Eindexamen wiskunde B vwo 2025, tijdvak 1: vragen en antwoorden

f'(x)=4x^3-60x

f''(x)=12x^2-60

$f''(x)=0$ als $x^2=5$

Dus de $y$-coördinaat van de buigpunten is $(5^2-30\cdot 5=)-125$.

De vergelijking $x^4-30x^2+125=0$ moet worden opgelost

Een exacte berekening waaruit volgt dat $x^2=5$ of $x^2=25$

$x_A=-5$ $(,\ x_B=-\sqrt{5},\ x_C=\sqrt{5})$ en $x_D=5$

De gevraagde lengte is $10$

x'(t)=\cos(t)\cdot(\cos(t)-1)+\sin(t)\cdot(-\sin(t))

Dit herleiden tot $\cos(2t)-\cos(t)$

$\cos(2t)-\cos(t)=0$ geeft $2t=t+k\cdot 2\pi$ of $2t=-t+k\cdot 2\pi$

Dit geeft $t=0$, $t=\frac{2}{3}\pi$, $t=\frac{4}{3}\pi$ en $t=2\pi$

De coördinaten zijn $(0,1)$, $(-\frac{3}{4}\sqrt{3},-\frac{1}{2})$ en $(\frac{3}{4}\sqrt{3},-\frac{1}{2})$

of

$x(t)=\sin(t)\cdot\cos(t)-\sin(t)=0,5\sin(2t)-\sin(t)$

$x'(t)=\cos(2t)-\cos(t)$

$\cos(2t)-\cos(t)=0$ geeft $2t=t+k\cdot 2\pi$ of $2t=-t+k\cdot 2\pi$

Dit geeft $t=0$, $t=\frac{2}{3}\pi$, $t=\frac{4}{3}\pi$ en $t=2\pi$

De coördinaten zijn $(0,1)$, $(-\frac{3}{4}\sqrt{3},-\frac{1}{2})$ en $(\frac{3}{4}\sqrt{3},-\frac{1}{2})$

of

x'(t)=\cos(t)\cdot(\cos(t)-1)+\sin(t)\cdot(-\sin(t))

Dit herleiden tot $2\cos^2(t)-\cos(t)-1$

$2\cos^2(t)-\cos(t)-1=0$ geeft (met behulp van substitutie) $\cos(t)=1$ of $\cos(t)=-\frac{1}{2}$

Dit geeft $t=0$, $t=\frac{2}{3}\pi$, $t=\frac{4}{3}\pi$ en $t=2\pi$

De coördinaten zijn $(0,1)$, $(-\frac{3}{4}\sqrt{3},-\frac{1}{2})$ en $(\frac{3}{4}\sqrt{3},-\frac{1}{2})$

Opmerking

Voor het eerste antwoordelement van het eerste antwoordalternatief, het tweede antwoordelement van het tweede antwoordalternatief en het eerste antwoordelement van het derde antwoordalternatief uitsluitend 0 of 2 scorepunten toekennen, tenzij de enige fout een rekenfout betreft (zie vakspecifieke regel 1). In dat geval mag 1 scorepunt worden toegekend.

x^2=\sin^2(t)\cdot(\cos(t)-1)^2

x^2=(1-\cos^2(t))\cdot(\cos(t)-1)^2

x^2=(1-y^2)\cdot(y-1)^2

$x^2=-y^4+2y^3-2y+1$ (en dus geldt dit voor alle punten van $K$)

of

(Voor iedere waarde van $t$ moet gelden:)

\sin^2(t)\cdot(\cos(t)-1)^2=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1

(1-\cos^2(t))\cdot(\cos(t)-1)^2=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1

(1-\cos^2(t))\cdot(\cos^2(t)-2\cos(t)+1)=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1

-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1=-\cos^4(t)+2\cos^3(t)-2\cos(t)+1

