Eindexamen wiskunde B vwo 2023, tijdvak 1: vragen en antwoorden

• f ' ( x) = 2 − (1)
• f ' ( x) = 0 voor x = 12 2 ( x = − 12 2 voldoet niet) (1)
• f ( 12 2) = 2 2 (dus het minimum van f is 2 2 ) (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• De integraal ∫ 2 x + dx min de oppervlakte van het trapezium a x (ingesloten door de x-as, de asymptoot en de lijnen x = a en x = 2a ) moet worden berekend (1p)
• De oppervlakte is 4a 2 + ln(2a)
  • a 2
  • ln(a)
  • 2 a(2a + 4a) (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1)
• Dit herleiden tot ln(2a)
  • ln(a) = ln(2) (en dat is onafhankelijk van a ) (1)

• 1 • 2x + = 3 geeft x = 0,5 en x = 1 (1) x • Het inzicht dat de grafiek van f ( x) − 3 gewenteld moet worden om de x-as (1) • De inhoud van het omwentelingslichaam kan berekend worden met ( ( f ( x ) − 3) ) dx 1 2 π ∫ (1) 0,5 • De gevraagde inhoud is 0,02 (1) (4)

• • P'Q' = 360 45 · 2 · π· 2, 4d = 53 d · π (1) • Oppervlakte ABCD = 53 d · π · d = 53 π · d 2 (1) · π · ( 3d ) − 360 · π· ( 2d ) = 85 π · d 2 2 (2) • Oppervlakte A'B'C'D' = 360 45 (45) 1 5 π·d2 8 • = 1, 041... (1) 3 π·d2 5 • Het gevraagde percentage is 4 (1) (5)

• De vergelijking 420 = 1 + moet worden opgelost (1)
• Dit geeft R = 700 (1)
• Dus F = 980 (kN/m) (1)

• Substitutie van formule 2 in formule 1 geeft F = R · d 0,25 + 4 R · d − 0,5 (1)
• = 0, 25 R · d − 0,75 − 2 R · d −1,5 (1)
• = 0 als d 0,75 = 8 (1)
• Dit geeft d = 16 (1)

• OM = 2 (1)
• MQ = (1)
• OQ = OM + MQ = (dus xQ (t ) = t + t 2 en yQ (t ) = t 2 − t ) (1)

Opmerking Als in het tweede en derde antwoordelement een specifieke waarde van t is genomen, hiervoor geen scorepunten in mindering brengen.

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• (Omdat M het midden is van OP en MQ ⊥ OP geldt) PQ = OQ dus

(t + t ) + (t

• t )

2 2 2 (2) L= (1)

• • Voor t < 0 geldt L = −t · 2t 2 + 2 (1) 4t • De afgeleide van 2t 2 + 2 is (1) 2 2t 2 + 2 dL 4t • = − 2t 2 + 2 − t · (1) dt 2 2t 2 + 2 dL • lim = − 2 − 0 = − 2 (dus de helling van de grafiek van L nadert t ↑0 d t tot − 2 als t vanaf links tot 0 nadert) (1) of • Voor t > 0 geldt L = t · 2t 2 + 2 (1) 4t • De afgeleide van 2t 2 + 2 is (1) 2 2t 2 + 2 dL 4t dL • = 2t 2 + 2 + t · en lim = 2 + 0 = 2 (1) dt 2 2t 2 + 2 t ↓0 d t • Vanwege symmetrie nadert de helling van de grafiek van L dan tot − 2 als t vanaf links tot 0 nadert (1) (4)

• De y-coördinaat van A is 1 + 2 3 en de y-coördinaat van B is 1 − 2 3 1 (want −1 + 2 3 < 0 ) (1)
• Het gemiddelde van 1 − 2 3 en 1 + 2 3 is 1 dus a = 1 (1)
• Dus b = 2 3 (1)

