Eindexamen wiskunde C vwo 2026, tijdvak 2: vragen en antwoorden

Het aantal stukjes dat op de doos van een legpuzzel staat, is een rond getal zoals 500, 1000 of 1500. Vaak bestaat een puzzel echter uit méér stukjes dan er op de doos vermeld staat.

In een video onderzoekt komiek en wiskundige Matt Parker hoe dit zit. Hij kijkt naar puzzels waarvan de stukjes een rechthoekig rooster vormen met

k kolommen en r rijen.

We nemen in deze opgave aan dat k groter is dan r. De roosterverhouding k is dan altijd groter dan 1. r

We bekijken eerst een puzzel met 200 stukjes. Zo’n puzzel kan bestaan uit 100 kolommen en 2 rijen. De roosterverhouding is in dit geval 100 . 2

Een andere puzzel bestaat uit 204 stukjes.

De mogelijke afmetingen (k x r) voor deze puzzel zijn: 204 x 1, 102 x 2, 68 x 3, 51 x 4, 34 x 6 en 17 x 12.

De hoogte van ieder stukje in deze puzzel is 1,04 keer zo groot als de breedte van dat stukje. De inkepingen en uitsteeksels van een puzzelstukje worden (in deze opgave) buiten beschouwing gelaten. Zie de figuur.

De puzzel van 204 stukjes is 49 cm breed en 36 cm hoog.

Perfecte puzzels zijn puzzels die voldoen aan de volgende voorwaarden:

• Het aantal stukjes waaruit de puzzel bestaat is precies gelijk aan het aantal stukjes vermeld op de doos.
• De hoogte van de stukjes is gelijk aan de breedte van de stukjes.

Matt Parker bedacht een maat om te beoordelen in hoeverre een puzzel afwijkt van een perfecte puzzel. Hij noemde dit de badness rating. De volgende formule beschrijft deze badness rating:

B = s ⋅ 1,005ⁿ

• B is de badness rating.
• s is de berekende verhouding tussen de hoogte en breedte van een puzzelstukje, met s ≥. 1
• n is het verschil tussen het werkelijke aantal stukjes en het aantal stukjes op de doos, met n ≥ 0 .

We bekijken nu een puzzel van 39 kolommen en 27 rijen met s = 1,002 . Deze puzzel heeft een badness rating van 1,3052.

Rugby¹⁾ is een balsport die onder andere in Engeland wordt beoefend. Tijdens een wedstrijd kunnen er op drie manieren punten worden gescoord, zie de figuur.

figuur

We voeren de volgende notaties in:

E_T Engeland scoort een try.

E_C Engeland scoort de conversie die bij de try hoort. E_K Engeland scoort een kick.

E_n Engeland scoort n punten.

De manier waarop Engeland bij rugbywedstrijden punten kan scoren, kan worden weergegeven in een boomdiagram. Op de uitwerkbijlage staan hiervoor drie mogelijke boomdiagrammen.

Gegeven is de zin:

Als Engeland een try scoort maar de bijbehorende conversie mist, dan scoort Engeland geen zeven punten.

noot 1 In deze opgave kijken we naar de puntentelling en spelregels van de Rugby Union

Het aantal punten dat een rugbyteam in een (hele) rugbywedstrijd haalt noemen we het puntentotaal van dat team. Uit de gegevens in de figuur volgt dat niet alle puntentotalen mogelijk zijn.

Een wedstrijdcommentator doet hierover twee uitspraken:

I De puntentotalen 1, 2 en 4 zijn niet mogelijk.

II Elk puntentotaal vanaf 5 is mogelijk.

In 2023 werd een rugbytoernooi gespeeld en Ierland (I) won de wedstrijd tegen Schotland (S) met 22-7.

Het totaal van 22 punten in een wedstrijd van Ierland kan worden behaald met twee keer een try met conversie ( I ₇) , één try zonder conversie ( I ₅) en één kick ( I ₃) . Er zijn ook andere manieren om aan dit puntentotaal van 22 te komen.

In de tabel is een begin gemaakt om te onderzoeken op hoeveel manieren je aan een puntentotaal van 22 kunt komen.

tabel

Ierland scoorde in deze wedstrijd twee keer een try met conversie ( I ₇) , één try zonder conversie ( I ₅) en één kick ( I ₃) . Schotland scoorde één try met conversie ( S ₇) .

Het werkelijke scoreverloop van deze wedstrijd was S₇ − I₃ − I₅ − I₇ − I₇ . Het scoreverloop had ook anders kunnen zijn.

Er bestaan verschillende manieren om een tekening cadeau in te pakken. Een van deze manieren is het zogenaamde diagonaal inpakken. Hierbij wordt het cadeau diagonaal midden op het vel inpakpapier geplaatst en worden de hoekpunten naar binnen gevouwen. Zie de tekening hiernaast.