(en dus geldt $x^2=-y^4+2y^3-2y+1$ voor alle punten van $K$)

Het bereik van $y$ is $[-1,1]$

I=\pi\cdot\int_{-1}^{1}x^2\,dy=\pi\cdot\int_{-1}^{1}(-y^4+2y^3-2y+1)\,dy

Een primitieve van $-y^4+2y^3-2y+1$ is $-\frac{1}{5}y^5+\frac{1}{2}y^4-y^2+y$

I=1\frac{3}{5}\pi

$MP=3-r$

(De stelling van Pythagoras in driehoek $MSP$ geeft) $MS=\sqrt{(3-r)^2-r^2}$

Herleiden tot $MS=\sqrt{9-6r}$

$NP=r+2$

$NS=\sqrt{9-6r}+1$

(De stelling van Pythagoras in driehoek $NSP$ geeft)

r^2+\left(\sqrt{9-6r}+1\right)^2=(r+2)^2

Herleiden tot $\sqrt{9-6r}=5r-3$

Hieruit volgt $25r^2-24r=0$

De oplossing $r=\frac{24}{25}$ ($r=0$ voldoet niet)

Voor punten op de grafiek van $f$ geldt: $y=\sqrt{\frac{1}{2}x^2-1}$, dus voor de inverse geldt (door spiegeling in de lijn met vergelijking $y=x$) het verband $x=\sqrt{\frac{1}{2}y^2-1}$

Dit geeft $x^2+1=\frac{1}{2}y^2$

Herleiden tot $y=\sqrt{2x^2+2}$ ($y=-\sqrt{2x^2+2}$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse)

of

Voor punten op de grafiek van $g$ geldt: $y=\sqrt{2x^2+2}$, dus voor de inverse geldt (door spiegeling in de lijn met vergelijking $y=x$) het verband $x=\sqrt{2y^2+2}$

Dit geeft $x^2-2=2y^2$

Herleiden tot $y=\sqrt{\frac{1}{2}x^2-1}$ ($y=-\sqrt{\frac{1}{2}x^2-1}$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse)

of

Er moet gelden $g(f(x))=x$ (of $f(g(x))=x$)

g(f(x))=\sqrt{2\left(\frac{1}{2}x^2-1\right)+2}

Herleiden tot $\sqrt{x^2}=x$ ($\sqrt{x^2}=-x$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse)

\frac{dPQ}{da}=3\sqrt{2}-4\cdot\frac{1}{2\sqrt{a^2-1}}\cdot 2a

$PQ$ is minimaal als $\frac{4a}{\sqrt{a^2-1}}=3\sqrt{2}$

Herleiden tot $16a^2=18(a^2-1)$

Het antwoord $a=3$ ($a=-3$ voldoet niet)

of

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}x^2-1}}\cdot x

$PQ$ is minimaal als $f'(x)=1$

$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}x^2-1}}\cdot x=1$ herleiden tot $x^2=4\left(\frac{1}{2}x^2-1\right)$

Hieruit volgt $x=2$ ($x=-2$ voldoet niet), dus $P(2,1)$. Omdat $P$ op de lijn met vergelijking $y=-x+a$ ligt, volgt $a=3$

of

g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x^2+2}}\cdot 4x

$PQ$ is minimaal als $g'(x)=1$

$\frac{1}{2\sqrt{2x^2+2}}\cdot 4x=1$ herleiden tot $4x^2=2x^2+2$

Hieruit volgt $x=1$ ($x=-1$ voldoet niet), dus $Q(1,2)$. Omdat $Q$ op de lijn met vergelijking $y=-x+a$ ligt, volgt $a=3$

Opmerking

Voor het eerste antwoordelement uitsluitend 0 of 2 scorepunten toekennen, tenzij de enige fout een rekenfout betreft (zie vakspecifieke regel 1). In dat geval mag 1 scorepunt worden toegekend.

