Eindexamen wiskunde C vwo 2023, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Op de foto zie je de showroom van een autobedrijf in Lochem. De pijl in de foto geeft de voorkant van de showroom aan.

foto

De showroom heeft de vorm van een balk met afmetingen 18 bij 18 bij 2,8 meter met daarbovenop een regelmatige piramide met hetzelfde vierkante grondvlak en hoogte 5,6 meter.

Een opvallend aspect in het ontwerp van de showroom is dat de opstaande ribben van het piramidevormige dak tot op de grond verlengd zijn. Dat betekent dat de vier ijzeren balken van de top tot aan de grond doorlopen. Links voor op de foto is van een van deze ijzeren balken het deel dat buiten de showroom zit goed te zien.

Op de uitwerkbijlage is de grond aangegeven waarop de showroom is gebouwd.

Op de uitwerkbijlage is het onderste balkvormige deel van de showroom in perspectief getekend. De horizon is ook getekend.

Tegenwoordig zijn er steeds meer apparaten die via het internet met elkaar in verbinding kunnen staan. Denk bijvoorbeeld aan smartphones en smartwatches maar ook aan de ‘slimme’ deurbel en thermostaat, enzovoorts.

Als bijvoorbeeld vier apparaten A, B, C en D volledig onderling met elkaar verbonden zijn

• dat wil zeggen dat ieder apparaat met ieder ander apparaat verbonden is
• dan zijn daar zes verbindingen voor nodig. In figuur 1 wordt dit geïllustreerd, waarbij de lijnen de onderlinge verbindingen voorstellen.

[figuur 1: zie het originele examen]

Elk apparaat dat met het internet verbonden is, heeft zijn eigen, unieke IP-adres nodig. IP-adressen kunnen worden geschreven als acht groepen van vier zogeheten hexadecimale cijfers, gescheiden door dubbele punten. Hiervoor worden de gewone cijfers 0 tot en met 9 uitgebreid met de cijfers A (=10) tot en met F (=15). Dus A tot en met F zijn in deze toepassing ook cijfers en géén letters.

voorbeeld van een geldig IP-adres: 2001:0DB8:85A3:0000:1319:8A2E:0370:7344

Het totaal aantal apparaten (‘dingen’) die via internetverbindingen met andere apparaten of systemen in contact staan en daarmee gegevens uitwisselen, wordt het internet der dingen genoemd. Het internet der dingen wordt afgekort tot IoT (naar het Engels: Internet of Things).

In figuur 2, uit een internet-artikel uit november 2013, gaat men uit van 31% jaarlijkse groei van het IoT.

[figuur 2: zie het originele examen]

De grafiek in figuur 2 uit het internet-artikel en de aanname van 31% jaarlijkse groei uit datzelfde artikel spreken elkaar tegen.

De 31% jaarlijkse groei uit het eerder genoemde internet-artikel is inmiddels naar beneden bijgesteld. In figuur 3 zie je hoe het IoT zich volgens een ander onderzoek sinds het jaar 2015 ontwikkelt. Hierin zijn de gegevens voor de jaren na 2018 voorspelde gegevens. De trendlijn is gestippeld weergegeven.

[figuur 3: zie het originele examen]

In december 2015 was de omvang van het IoT 15,41 miljard apparaten. In december 2025 is dit (volgens de voorspelling) 75,44 miljard. Ook volgens de gegevens in figuur 3 groeit het IoT bij benadering met een vast percentage per jaar.

De trendlijn in figuur 3 kan benaderd worden met de volgende formule: I = 14,7 ·1,17t Hierin is I de omvang van het IoT in miljarden en t de tijd in jaren met t = 0 in december 2015. Veronderstel dat de formule voor I ook na 2025 geldt.

Op internet is een bijzondere klok te koop: foto de Fibonacci-klok. Zie de foto.

De klok is gebaseerd op een bekende wiskundige rij: de rij van Fibonacci. Van deze rij zijn de eerste tien termen de getallen:

1

• 1
• 2
• 3
• 5
• 8
• 13
• 21
• 34
• 55

Op de foto zie je dat de klok uit vijf vierkanten bestaat. Deze vierkanten stellen de getallen uit de rij van Fibonacci voor. Dit is ook in onderstaande figuur weergegeven.

figuur

De getallen in de figuur geven een maat voor de lengte van de zijden van de vierkanten in de figuur aan.

Achter elk van de vierkanten zitten drie lampjes verborgen: een rood, een groen en een blauw. Van deze lampjes brandt er steeds hooguit één. Hierdoor zijn er voor elk vierkant 4 mogelijkheden: het vlak staat ‘uit’, óf het vlak heeft een kleur: rood, groen of blauw. Met behulp van deze kleuren kun je de tijd aflezen.

De klok werkt volgens de 12-uurs-notatie. Daarbij wordt 12.00 weergegeven als 0.00. Elke 5 minuten verspringt de klok. Als de werkelijke tijd bijvoorbeeld 14.50 of 14.53 is, geeft de klok op beide tijdstippen 2.50 weer.

De klok heeft veel meer standen dan dat er tijden zijn die de klok kan weergeven.

