(t ) + 3sin(3 )t (1)
• y' t ( ) =− sin(t ) + 3cos(3 )t (1)
• x' y' (¹₂π) (¹₂π) = − − 3 1 en x' y' ()π ()π = − − 3 1 (1)

− 3 − 1 ⋅

• cos () ϕ= − 1 − 3 = 0,6 (1)

− 3 − 1 ⋅ − 1 − 3

• Dit geeft ϕ= 53( ) ° (1)

of

• x' t ( ) = cos(t ) + 3sin(3 )t (1)
• y' t ( ) =− sin(t ) + 3cos(3 )t (1)
• De richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de baan in (1,–1) zijn

x' y' (¹₂π) (¹₂π) =−31 en − x' y' (π) (π) =− − 3 1 (1)

• Dit geeft de hoeken 18,4...(° ) en 71,5...(° ) (1)
• De baan snijdt zichzelf onder een hoek van 53(° ) (1)

• De afgeleide van x² is 2x en de afgeleide van ln( ) x is 1 x (1)
• g' x ( ) = x ₂ ⋅ 1 + 2 x ⋅ ln( x) = x + 2 x ⋅ ln( x) (1)

x

• Voor de x-coördinaat van B geldt 1 +2ln( x) = 0 (1)
• Dit geeft ln( ) x =−¹₂ , dus x _B= 1/e (of 0,60…) (1)
• y_B = g 1/e =− 1/2e (of y_B = g (0,60...) =− 0,18... ) (1)
• De horizontale afstand tussen de toppen is 1 (of 0,60…) en de e verticale afstand is 3 2e (of 0,55…) (1)
• De gevraagde lengte is 0,6065 (1)

of

• Als op de grafiek van f een vermenigvuldiging met¹ ₂ ten opzichte van de y-as wordt toegepast, ontstaat de grafiek die hoort bij de vergelijking y = (2 x)² ⋅ ln(¹₂ ⋅ 2 x) (1)
• (2 x)² ⋅ ln(¹₂ ⋅ 2 x) = 4 ⋅ x² ⋅ ln( x) (1)
• Als op de grafiek van y = 4 ⋅ x² ⋅ ln( x) een vermenigvuldiging met¹ ₄ ten opzichte van de x-as wordt toegepast, ontstaat de grafiek van g (1)
• Dus x_B =¹₂ ⋅ x_A = 1/e (of x_B =¹₂ ⋅ x_A = 0,60... ) (1)
• y_B =¹₄ ⋅ y_A =− 1/2e (of y_B =¹₄ ⋅ y_A =− 0,18... ) (1)
• De horizontale afstand tussen de toppen is 1 (of 0,60…) en de e verticale afstand is 3 2e (of 0,55…) (1)
• De gevraagde lengte is 0,6065 (1)

• h x ( ) = x² ⋅ ln( x) = ln( x) = ln( x) (voor x > 0 ) (1)

x² ⋅ ln(¹₂ x ) ln(¹₂ x ) ln(¹₂) + ln( x) ln( x)

• x lim _→∞ln(¹₂) ln( x) + ln( x) = _xlim_→∞ ln( ₁₂) ln( x) + ln( x) (1)

ln( x) ln( x)

• (De grenswaarde is) lim 1 = 1 = 1 (1)

x →∞ ln(¹₂) + 1 0 +1 ln( x)

• f ' x ( ) =− 3/(x x) (of f ' x ( ) =− 1,5 x⁻^1,5 ) (1)

2

• De helling van lijnstuk AB is 1 −3 =− 1/4 (1)

9 −1

• Beschrijven hoe de vergelijking − 3/(2x x) =− 1/4 exact kan worden

opgelost (1)

• Een exacte berekening waaruit volgt x =³ 36 (dus mogelijke waarden zijn p = 36 en q =) 3 (1)

• De inhoud is π ∫³² 9 − ( f x ( ) )² d x (of π∫⁹(₃² − ( f x ( ) )²)_d_x₎ (1)

1 1 9 9

• Dit is gelijk aan π ∫⁹⁻^9/x dx (of π∫ 9 − 9/x dx ) (1)

1 1

• Een primitieve van 9 − 9/x is 9 x − 9ln( x) (1)
• Het antwoord 164 (1)

of

• Als de rechthoek met zijden AD en CD, met C en D de loodrechte projecties van B respectievelijk A op de x-as, om de x-as wordt gewenteld, is de inhoud van de cilinder π ⋅ 3² ⋅ = 8 72π (1)
• Als het vlakdeel binnen deze rechthoek onder de grafiek van f om de 9 9 x-as wordt gewenteld is de inhoud π∫⁽ f x ( ) )² d x = π∫^9/x d x 1 1 9 (of π∫ 9/x dx ) (1)

1

• Een primitieve van 9 x is 9ln( x) (1)
• Het antwoord 164 (1)

• De translatie 1 naar beneden (1)
• De vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 1¹₂ (1)
• De volgorde: eerst de translatie en dan de vermenigvuldiging (1)

of

• Een mogelijke vorm van het functievoorschrift van g is g x ( ) = 3/(a/x) + b

met 3 a + b = 3 en a + b = 0 (1)

• Dit geeft a = 1¹₂ en b =− 1 12 (1)
• Dus eerst de vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met 1¹₂ en dan

de translatie 1¹₂ naar beneden (1)

of

• Een mogelijke vorm van het functievoorschrift van g is g x ( ) = 3/ax + b

met 3 + b = 3 en 3 + b = 0 (1)

a 9 a

• Dit geeft a = ₉⁴ en b =− 1 12 (1)
• Dus een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met⁹ ₄ en een translatie 1¹₂ naar beneden, waarbij de volgorde niet uitmaakt (1)

Opmerking

Als in de uitwerking volgens het eerste antwoordalternatief alleen de correcte translatie wordt genoemd, mag alleen het eerste scorepunt worden toegekend.

• DF = r₂ ⋅ sin(30 ) °=¹₂r ₂ (of driehoek DMF is een 1 − 2 − 3 driehoek, dus

DF =¹₂r ₂) (1)

• Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken OBM en OEC volgt OM = BM (1)

OC CE r₁

• OM = = 2 r₁ (of driehoek OAM is een 1 − 2 − 3 driehoek, dus sin(30 °) OM = 2 r ₁) (1)
• Invullen in OM = BM geeft 2r₁ = r₂ , dus CE =¹₂r ₂ (dus OC CE r₁ CE

CE = DF =¹₂r ₂) (1)

• In driehoek OEC is OC = 4 (en CE =¹₂r ₂), dus (1)

• (1)

• (1)

• (1)

• Een toelichting waaruit volgt dat de gevraagde oppervlakte 2,56 is (1)