De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x=1,41\dots$ (of $x=\sqrt{2}$)

Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7,10)$

De oppervlakte is gelijk aan

\int_{0}^{1,41\dots}g(x)\,dx+\int_{1,41\dots}^{7}\left(g(x)-f(x)\right)dx+\int_{7}^{10}\left(-x+17-f(x)\right)dx

Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden

De gevraagde oppervlakte is 29,24

of

De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x=1,41\dots$ (of $x=\sqrt{2}$)

Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7,10)$

De oppervlakte is gelijk aan een vierkant van 10 bij 10 waarvan drie stukken worden afgehaald, ofwel $10^2-\frac{1}{2}\cdot 3^2-2\cdot\int_{1,41\dots}^{10}f(x)\,dx$

Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden

De gevraagde oppervlakte is 29,24

of

De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x=1,41\dots$ (of $x=\sqrt{2}$)

Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7,10)$

De oppervlakte is gelijk aan

\int_{0}^{7}g(x)\,dx+\int_{7}^{10}(-x+17)\,dx-\int_{1,41\dots}^{10}f(x)\,dx

Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden

De gevraagde oppervlakte is 29,24

Opmerkingen

• Bij het eerste en derde antwoordalternatief mag voor het derde antwoordelement 1 scorepunt worden toegekend als twee van de drie vlakdelen juist zijn.
• Bij het tweede antwoordalternatief mogen voor het derde antwoordelement geen scorepunten worden toegekend als alleen $10^2-\frac{1}{2}\cdot 3^2$ genoemd is.

In het laagste punt geldt $Z_{\text{blokje}}=50$ dus $Z_{\text{veer}}=200$

In het hoogste punt geldt $Z_{\text{blokje}}=250$ dus $Z_{\text{veer}}=300$

Een toelichting waaruit blijkt dat de evenwichtsstand 250 is en de amplitude 50

of

Het inzicht dat het gemiddelde van 350 en $Z_{\text{blokje}}$ de formule voor $Z_{\text{veer}}$ geeft

Z_{\text{veer}}=\frac{1}{2}\cdot\left(350+150-100\cos(4t)\right)

Een toelichting waaruit blijkt dat de evenwichtsstand 250 is en de amplitude 50

($v$ is de afgeleide van $Z_{\text{blokje}}$ dus) $v(t)=400\sin(4t)$

Uit $400\sin(4t)=255$ volgt $4t=0,69\dots$ of $4t=2,45\dots$

De gevraagde hoogtes zijn $150-77=73$ (cm) en $150+77=227$ (cm)

of

Beschrijven hoe de vergelijking $\frac{d}{dt}\left(150-100\cos(4t)\right)=255$ opgelost kan worden

Uit $400\sin(4t)=255$ volgt $t=0,17\dots$ of $t=0,61\dots$

De gevraagde hoogtes zijn $150-77=73$ (cm) en $150+77=227$ (cm)

Aanvulling: Op pagina 14, bij vraag 12 moet in het tweede antwoordalternatief, bij de tweede deelscore "Uit 400sin(4t) = 255 volgt t = 0,17... of t = 0,61..." vervangen worden door "Hieruit volgt t = 0,17... of t = 0,61...".

Opmerking

Als de kandidaat slechts één van de gevraagde hoogtes berekent, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.

Het aandeel van $Z_{\text{blokje}}$ is $\frac{1000}{1600}$ en het aandeel van $Z_{\text{veer}}$ is $\frac{600}{1600}$ (of gelijkwaardige uitdrukkingen)

Dus $Z_{\text{totaal}}(t)=\frac{1000}{1600}\cdot(150-100\cos(4t))+\frac{600}{1600}\cdot(250-50\cos(4t))$

Dit herleiden tot $Z_{\text{totaal}}(t)=187{,}5-81{,}25\cos(4t)$

Opmerking

Als de kandidaat geen gebruik maakt van de getallen 600 en 1000, voor deze vraag maximaal 1 scorepunt toekennen.

