Eindexamen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 3: vragen en antwoorden

• • Cosinusregel in driehoek ABM geeft 52 = 42 + 62 − 2 · 4 · 6 · cos(∠ABM ) (1) • Hieruit volgt cos(∠ABM ) = 16 (9) (dus cos(∠ABC ) = 16 9 ) (dus ∠ABC = 55, 77...(°) ) (1) • Cosinusregel in driehoek ABC geeft AC 2 = 42 + 122 − 2 · 4 ·12 · 16 9 (1) • Dit geeft AC 2 = 106 , dus AC ≈ 10,3 (1) of • Cosinusregel in driehoek ABM geeft 42 = 52 + 62 − 2 · 5 · 6 · cos(∠AMB) (1) • Hieruit volgt cos ( ∠AMB ) = 34 (dus ∠AMB = 41, 40...(°) ) (1) • cos ( ∠AMC ) = (− cos ( ∠AMB ) =) − 34 (of ∠AMC = (180 − ∠AMB =) 138,59...(°) , dus cos(∠AMC ) = − 34 ) (1) • Cosinusregel in driehoek AMC geeft AC 2 = 52 + 62 − 2 · 5 · 6 · − 34 = 106 , dus AC ≈ 10,3 (1) of • Er geldt t 2 + u 2 = 42 (met P de loodrechte projectie van A op MB, t = AP en u = BP ) (1) • Ook geldt t 2 + (6 − u ) 2 = 52 (1) • Algebraïsch oplossen van dit stelsel geeft t = 3,30... , u = 2, 25 (de oplossing t = −3,30... , u = 2, 25 voldoet niet) (1) 2 2 2 (2) • Omdat AC = t + (12 − u ) , volgt AC = 106 , dus AC ≈ 10,3 (1) (4)

• d dx cos(2 x) = −2sin(2 x) (1)
• f ' ( x) = cos( x) cos(2 x) − 2sin( x ) sin(2 x) (1)
• cos( x) cos(2 x) = cos( x)(2 cos ( x) − 1) = 2 cos ( x) − cos( x) (1)
• 2sin( x) sin(2 x) = 2sin( x) · 2sin( x) cos( x) = 4sin 2 ( x) cos( x) (1)
• ( 4sin 2 ( x) cos( x) = 4 cos( x) 1 − cos 2 ( x) ) (1)
• ( ) 2 cos3 ( x) − cos( x) − 4 cos( x) 1 − cos 2 ( x) herleiden tot 6 cos3 ( x) − 5cos( x) (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Elk van deze vergelijkingen heeft 2 oplossingen (die allemaal verschillen), dus het gevraagde aantal is 8 (1p)

• De keuze t = 2 x en u = x (1)
• sin(2 x + x) − sin(2 x − x) = sin(2 x) cos( x) + cos(2 x)sin( x) − sin(2 x) cos( x) + cos(2 x) sin( x) (1)
• Dit is gelijk aan 2 cos(2 x ) sin( x) , dus 12 (sin(3 x) − sin( x)) = sin( x) cos(2 x) (1)

• De oppervlakte van V is gelijk aan ∫ ( 2 + sin( x) − 12 (sin(3x) − sin( x)) ) dx (1)
• Een primitieve van 12 sin(3 x) is − 16 cos(3 x) (1)
• Een primitieve van 2 + sin( x) + 12 sin( x) is 2 x − cos( x) − 12 cos( x) (1)
• Invullen van de grenzen geeft: de oppervlakte is 4π (1)

• De vergelijking 12 000 = 5734 − 1648ln ln moet worden T −1 opgelost (1)
• ln ln = (= −3,802...) (1)
• ln =e (= 0, 022...) (1)
• = e0,022... = 1, 022... , dus T = 1, 022... · (T − 1) (1)
• Dit geeft T = = 45,3... , dus de gevraagde herhalingstijd is (1, 022... − 1) 45 (of 46) (jaar) (1)

Opmerking In het eerste antwoordalternatief mogen voor het eerste antwoordelement uitsluitend 0 of 2 scorepunten worden toegekend.

• Er moet gelden: >0 (1)
• (Omdat T > 1 geldt) T > 0 en T − 1 > 0 (1)
• Omdat (ook) T > T − 1 , geldt >1 (1)
• (Omdat y = ln( x) stijgend is en ln(1) = 0 volgt hieruit dat) ln >0 (1)
• Zowel b > 0 als T · (T − 1) · ln > 0 (dus > 0 , dus de grafiek van T −1 dT C is stijgend) (1)

• Invullen geeft het stelsel vergelijkingen (1)
• Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost (1)
• Hieruit volgt b = 398, 22... en a = 1203,85... (1)
• Dit geeft C = 1203,85... − 398, 22... · ln ln ≈ 3036 (of 100 − 1 3035) (m3/s) (1)

• • De vergelijking van c1 herleiden tot ( x + 6) 2 + y 2 = 4 (1) • M1 (−6, 0) en de straal van c1 is 2 (1) • PM1 = 62 + OP 2 en PM 2 = 52 + OP 2 (1) • d( P, c1 ) = 62 + OP 2 − 2 en d( P, c2 ) = 52 + OP 2 − 5 (1) • De vergelijking 62 + OP 2 − 2 = 2 · ( 5 + OP − 5) moet 2 (2) worden opgelost (1) • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1) • Dit geeft OP ≈ 7, 02 (dus de gevraagde y-coördinaat van P is 7,02) (1) of • Voor snijpunten van c1 en de x-as geldt x 2 + 12 x = −32 , dus x 2 + 12 x + 32 = 0 , dus ( x + 4)( x + 8) = 0 , dus x = −4 of x = −8 (1) • (Omdat c1 een halve cirkel is met y ≥ 0 volgt dat de diameter 4 is, dus) M1 (−6, 0) en de straal van c1 is 2 (1) • Als a = d(P, c2 ) , dan geldt d( P, c1 ) = 2a , dus M 2 P = 5 + a en M 1 P = 2 + 2a (1) 2 2 2 2 (2) • Er geldt OP = M1P − M1O = (2 + 2a ) − 6 en OP 2 = M 2 P 2 − M 2O 2 = (5 + a ) 2 − 52 (1) 2 2 2 (2) • Dus (2 + 2a) − 6 = (5 + a ) − 5 (1) • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost (1) • Dit geeft a = 3, 61... ; invullen in een van de formules voor OP geeft OP ≈ 7, 02 (dus de gevraagde y-coördinaat van P is 7,02) (1) (7)

