Eindexamen wiskunde B vwo 2026, tijdvak 1: vragen en antwoorden

$7^2+24^2=625$, dus de vergelijking van de cirkel is $x^2+y^2=625$

De vergelijking van $k$ is te schrijven als $y=\frac{3}{4}x$, dus voor de $x$-coördinaat van $S$ geldt $x^2+\left(\frac{3}{4}x\right)^2=625$

$\frac{25}{16}x^2=625$ geeft $x=20$ ($x=-20$ voldoet niet)

($x=20$ invullen in $y=\frac{3}{4}x$ geeft) de coördinaten van $S$ zijn $(20, 15)$

De coördinaten van $A$ zijn van de vorm $\left(a, \frac{3}{4}a\right)$

$\overrightarrow{PA}=\begin{pmatrix} a-7 \\ \frac{3}{4}a-24 \end{pmatrix}$

\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a-7\\ \frac{3}{4}a-24\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}a-7\\ \frac{3}{4}a-24\end{pmatrix}\right|}=\frac{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a-7\\ \frac{3}{4}a-24\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}a-7\\ \frac{3}{4}a-24\end{pmatrix}\right|}

Dit geeft $\frac{4(a-7)+3\left(\frac{3}{4}a-24\right)}{5}=\frac{a-7}{1}$

(Dit geeft $a=52$, dus) de coördinaten van $A$ zijn $(52, 39)$

of

De richtingscoëfficiënt van $k$ is $\frac{3}{4}$ en de hoek tussen $k$ en de $x$-as is gelijk aan $\angle OAB$ (Z-hoeken)

$\tan(\angle OAB)=\frac{3}{4}$ geeft $\angle OAB=36{,}86\ldots^\circ$ dus $\angle OAP=18{,}43\ldots^\circ$

$\tan(\angle OAP)=0{,}33\ldots$ en dus $0{,}33\ldots=\frac{0{,}75a-24}{a-7}$

Beschrijven hoe op algebraïsche wijze hieruit de waarde van $a$ gevonden kan worden

(Dit geeft $a=52$, dus) de coördinaten van $A$ zijn $(52, 39)$

$f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^2}$

$f'\left(\frac{1}{2}\right)=-2$

Dus de richtingscoëfficiënt van $m$ is $\frac{1}{2}$

De vergelijking moet worden opgelost: $\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^2}=\frac{1}{2}$

Herleiden tot $x^2-4x+3=0$

Een exacte berekening waaruit volgt $x_Q=1$ ($x=3$ voldoet niet)

Het inzicht dat (het vervangen van $x$ door $2x$ betekent dat) er sprake is van een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as

De bijbehorende factor is $\frac{1}{2}$

Uit $2\ln(x)+\frac{3}{2x}-1=2\ln(2x)+\frac{3}{4x}-1$ volgt $\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=2\ln(2x)-2\ln(x)$

$\frac{3}{2x}-\frac{3}{4x}=\frac{3}{4x}$

$2\ln(2x)-2\ln(x)=2\ln(2)$

$\frac{3}{4x}=2\ln(2)$ geeft $x=\frac{3}{8\ln(2)}$ (of een gelijkwaardige uitdrukking)

(Uit $x-1=0$ volgt:) de $x$-coördinaat van de perforatie is $1$

Voor $x=1$ moet gelden dat $|x-2|+p=0$

Hieruit volgt $1+p=0$, dus $p=-1$

\lim_{x\to 1} f_{-1}(x)=\lim_{x\to 1}\frac{|x-2|-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{-(x-2)-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{-x+1}{x-1}=-1

De coördinaten van de perforatie zijn $(1, -1)$

De gevraagde oppervlakte kan berekend worden met behulp van $\int_{2}^{5}\left(1-\frac{1}{x-1}\right)\,dx$

Een primitieve van $1-\frac{1}{x-1}$ (voor $x\geq 2$) is $x-\ln(x-1)$

Invullen van de grenzen geeft: de oppervlakte van $V$ is $3-\ln(4)$

$h_0'(t)=-9{,}8\cdot t$

$0{,}45$ invullen geeft de gevraagde snelheid is $(-)4{,}4$ (m/s)