Een vectorvoorstelling van de lijn door $P$, loodrecht op $k$ is

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\3p+32\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

Voor het snijpunt met lijn $k$ geldt

\begin{cases} p+s=t \\ 3p+32+s=20-t \end{cases}

Dit geeft $s=-2p-6$ (of $t=-p-6$) dus $x=-p-6$

$y=3p+32-2p-6=p+26$ (en dus zijn de coördinaten van $P'$ juist)

of

Een vergelijking van lijn $k$ is $y=-x+20$

Een vergelijking van de lijn door $P$, loodrecht op $k$ is $y=x+2p+32$

Uit $x+2p+32=-x+20$ volgt $x=-p-6$

$y=-(-p-6)+20=p+26$ (en dus zijn de coördinaten van $P'$ juist)

of

De richtingscoëfficiënt van lijn $k$ is $-1$ (en $P'$ ligt op $k$)

(Omdat $PP'$ loodrecht staat op $k$, moet gelden:) de richtingscoëfficiënt van $PP'$ is gelijk aan $1$

\frac{3p+32-(p+26)}{p-(-p-6)}=1

Hieruit volgt $2p+6=2p+6$ (ofwel dat de coördinaten van $P'$ juist zijn)

$PP'=\sqrt{\left(-p-6-p\right)^2+\left(p+26-(3p+32)\right)^2}=\sqrt{8p^2+48p+72}$

$PB=\sqrt{\left(-18-p\right)^2+\left(-2-(3p+32)\right)^2}=\sqrt{10p^2+240p+1480}$

$PP'=PB$ herleiden tot $p^2+96p+704=0$ (of een vergelijkbare kwadratische uitdrukking in $p$)

Dit geeft $p=-8$ en $p=-88$

De gevraagde coördinaten zijn $(-8,8)$ en $(-88,-232)$

De afstand van $A$ tot $O$ is $\sqrt{a^2+\ln^2(a+1)}$ en de afstand van $B$ tot $O$ is $\sqrt{a^2+\ln^2(a)}$

De vergelijking $\sqrt{a^2+\ln^2(a)}-\sqrt{a^2+\ln^2(a+1)}=2$ moet worden opgelost

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

De gevraagde waarde van $a$ is $0{,}12$

Afstand $AB$ is $\ln(a+1)-\ln(pa)$

$\ln(a+1)-\ln(pa)=\ln\left(\frac{a+1}{pa}\right)$

$\frac{a+1}{pa}=\frac{1+\frac{1}{a}}{p}$ dus $\lim_{a\to\infty}\left(\frac{1+\frac{1}{a}}{p}\right)=\frac{1}{p}$

$\ln\left(\frac{1}{p}\right)=1$ geeft $p=\frac{1}{e}$

of

Afstand $AB$ is $\ln(a+1)-\ln(pa)$

$\ln(a+1)-\ln(pa)=\ln(a+1)-\ln(p)-\ln(a)=\ln\left(\frac{a+1}{a}\right)-\ln(p)$

$\frac{a+1}{a}=1+\frac{1}{a}$ dus $\lim_{a\to\infty}\left(\frac{a+1}{a}\right)=1$

$-\ln(p)=1$ (ofwel $\ln(p)=-1$) geeft $p=\frac{1}{e}$

$h_q'(x)=\frac{1}{2x}$ (voor $x<0$)

Voor punten op de grafiek van $f$ met een negatieve $x$-coördinaat geldt $y=-\ln(x+1)$

Voor deze punten geldt $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{2x}=-\frac{1}{x+1}$ geeft $x=-\frac{1}{3}$

Er moet gelden $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{3}\right)+q=-\ln\left(\frac{2}{3}\right)$

Dit geeft $q=-\ln\left(\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{3}\right)$, dus de gevraagde waarde van $q$ is $0{,}95$