Je kunt de tijd op de klok als volgt aflezen:

• Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de rood gekleurde vierkanten bij elkaar op. Dat zijn de uren.
• Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de groen gekleurde vierkanten bij elkaar op en vermenigvuldig de uitkomst met 5. Dat zijn de minuten. De blauw gekleurde vierkanten tellen dus bij zowel de uren als de minuten mee. In tabel 1 zie je een manier om met alleen maar rood en groen gekleurde vierkanten de tijd 7.25 weer te geven. [tabel 1: zie het originele examen] vierkant 1 1 2 3 5 kleur rood rood rood rood groen Op een bepaald moment branden de lampjes op de klok zoals in tabel 2 is weergegeven. [tabel 2: zie het originele examen] vierkant 1 1 2 3 5 kleur blauw
• (uit) groen rood rood

Op deze klok kunnen veel tijden op meer dan een manier worden weergegeven. In tabel 3 staan twee verschillende manieren om de tijd 7.25 weer te geven. [tabel 3: zie het originele examen] vierkant 1 1 2 3 5 kleur rood rood rood rood groen kleur

• (uit)
• (uit) rood
• (uit) blauw

Iemand wil een vergelijkbare Fibonacci-klok met groene, rode en blauwe lampjes maken, die de werkelijke tijden op de minuut nauwkeurig kan weergeven in de 24-uurs notatie (dus van 0.00 tot en met 23.59). Die klok moet dan aan twee eisen voldoen:

1 Het grootst mogelijke getal moet een optelling zijn met als uitkomst (minstens) 59.

2 Alle getallen van 0 t/m 59 moeten kunnen worden gevormd. Om zo’n klok te maken, moeten er aan de klok uit de figuur vierkanten worden toegevoegd die Fibonacci-getallen voorstellen.

Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.

In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:

U: het aantal unieke woorden in een stuk tekst; T: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.

We bekijken de eerste twee zinnen van deze opgave:

Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend.

Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 1.

[figuur 1: zie het originele examen]

In figuur 1 is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T. Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen

8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen.

De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen U en T voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.

De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database

• de zogeheten RCV1
• beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek. Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 2, waarin log(U ) tegen log(T ) is uitgezet.

[figuur 2: zie het originele examen]

De grafiek in figuur 2 geeft het werkelijke verband tussen U en T in RCV1 en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan- Heap.

Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.

Een formule voor de gestippelde lijn in figuur 2 is log(U ) = 0, 49 log(T ) + 1, 64

De formule log(U ) = 0, 49 log(T ) + 1, 64 kan geschreven worden als U = 43,65 · T 0,49 .

Stel nu dat je RCV1 in zijn geheel gaat lezen. Als je dan drie keer zo ver bent gekomen, wil dat niet zeggen dat je ook drie keer zo veel unieke woorden bent tegengekomen. Met behulp van de formule U = 43,65 · T 0,49 kun je berekenen hoeveel procent meer unieke woorden je dan wel bent tegengekomen.

Om ervoor te zorgen dat tijdens een zitting van een centraal examen alles eerlijk en in heel Nederland zo gelijk mogelijk verloopt, zijn er strikte regels.

Hieronder zie je een voorbeeld van een aantal regels die in het examenreglement van een school in Nederland opgenomen zijn.

Gang van zaken tijdens zittingen van het centraal examen 1. Het bevoegd gezag draagt er zorg voor dat het nodige toezicht bij het centraal examen wordt uitgeoefend. … 7. Een kandidaat die te laat komt, mag tot uiterlijk een half uur na de aanvang van de zitting worden toegelaten. (Hij/zij levert zijn werk in op het tijdstip dat voor de andere kandidaten geldt.) 8. Het eerste uur van de zitting mag de kandidaat geen werk inleveren of het examenlokaal verlaten. 9. Gedurende het laatste kwartier mag de kandidaat geen werk inleveren en het examenlokaal niet verlaten.

In deze opgave laten we het recht op tijdverlenging, dat voor een aantal kandidaten geldt, buiten beschouwing. Ook gaan we ervan uit dat alle kandidaten op tijd komen.

De zitting van het centraal examen vwo wiskunde C duurt 180 minuten.

We voeren de volgende notaties in:

• H: het eerste halfuur van de examenzitting is bezig;
• U: het eerste uur van de examenzitting is bezig;
• K: het laatste kwartier van de examenzitting is bezig.

Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een Venn-diagram van een examenzitting. De rechthoek stelt de hele examenzitting voor en het gebied voor U is hierin al getekend.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

Verder voeren we de volgende notaties in:

• V: de kandidaat mag de zaal verlaten;
• I: de kandidaat mag zijn/haar werk inleveren.

Johan vertaalt regel 8 met de volgende formule: U ⇒ (¬ I ∨ V) . Dit is echter niet de bedoeling van regel 8, want de bedoeling van regel 8 is dat de kandidaat het eerste uur van de examenzitting geen werk mag inleveren en het examenlokaal niet mag verlaten.

Als de formule van Johan juist zou zijn, kunnen er twee situaties optreden die niet de bedoeling zijn van regel 8.

Voor het laatste onderdeel gaan we ervan uit dat regel 8 luidt: "Het eerste uur van de zitting mag de kandidaat geen werk inleveren én het examenlokaal niet verlaten."

Volgens regels 8 en 9 geldt voor het eerste uur en het laatste kwartier precies hetzelfde. Door middel van één logische bewering over U, K, V, en I kunnen regels 8 en 9 tegelijkertijd beschreven worden.