Invullen van $n=2$ geeft $T_2=0{,}576$

$t_K=0{,}45+0{,}72+T_2=1{,}746$

$t_L=\left(0{,}45+0{,}72+T_2+0{,}9\cdot 0{,}8^3=\right)2{,}2068$

$h_3$ heeft een functievoorschrift van de vorm $h_3(t)=p(t-1{,}746)(t-2{,}2068)$

Voor het hoogste punt na stuit 3 geldt: $t=\frac{1}{2}(1{,}746+2{,}2068)=1{,}9764$

Er moet gelden $h_3(1{,}9764)=0{,}64^3\ (=0{,}262144)$

Hieruit volgt $p=-4{,}938\ldots$, dus $h_3(t)=-4{,}94(t-1{,}75)(t-2{,}21)$ (voor $1{,}75\leq t\leq 2{,}21$)

of

Invullen van $n=2$ geeft $T_2=0{,}576$

Voor het hoogste punt na stuit 3 geldt: $t=0{,}45+0{,}72+T_2+\frac{1}{2}T_3$

Dus $t=\left(0{,}45+0{,}72+T_2+\frac{1}{2}\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8^3=\right)1{,}9764$

Er moet gelden $h_3(1{,}9764)=0{,}64^3\ (=0{,}262144)$ (dus de coördinaten van de top zijn $(1{,}9764;\ 0{,}262144)$)

$h_3$ heeft dus een functievoorschrift van de vorm $h_3(t)=p(t-1{,}9764)^2+0{,}262144$

$t_K=0{,}45+0{,}72+T_2=1{,}746$, dus er moet gelden $h_3(1{,}746)=0$

Hieruit volgt $p=-4{,}938\ldots$, dus $h_3(t)=-4{,}94(t-1{,}98)^2+0{,}26$ (voor $1{,}75\leq t\leq 2{,}21$)

Opmerkingen

• Als voor $p$ de waarde $-4{,}9$ (uit de vorige vraag) wordt gebruikt, voor deze vraag maximaal 5 scorepunten toekennen.
• Als een leerling het functievoorschrift in de volgende vorm heeft weergegeven: $h_3(t)=-4{,}94t^2+19{,}52t-19{,}03$, mogen alle scorepunten worden toegekend.

De baansnelheid wordt gegeven door $v(t)=\sqrt{\left(4t-3t^2\right)^2+\left(4-4t\right)^2}$

Beschrijven hoe het minimum kan worden berekend

De gevraagde waarde van $t$ is $1{,}12$

$P$ en $Q$ liggen op gelijke hoogte als geldt: $2t(2-t)=2(t-1)(2-(t-1))$

Dit geeft $4t-2t^2=-2t^2+8t-6$

$4t=8t-6$ geeft $t=1\frac{1}{2}$

De lengte van lijnstuk $PQ$ is $\left(x\left(1\frac{1}{2}\right)-x\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{8}-\frac{3}{8}=\right)\frac{3}{4}$

$x'(t)=0$ geeft $t=\frac{4}{3}$ ($t=0$ voldoet niet)

De coördinaten van $A$ zijn $\left(\frac{32}{27},\frac{8}{9}a\right)$

$y'(t)=2a-2at$

$y'(t)=0$ geeft $t=1$; hieruit volgt dat $(1,a)$ de coördinaten van $B$ zijn

De richtingscoëfficiënt van $AB$ is $\frac{\frac{8}{9}a-a}{\frac{32}{27}-1}\left(=-\frac{3}{5}a\right)$

$-\frac{3}{5}a=-1$ geeft $a=\frac{5}{3}$

of

$x'(t)=0$ geeft $t=\frac{4}{3}$ ($t=0$ voldoet niet)

De coördinaten van $A$ zijn $\left(\frac{32}{27},\frac{8}{9}a\right)$

$y'(t)=2a-2at$

$y'(t)=0$ geeft $t=1$; hieruit volgt dat $(1,a)$ de coördinaten van $B$ zijn

De driehoek $ASB$ (met $S$ het snijpunt van de verticale lijn door $A$ en de horizontale lijn door $B$) moet gelijkbenig zijn, dus $\frac{1}{9}a=\frac{5}{27}$