We kijken in deze opgave alleen naar het diagonaal inpakken van balkvormige cadeaus met een vierkant stuk inpakpapier.

In figuur 1 is aangegeven hoe groot het stuk inpakpapier minimaal moet zijn voor een cadeau met lengte l, breedte b en hoogte h. De stippellijnen in deze figuur vormen de vouwlijnen van het inpakpapier.

Na het inpakken zal het inpakpapier op de bovenkant van het cadeau meestal gedeeltelijk overlappen.

Voor een cadeau met een lengte van 19,5 cm, een breedte van 12,2 cm en een hoogte van 4,9 cm is in figuur 3a het benodigde stuk inpakpapier weergegeven.

De lichtgrijs- en donkergrijs gekleurde driehoeken in figuur 3a zijn de gedeeltes van het inpakpapier die bovenop het cadeau terecht komen. Deze driehoeken zijn gelijkbenige rechthoekige driehoeken. Hierbij is de lengte van het cadeau de basis van de donkergrijze driehoek en de breedte van het cadeau de basis voor de lichtgrijze driehoek. In dit geval geldt voor elk van deze driehoeken: hoogte =¹₂ ⋅ basis

In figuur 3b zie je de bovenkant van het cadeau als dit is ingepakt. Het zwarte gedeelte geeft de overlap van het inpakpapier aan. Alleen de donkergrijze gedeeltes van het inpakpapier overlappen elkaar. De lichtgrijze gedeeltes sluiten precies op de donkergrijze gedeeltes aan.

De onderstaande figuur toont een methode voor het inpakken van een cadeau met een vierkant grondvlak. Deze methode gebruikt zo min mogelijk inpakpapier en maakt gebruik van diagonaal inpakken.

Volgens deze figuur is voor het inpakken van een cadeau met een vierkant grondvlak een vierkant stuk inpakpapier nodig met een lengte van d + 1,5 h . Hier is d de diagonaal van het grondvlak van het cadeau en

h de hoogte van het cadeau.

Of een stuk inpakpapier van 35 bij 35 cm groot genoeg is om een cadeau met een vierkant grondvlak met een zijde van 20 cm in te kunnen pakken, hangt af van de hoogte van dit cadeau.

Steenfabriek De Kei verkoopt allerlei soorten stenen, waaronder sierstenen. De Kei verkoopt deze sierstenen per pallet met 500 stenen. Zo’n pallet met stenen kost 460 euro.

Om de verkoop te bevorderen wil De Kei een van de volgende twee aanbiedingen doen:

Aanbieding A:

Bij aankoop van twee pallets tegelijk krijgt de klant 2% korting op de prijs van beide pallets. Bij aankoop van drie pallets krijgt de klant 3% korting op de prijs van alle drie de pallets, enzovoort.

Aanbieding B:

Bij aankoop van meer pallets tegelijk betaalt de klant voor de tweede pallet 450 euro, de derde pallet 440 euro, enzovoort. Elke volgende pallet is dus steeds 10 euro goedkoper.

Wanneer een klant vier pallets tegelijk koopt, is hij met aanbieding B duurder uit dan met aanbieding A.

Bij aanbieding A hangt de prijs per pallet P_n in euro’s af van het aantal pallets n dat je koopt. Bij aankoop van twee of meer pallets geldt:

P_n = 460 ⋅ 1 − n/100

Met behulp van deze formule kun je een formule opstellen voor de totale prijs A_n in euro’s van een aankoop van n pallets bij aanbieding A. Er geldt:

A_n = 460 n − 4,6 n² met n ≥ 2

Bij deze aanbieding wordt de prijs per pallet steeds lager. Bij 100 pallets zou de korting 100% zijn, en dan zijn de pallets dus gratis. Daarom zal De Kei een maximaal aantal pallets noemen waarvoor de aanbieding nog geldig is. Dit is het aantal pallets waarbij de totale prijs bij aanbieding A maximaal is.

Steenfabriek De Kei wil haar klanten zo goed mogelijk adviseren welke aanbieding A of B in welke situatie het meest gunstig is voor de klant.

Voor de totale prijs B_n in euro’s van een aankoop van n pallets bij aanbieding B geldt de recursieve formule:

B_n = B_n ₋₁ + 470 −10 n met B₁ = 460

Vanaf een bepaald aantal pallets is aanbieding B voor de klant goedkoper dan aanbieding A. Dit aantal is hoger dan 10 pallets.

In 2021 is op het duurzame bedrijventerrein Greenport in Venlo gestart met de bouw van een windmolenpark. Dit windmolenpark zal bestaan uit negen, op een rechte lijn geplaatste, windmolens.