• • f ( x ) = 0 als sin( x) = − 12 3 (1) 4 (5) • Dit geeft x = 3 π (+ k · 2π) en x = 3 π (+ k · 2π) (1) • De oppervlakte van een klein vlakdeel kan berekend worden met behulp 5 π ( ) 3 van ∫ sin( x) + 12 3 dx (1) 4 3 π 1 (1) • Een primitieve van sin( x) + 2 3 is − cos( x) + 2 3 · x (1) • De gevraagde oppervlakte is 1 − 16 3 · π (1) (5)

• Uit f ( x) = g ( x) volgt (1 + e 2 ) · ln( x ) = 1 + e 2 (1)
• Dit geeft ln( x) = 1 dus x = e (1)
• f ' ( x) = (1)
• g' ( x) = − (1)
• f ' (e) = en g' (e) = − = −e (1)
• f ' (e) · g' (e) = · −e = −1 dus de grafieken snijden elkaar loodrecht (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• f ( xB ) = q dus xB = eq (1) q −1 1− 2

• • Een vergelijking van AC is x + 2 y = 8 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) • Een vergelijking van PF is x − 2 y = 4 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) • Dan volgt dat de coördinaten van D ( 6, 1) zijn (1) υυυρ −4 υυυρ 2 • EP = en ED = (1) −6 −3 −4 (0) υυυρ υυυρ · −6 −1 6 (3) • cos(∠( EP, EF )) = = = en −4 0 52 (13) · −6 −1 2 0 υυυρ υυυρ · υυυρ υυυρ υυυρ υυυρ −3 −1 (3) cos(∠( ED, EF )) = = (dus ∠( EP, EF ) = ∠( ED, EF ) 2 0 (13) · −3 −1 waaruit volgt dat de lijn door E en F de bissectrice is van hoek PED) (1) of • Een vergelijking van AC is x + 2 y = 8 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) • Een vergelijking van PF is x − 2 y = 4 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) • De coördinaten van D zijn ( 6, 1) (1) υυυρ −4 υυυρ 2 • EP = en ED = (1) −6 −3 • Dus de lijn door E en P en de lijn door E en D zijn elkaars beeld bij spiegelen in de lijn EF, dus de lijn door E en F is de bissectrice van hoek PED (1) of • Een vergelijking van AC is x + 2 y = 8 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) • Een vergelijking van PF is x − 2 y = 4 (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) • De coördinaten van D zijn ( 6, 1) (1) • ∠PEF = ∠EPC (Z-hoeken) dus tan(∠PEF ) = tan(∠EPC ) = 64 = 23 (1) • In driehoek D'ED (met D' de loodrechte projectie van D op EF) geldt: D'D 2 tan(∠D'ED ) = = (dus ∠D'ED = ∠PEF waaruit volgt dat de lijn D'E 3 door E en F de bissectrice is van hoek PED) (1) of • Uit de gelijkvormigheid van driehoek AOC met driehoek FOP volgt dat driehoek CPD gelijkbenig is, dus DC = DP (1) −2 + 4 • Hieruit volgt yD = =1 (1) 2 • De coördinaten van D zijn ( 6, 1) (1) • In driehoek P'EP (met P' de loodrechte projectie van P op het P'P 4 2 verlengde van EF) geldt: tan(∠P'EP ) = = = (1) P'E 6 3 • In driehoek D'ED (met D' de loodrechte projectie van D op EF) geldt: D'D 2 tan(∠D'ED ) = = (dus ∠D'ED = ∠P'EP waaruit volgt dat de lijn D'E 3 door E en F de bissectrice is van hoek PED) (1) (5)