$\frac{1}{9}a=\frac{5}{27}$ geeft $a=\frac{5}{3}$

of

De baan van deze vraag ontstaat uit de baan van de vorige vraag door een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as met factor $\frac{1}{2}a$

$x'(t)=0$ geeft $t=\frac{4}{3}$ ($t=0$ voldoet niet)

Voor $a=2$ zijn de coördinaten van $A$ $\left(\frac{32}{27},\frac{16}{9}\right)$

$y'(t)=0$ geeft $t=1$; hieruit volgt (voor $a=2$) dat $(1,2)$ de coördinaten van $B$ zijn

Dus (voor $a=2$) is de richtingscoëfficiënt van $AB$ gelijk aan $\frac{2-\frac{16}{9}}{1-\frac{32}{27}}\left(=-\frac{6}{5}\right)$

(Dus voor de vermenigvuldigingsfactor $\frac{1}{2}a$ geldt) $\frac{1}{2}a\cdot -\frac{6}{5}=-1$ en hieruit volgt $a=\frac{5}{3}$

$f(x)=1$ geeft $2\sin(x)=\cos(x)$

Dus $\tan(x)=\frac{1}{2}$

De oplossingen zijn periodiek met periode $\pi$ (of: het oplossen van de vergelijking geeft $x=0{,}46\ldots+k\cdot\pi$) dus $AB=BC=\pi$

$\frac{d(1+2\sin(x))}{dx}=2\cos(x)$ en $\frac{d(1+\cos(x))}{dx}=-\sin(x)$

$f'(x)=\frac{(1+\cos(x))\cdot 2\cos(x)-(1+2\sin(x))\cdot(-\sin(x))}{(1+\cos(x))^2}$

$f'(x)=0$ als $2\cos(x)+2\cos^2(x)+\sin(x)+2\sin^2(x)=0$

($\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ dus) $2\cos(x)+2+\sin(x)=0$

$2\cos(x)+2=-\sin(x)$ kwadrateren geeft $4\cos^2(x)+8\cos(x)+4=\sin^2(x)$

Gebruikmaken van $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ geeft $5\cos^2(x)+8\cos(x)+3=0$

Substitutie van $p=\cos(x)$ in $5\cos^2(x)+8\cos(x)+3=0$ geeft $5p^2+8p+3=0$

Een algebraïsche berekening waaruit volgt $p=-0{,}6$ of $p=-1$

$\cos(x)=-0{,}6$ ($\cos(x)=-1$ voldoet niet)

$\cos(x)=-0{,}6$ geeft $\sin(x)=-0{,}8$ of $\sin(x)=0{,}8$

De $y$-coördinaat van $T$ is dus $-1{,}5$ ($6{,}5$ voldoet niet)

L_p=\int_{0}^{p}\pi\left(e^{-x}-e^{-2x}\right)^2\,dx

$\left(e^{-x}-e^{-2x}\right)^2=e^{-2x}-2e^{-3x}+e^{-4x}$

Een primitieve van $e^{-2x}+e^{-4x}$ is $-\frac{1}{2}e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-4x}$

Een primitieve van $2e^{-3x}$ is $-\frac{2}{3}e^{-3x}$

$x=p$ geeft $-\frac{1}{2}e^{-2p}+\frac{2}{3}e^{-3p}-\frac{1}{4}e^{-4p}$ en $x=0$ geeft $-\frac{1}{12}$

De rest van de afleiding van $L_p=\frac{1}{12}\pi\left(1-6e^{-2p}+8e^{-3p}-3e^{-4p}\right)$

Het inzicht dat $L=\frac{1}{12}\pi$ (of $0{,}26\ldots$)

De vergelijking $L_p=\frac{1}{12}\pi\left(1-6e^{-2p}+8e^{-3p}-3e^{-4p}\right)=\frac{1}{24}\pi$ (of: $1-6e^{-2p}+8e^{-3p}-3e^{-4p}=\frac{1}{2}$) moet worden opgelost

Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost

De gevraagde waarde van $p$ is $0{,}95$