In onderstaande tabel zie je de coördinaten (in meters) van enkele windmolens die gebouwd zijn. De plaats van windmolen 1 is gekozen als oorsprong van een assenstelsel.

tabel

De bouw van Windmolen 2 werd vertraagd. De y-coördinaat van deze windmolen werd uiteindelijk vastgesteld op −261 .

Aan windmolens zitten voor- en nadelen. Eén van de nadelen is dat ze geluid produceren en daardoor geluidsoverlast kunnen veroorzaken.

Geluidsintensiteit is een maat voor het uitdrukken van de hoeveelheid geluid. De geluidsintensiteit hangt af van het vermogen van het geluid en van de afstand van de windmolen tot het meetpunt. Dit wordt beschreven in de volgende formule:

I = P 12,57 ⋅ d² Hierin is

• P het vermogen (in Watt) van het geproduceerde geluid van de windmolen.
• d de afstand (in meters) vanaf de windmolen tot het meetpunt.
• I de geluidsintensiteit (Watt/m²) bij het meetpunt.

Een van de windmolens produceert een geluid met een vermogen van 0,05 Watt. Een eind verderop wordt een geluidsintensiteit van 8,84 ⋅ 10⁻⁷ (Watt/m²) gemeten.

In de praktijk wordt de geluidsintensiteit I meestal omgerekend naar geluidsniveau G in decibel (dB). Het verband tussen I en G wordt gegeven door:

I = 10^0,1G⁻ 12

Het maximale geluidsniveau dat gemeten mag worden bij een woning is 41 dB. Bij het overschrijden van deze waarde wordt gesproken van geluidsoverlast.

Een bewoner klaagt over geluidsoverlast. Zijn woning bevindt zich op een afstand van 350 meter van de dichtstbijzijnde windmolen. Deze windmolen heeft een vermogen van 0,05 Watt.

De Mont Ventoux (foto) is een berg in het zuiden van Frankrijk.

De berg is onder andere bekend doordat de beklimming ervan is opgenomen in de Tour de France.

Het gemiddelde hellingspercentage is een maat om de moeilijkheid van een beklimming aan te geven. Het gemiddelde hellingspercentage wordt bepaald door de weglengte en het hoogteverschil tussen begin en eindpunt van de beklimming.

Het gemiddelde hellingspercentage kan worden berekend met de formule:

p = 100 ⋅ h a² − h² Hierbij is

• h het hoogteverschil in meters.
• a de weglengte in meters.
• p het gemiddelde hellingspercentage in procenten.

Als je verschillende beklimmingen met een gelijk hoogteverschil bekijkt, dan geldt: hoe groter de weglengte, hoe kleiner het gemiddelde hellingspercentage.

De beklimming van de Mont Ventoux kun je vanuit drie dorpen starten: Bédoin, Sault en Malaucène.

De snelste gereden tijd voor de beklimming van de Mont Ventoux vanuit Sault is 50 minuten en 32 seconden, met een gemiddelde snelheid van 28,7 km/uur.

In de tabel staat het hoogteverschil en de totale weglengte vanuit de drie dorpen naar de top. De weglengte is afgerond op gehele kilometers.

tabel

Doordat de weglengte in de tabel op gehele kilometers is afgerond in plaats van op gehele meters, lijkt het erop dat de beklimming vanuit Bédoin het grootste gemiddelde hellingspercentage heeft.

Als de weglengte niet op gehele kilometers was afgerond, dan is het mogelijk dat het gemiddelde hellingspercentage vanuit één van de andere twee dorpen hoger is dan vanuit Bédoin.

Le club des Cinglés du Mont Ventoux, een fietsgenootschap, geeft aan dat de beklimming vanuit Bédoin het steilst is. Deze beklimming heeft een gemiddeld hellingspercentage van 7,7%.

Om tot dit fietsgenootschap te mogen behoren, moet je op één dag de Mont Ventoux vanuit alle drie de dorpen één keer beklimmen. In de figuur zie je een mogelijke route. Je start in Bédoin, fietst naar de top, daalt naar Malaucène, vervolgens fiets je weer naar de top, daalt naar Sault, weer naar de top en tenslotte daal je naar Bédoin. Zo ontstaat het rijtje BMMSSB, waarbij de letters staan voor de weg tussen het dorp en de top van de Mont Ventoux (Top), zie de figuur. Er zijn zes van deze rijtjes te maken, als je begint en eindigt in hetzelfde dorp.

Ook kun je de zogenaamde Bicinglette voltooien.

Dit houdt in dat je de Mont Ventoux vanuit elk van de drie dorpen niet één keer, maar twee keer beklimt op één dag.