• Een vergelijking van c is ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 4 en een vergelijking van 2 (2) • AC is y = − 12 x + 4 (1) c snijden met AC geeft ( x − 4 ) + ( − 12 x + 2 ) = 4 dus 1 14 x 2 − 10 x + 16 = 0 2 (2) • (1) • ( Dit geeft D 4 + 54 5, 2 − 52 5 ) (1) • Driehoek FDD'' (met D'' de loodrechte projectie van D op OA) is PO DD'' gelijkvormig met driehoek FPO dus = (1) FO FD'' − p 2 − 52 5 −p 2 5 −2 • Dit geeft = ofwel = (1) 4 (4) 5 5 4 (4) • Dus p = 2 − 2 5 (1) of • Een vergelijking van PF is y = − 14 px + p (of een gelijkwaardige uitdrukking) (1) • Punt D is het snijpunt van AC met PF, dus moet gelden − 14 px + p = − 12 x + 4 (1) 4 p − 16 2 p • Dit geeft D , (1) p−2 p−2 2 (2) 4 p − 16 2p (2) • MD = 2 dus − 4 + 2 − =2 (1) p−2 p−2 64 (16) • Herleiden tot (bijvoorbeeld) (2) + =4 (1) ( p − 2) ( p − 2) 2 • p = 2 − 20 ( p = 2 + 20 voldoet niet) (1) of 4− p p−4 • rcED = − rcEP = − = (1) 4 (4) −p • rcPF = (1) 4 • Punt M is het midden van EF, dus EF is de middellijn van de cirkel (1) • D ligt op de cirkel, dus geldt ∠FDE = 90° (1) p−4 −p • Er moet dus gelden dat rcED · rcPF = · = −1 (1) 4 (4) • Dan volgt p = 2 − 20 ( p = 2 + 20 voldoet niet) (1) of • Driehoek AOC is gelijkvormig met driehoek DD'M (met D' de AO DD' CO MD' loodrechte projectie van D op EF), dus = en = (1) AC DM CA MD • DM = 2 en AC = 80 geeft D'M = 52 5 en D'D = 54 5 (1) • ( D 4 + 54 5, 2 − 52 5 ) (1) 2 − 52 5 • De richtingscoëfficiënt van de lijn door F en D is = 12 5 − 12 (1) 4 (5) 5 • Een vergelijking van de lijn door F en D is y = ( 12 5 − 12 )( x − 4) (1) • ( ) Het snijpunt met de y-as is P 0, 2 − 2 5 en dus is p = 2 − 2 5 (1) of x 8 −2 • Een vectorvoorstelling van AC is = + t · en een y 0 (1) x 4 −4 vectorvoorstelling van PF is = + v · (1) y 0 p 8 − 2t = 4 − 4v • Voor het snijpunt D geldt: (1) t = p · v 16 −4 p • Hieruit volgt dat voor de coördinaten van D geldt 4 + , 4−2p 4−2p 16 − 4 p −2 p ofwel , (1) 2− p 2− p 2 (2) 16 − 4 p −2 p (2) • MD = 2 dus − 4 + 2 − =2 (1) 2− p 2− p 64 (16) • Herleiden tot (bijvoorbeeld) (6)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Als x onbeperkt afneemt, dan nadert e x naar 0 en als x onbeperkt toeneemt, dan neemt e x onbeperkt toe (1) 1
• Als x onbeperkt afneemt, dan nadert naar 1 (1) 1+ ex 1
• Als x onbeperkt toeneemt, dan nadert naar 0 en dus is de 1+ ex gevraagde afstand 1 (1p)

Opmerking: Als in het eerste antwoordelement de kettingregel niet is gebruikt, mogen voor dit antwoordelement geen scorepunten worden toegekend. Als de kettingregel wel is gebruikt, maar niet correct, mag voor dit antwoordelement hoogstens 1 scorepunt worden toegekend op basis van vakspecifieke regel 1.

• De oppervlakte van het vlakdeel kan worden berekend met ∫ x dx (1)
• ( ) F (a) − F (0) = a − ln e a + 1 + ln ( 2 ) (1)
• ( ) ( ) ln ea + 1 >ln ea = a , dus a − ln(e a + 1) < 0 (of een gelijkwaardige redenering) (1)
• Hieruit volgt dat F (a ) − F (0) < ln ( 2 ) (1)