Eindexamen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 1: vragen en antwoorden

• • f ' ( x) = 1 − 2 x , dus rcl = f ' (0) = 1 (1) • ( rcl · rc m = −1 , dus) rcm = −1 (1) • ( 12 , 14 ) invullen in y = − x + b geeft voor m de vergelijking y = − x + 34 (1) • Uit − x + 34 = x − x 2 volgt x 2 − 2 x + 34 = 0 (1) • Exact oplossen geeft x = 1 12 ( x = 12 geeft T ) (1) 1 (1) ( ( x − x ) − ( − x + ) ) dx 2 • De oppervlakte van V is gelijk aan ∫ 2 (3) 4 1 1 2 • Een primitieve van − x 2 + 2 x − 34 is − 13 x3 + x 2 − 34 x (1) • Invullen van de grenzen geeft: de oppervlakte van V is 16 (1) (8)

• 2sin( x) − sin(2 x) = sin(2 x) herleiden tot sin( x) = sin(2 x) (1)
• Dit geeft x = 2 x + k · 2π (met k geheel) of x = π − 2 x + k · 2π (met k geheel) (1)
• Hieruit volgt x = k · 2π (met k geheel) of x = 13 π + k · 23 π (met k geheel) (1)
• De x-coördinaten van P en Q zijn x = 13 π en x = 1 23 π (de andere oplossingen geven punten op de x-as) (1)

Opmerking Voor het derde antwoordelement mag voor een niet volledig juist antwoord

1 scorepunt worden toegekend.

• f ( 13 π ) = 12 3 en k ( 13 π ) = 12 3 (en zijn dus gelijk) (1)
• f ' ( x) = 2 cos( x) − 2 cos(2 x) (1)
• k ' ( x) = (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1)
• f ' ( 13 π ) = 2 en k ' ( 13 π ) = 2 (en zijn dus gelijk) (dus de grafiek van k raakt de grafiek van f in een punt met x-coördinaat 13 π ) (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• De tijd die de primaire golf nodig heeft is d6 (seconden) (1p)
• d (seconden) De tijd die de secundaire golf nodig heeft is 3,5 (1p)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• ST = 1922 + 1282 = 230, 75... (1p)
• Voor de hellingshoek α van ST geldt tan(α) = 192 128 , waaruit volgt α = 33, 69...(°) (1p)
• Toepassen van de cosinusregel in driehoek STE (met E de plaats van het epicentrum) geeft 802 = 2402 + 230, 75...2
  • 2 · 240 · 230, 75... · cos(∠EST ) (1)
• Algebraïsch oplossen geeft ∠EST = 19, 44...(°) (1p)
• De hellingshoek van SE is dus gelijk aan 33, 69... + 19, 44... = 53,13...(°) of gelijk aan 33, 69...
  • 19, 44... = 14, 25...(°) (1)
• Dit geeft voor E (240 · cos(53,13...), 240 · sin(53,13...)) en (240 · cos(14, 25...), 240 · sin(14, 25...)) , dus de gevraagde coördinaten zijn (144, 192) en (233, 59) (1p)

of

• Dit geeft x 2
  • 2 ·192 · x + 1922 + 2402
  • x 2
  • 2 ·128 · 2402
  • x 2 + 1282 = 802 en hieruit volgt
  • 256 240 2
  • x 2 = 384 x
  • 104 448 (1)

Opmerking Als doorgerekend wordt met waarden van a en b die zijn afgerond op twee decimalen (resulterend in het eindantwoord (-)1) of meer dan twee decimalen, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