• Voor P1 geldt x' (t ) = 2t + 2 en y' (t ) = 4 (1)
• v1 (t ) = (2t + 2) 2 + 42 (1)
• Uit ( (2t + 2) 2 + 42 = 4 t 2 + 1 volgt (2t + 2) 2 + 42 = 16 t 2 + 1 ) (1)
• Herleiden tot 12t 2 − 8t − 4 = 0 (of 3t 2 − 2t − 1 = 0 ) (1)
• Dit geeft t = 1 ( t = − 13 voldoet niet) (1)

• • De richtingscoëfficiënt van de lijn door P1 en P2 is 2t 2 − 4t 1 ( 4t − t 2 + 2t ) 2t 2 − 4t • Dit is gelijk aan (1) 2t − t 2 • Dit is gelijk aan ( −2 −t 2 + 2t ) en dat is gelijk aan −2 (1) 2 2t − t of • Een richtingsvector van de lijn door P1 en P2 is ( 4t − t 2 + 2t ) (1) 2t 2 − 4t 2t − t 2 • Dit is gelijk aan (1) 2t 2 − 4t 2t − t 2 , dus is een richtingsvector, dus 1 • Dit is gelijk aan ( − 2 2t − t 2 ) −2 de richtingscoëfficiënt is −2 (1) (3)

• Een vergelijking van l is van de vorm y = −2 x + b (1)
• ( ) Substitutie van bijvoorbeeld 4t , 2t 2 geeft b = 2t 2 + 8t (1)
• (3, 0) moet op l liggen, dus moet gelden 0 = −6 + 2t 2 + 8t (1)
• Exact oplossen geeft t = , dus het gevraagde tijdstip is 2 −4 + 28 t= (of een gelijkwaardige uitdrukking) 2 −4 − 28 (t = voldoet niet) (1)

Voorbeeld uit het correctievoorschrift:

• Herleiden geeft y = −2 + 3 x
  • 1 (dus geldt inderdaad f inv ( x) = −2 + 3 x
  • 1 ) (1)

of

( ) ( ) ( ) + 12 · ( −2 + x

• 1) + 9

3 (2)

• De rest van de herleiding van f ( f ( x) ) tot x (dus geldt inderdaad inv

f inv ( x) = −2 + 3 x

• 1 ) (1p)

• De ondergrens van de integraal is 0, de bovengrens is f (0) = 9 (1)
• De inhoud van het omwentelingslichaam is gelijk aan 9 ( ) 2 π · ∫ −2 + 3 x − 1 dx (1)
• De inhoud is 33,9 (1)

• • f ' ( x) = 3 x 2 + 12 x + 12 (1) 2 (2) • Voor P geldt 3x + 12 x + 12 = 0 ; dit geeft ( x + 2) = 0 , dus x = −2 (1) • Voor Q geldt (vanwege de symmetrie in de lijn met vergelijking y = x ) y = −2 (1) • ( f (−2) = 1 , dus) P (−2, 1) en Q (1, − 2) (1) • De richtingscoëfficiënt van de lijn door P en Q is ( 1−−− 2−1 =) − 1 2 1 • De y-coördinaat van S is dus 1 + 2 · −1 = −1 (1) of 1 f inv ' ( x) = 13 ( x − 1) − 3 = 2 • (1) 3 · 3 ( x − 1) 2 • (Als x → 1 , dan f inv ' ( x) → ∞ , dus) de grafiek van f inv ( x) heeft een verticale raaklijn als x = 1 (en dit is dus de x-coördinaat van Q) (1) • Voor P geldt (vanwege de symmetrie in de lijn met vergelijking y = x ) y =1 (1) inv • ( f (1) = −2 , dus) Q (1, − 2) en P (−2, 1) (1) • (Omdat Q het spiegelbeeld is van P in de lijn met vergelijking y = x , geldt) de richtingscoëfficiënt van de lijn door P en Q is −1 (1) • De y-coördinaat van S is dus 1 + 2 · −1 = −1 (1) of • f ' ( x) = 3 x 2 + 12 x + 12 (1) • Voor P geldt 3 x 2 + 12 x + 12 = 0 ; dit geeft ( x + 2) 2 = 0 , dus x = −2 (1) 1 f inv ' ( x) = 13 ( x − 1) − 3 = 2 • (1) 3 · 3 ( x − 1) 2 • ( f (−2) = 1 , dus) P (−2, 1) en (als x → 1 , dan f inv ' ( x) → ∞ , dus) de grafiek van f inv ( x) heeft een verticale raaklijn als x = 1 (en dit is dus de x-coördinaat van Q); ( f inv (1) = −2 , dus) Q (1, − 2) (1) • De richtingscoëfficiënt van de lijn door P en Q is ( 1−−− 2 −1 =) − 1 2 1 • De y-coördinaat van S is dus 1 + 2 · −1 = −1 (1) (6)