• υυυρ p υυυρ 1 • CP = en CA = (1) −1 −1 p 1 · −1 −1 • cos ( ∠PCA ) = (1) p 1 · − 1 −1 p +1 • Dit is gelijk aan (1) p2 + 1 · 2 υυυρ 1p • ( CQ = dus) (p vervangen door 1p geeft) −1 1 +1 cos ( ∠ACQ ) = p 1 ( ) 2 1 p +1 · 2 1 +1 p • Teller en noemer van vermenigvuldigen met p geeft ( ) +1 · 2 2 1 p 1+ p 1 ( ) +1 · 2 2 2 p · (1) p 1+ p • Dit is gelijk aan , (dus cos ( ∠ACQ ) = cos ( ∠PCA) ,) dus (in 1 + p2 · 2 υυυρ deze situatie) ∠ACQ = ∠PCA (dus de hoek tussen de vectoren CP en υυυρ υυυρ υυυρ CA is gelijk aan de hoek tussen de vectoren CA en CQ ) (1) of υυυρ p υυυρ 1 • CP = en CA = (1) −1 −1 p 1 · −1 −1 • cos ( ∠PCA ) = (1) p 1 · − 1 −1 p +1 • Dit is gelijk aan (1) p2 + 1 · 2 υυυρ 1p • ( CQ = dus) (p vervangen door 1p geeft) −1 1 +1 cos ( ∠ACQ ) = p 1 ( ) 2 1 p +1 · 2 • Gelijkstellen van beide uitdrukkingen en vervolgens kruislings vermenigvuldigen geeft (dat bewezen moet worden:) ( ) ( ) (1) 2 (2) p 2 1p + 1 + 1p + 1 = (2) p2 + 1 + p2 + 1 (1) p 1 (1) • Dit geeft 1 + p2 + (2) +1 = 1+ (2) + p 2 + 1 , (en dit is inderdaad aan p p elkaar gelijk, dus cos ( ∠ACQ ) = cos ( ∠PCA) ,) dus (in deze situatie) υυυρ υυυρ ∠ACQ = ∠PCA (dus de hoek tussen de vectoren CP en CA is gelijk υυυρ υυυρ aan de hoek tussen de vectoren CA en CQ ) (1) of −1 • De richtingscoëfficiënt van de lijn door C en Q is (1) = −p (1) p • Het snijpunt R van de lijn door C en Q en lijnstuk AB heeft dus y-coördinaat 1− p (1) • PA = 1 − p , dus PA = RA (1) • ∠PAC = ∠RAC (= 45°) (want AC is een diagonaal van een vierkant) (1) • Ook geldt CA = CA , dus ΔCAP is gelijkvormig met ΔCAR (1) • Uit deze gelijkvormigheid volgt dat ∠ACQ = (∠ACR =) ∠ACP (dus de υυυρ υυυρ hoek tussen de vectoren CP en CA is gelijk aan de hoek tussen de υυυρ υυυρ vectoren CA en CQ ) (1) of OC 1 • = (1) OP p 1 OQ p 1 • = = (1) OC 1 p • Ook geldt ∠POC = ∠COQ , dus ΔOPC is gelijkvormig met ΔOCQ (1) • ∠OQC = ∠BCQ (Z-hoeken), dus ∠OCP = ∠OQC = ∠BCQ (1) • ∠ ACP = 45 ° − ∠ OCP en ∠QCA = 45° − ∠BCQ (1) υυυρ υυυρ • Dus ∠ACP = ∠QCA (dus de hoek tussen d (6)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• De richtingscoëfficiënt van de lijn door P en B is (1) 1− p
• De richtingscoëfficiënt van de lijn door M loodrecht op PB is p
  • 1 (1)
• Hieruit volgt dat een vergelijking van de lijn door M loodrecht op PB is y = ( p
  • 1) x
  • 12 p 2 + 1 (1)
• Deze lijn gaat door Q als 0 = ( p
  • 1) · 1p
  • 12 p 2 + 1 (1)
• In dit geval is de lijn door M en Q de middelloodlijn van lijnstuk PB (2p)
• Een vergelijking van een normaalvector van PB is (1
  • p ) x + y = c (1)
• ( ) Invullen van Q 1p , 0 geeft voor de normaalvector door Q dat (1
  • p ) · 1p = c (1)
• De normaalvector moet door M gaan, dus er moet gelden (1
  • p ) · ( 12 p + 12 ) + 12 = (1
  • p ) · 1p (en deze vergelijking moet worden opgelost) (1)

Opmerking In het derde antwoordalternatief mogen voor het eerste antwoordelement uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

• t 2 = a geeft t = − a of t = a (1)
• ( ) yS = y − a = a + 2 a en y R = y ( a)= a−2 a (1)
• = = (1)
• ( nadert naar 0 als a onbegrensd toeneemt, dus) de limiet is 1 a 1− 2 a (of lim = 1) (1)

• f1 ( x) = x + (1)
• (Als x onbegrensd toeneemt, nadert tot 0, dus) de vergelijking van x2 de scheve asymptoot is y = x (1)
• Omdat ( 4 > 0 en) x 2 > 0 , geldt x + > x (dus ligt de grafiek van f1 x2 boven de scheve asymptoot) (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Er geldt f p' ( x) = ( ) x 2 · 3x 2
  • x3 + 4 p · 2 x 1 ( ) 2 x2

8p x 4

• 8 px

• Dus de y-coördinaat van de top is (2) = 1 12 x (dus de toppen liggen op x de lijn met vergelijking y = 1 12 x ) (1p)

of

4p

• (Voor elke waarde van p > 0 geldt) (1) = 1 12 (of 3 p 3 = 1 12 · 2 p 3 ) (dus

2 p3 de toppen liggen op de lijn met vergelijking y = 1 12 x ) (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Er moet gelden ( xC
  • xB = 3 · xB , dus) xC = 4 · xB (1)
• De vergelijking ln(b) = ln(4b) moet worden opgelost, waarbij b de x-coördinaat van B is (1p)
• Dit geeft b = 12 ( b =
  • 12 voldoet niet), dus q = ln(2) (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1)